功率放大器非线性特性及预失真建模研究生数学建模竞赛b题论文--大学毕业论文设计.doc

参赛密码 （由组委会填写）全第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛学 校南京邮电大学参赛队号 10293015队员姓名1.仲伟奇2.卢诗尧3.江爱珍参赛密码 （由组委会填写） 第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛题 目 功率放大器非线性特性及预失真建模摘 要：本文根据函数逼近Weierstrass定理对功放的非线性特性建立多项式数学模型。对于无记忆功放，直接用matlab中polyfit函数或矩阵运算求解，用值来评价不同阶数所得的多项式模型，最终将多项式模型的阶数定为4，此时，系数详见4.1.3；根据线性原则和两个约束条件建立预失真的多项式模型，采用查表法求得预失真器的输入和输出，建立目标误差函数，用polyfit函数或矩阵运算求解，最终根据值最小确定多项式阶数为12, 此时，系数详见4.2.3。对于有记忆功放，在无记忆的基础上建立模型，增加延迟项来表征记忆效应，通过矩阵运算求解，然后用值评估确定记忆效应多项式阶数为4，记忆深度为3，此时，系数详见4.3.3；根据功放的非线性模型，建立预失真器的有记忆效应多项式模型，利用功放的输入输出数据间接得到预失真器的输入输出，再用矩阵运算，用值来评估确定阶数为4，记忆深度为3，系数详见4.4.3，此时。运用自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对的性质，对自相关函数作傅里叶变换求得功率谱密度，分析得出传输信道范围，最终得出输入信号、有无预失真补偿三类信号的值分别为，得出预失真补偿后的值要比补偿前要小。关键词：数据拟合 查表法 NMSE/EVM评价 矩阵运算 多项式模型功率放大器非线性特性及预失真建模一 问题重述1.1 问题引入信号的功率放大是电子通信系统的关键功能之一，其实现模块称为功率放大器（PA，Power Amplifier），简称功放。功放的输出信号相对于输入信号可能产生非线性变形，这将带来无益的干扰信号，影响信信息的正确传递和接收，此现象称为非线性失真。传统电路设计上，可通过降低输出功率的方式减轻非线性失真效应。功放非线性属于有源电子器件的固有特性，研究其机理并采取措施改善，具有重要意义。目前已提出了各种技术来克服改善功放的非线性失真，其中预失真技术是被研究和应用较多的一项新技术，其最新的研究成果已经被用于实际的产品（如无线通信系统等），但在新算法、实现复杂度、计算速度、效果精度等方面仍有相当的研究价值。本题从数学建模的角度进行探索。若记输入信号，输出信号为， 为时间变量，则功放非线性在数学上可表示为，其中为非线性函数。预失真的基本原理是：在功放前设置一个预失真处理模块，这两个模块的合成总效果使整体输入-输出特性线性化，输出功率得到充分利用。原理框图如图1-1所示。图1-1 预失真技术的原理框图示意1.2问题研究在上述提供的背景材料以及自行查阅相关文献资料的基础上，请你们的团队研究下列问题。要求写出计算的过程、注明所用的优化方法、解释选择中间参数的理由、并附上所用的程序（C/C+/Java/Matlab等）。为保证所用模型的工程可实现性，请考虑选用适当复杂度的模型和算法。以下各题中的数学建模鼓励创新，不局限于背景介绍的模型方法。1. 无记忆功放数据文件1给出了某功放无记忆效应的复输入-输出测试数据，其输入-输出幅度图为： 图1-2 功放输入/输出幅度散点图请根据提供的数据，完成以下任务。A建立此功放的非线性特性的数学模型，然后用NMSE评价所建模型的准确度。B根据线性化原则以及“输出幅度限制”和“功率最大化”约束，建立预失真模型。写出目标误差函数，计算线性化后最大可能的幅度放大倍数，运用评价指标参数NMSE/EVM评价预失真补偿的结果。2. 有记忆功放数据文件2给出了某功放的有记忆效应的复输入-输出数据，请完成以下任务。A建立此功放的非线性特性的数学模型，然后用NMSE评价所建模型的准确度。B根据线性化原则以及“输出幅度限制”和“功率最大化”约束，以框图的方式建立预失真处理的模型实现示意图（提示：可定义基本实现单元模块和确定其之间关系，组成整体图），然后计算预失真模型相关参数。运用评价指标参数NMSE/EVM评价预失真补偿的计算结果。3 拓展研究相邻信道功率比（Adjacent Channel Power Ratio，ACPR）是表示信道的带外失真的参数，衡量由于非线性效应所产生的新频率分量对邻道信号的影响程度。其定义为 （1-1）其中为信号的功率谱密度函数，为传输信道，为相邻信道。功率谱密度的计算可通过对信号的自相关函数进行Fourier变换计算，也可以通过直接法等计算（假定本题涉及的信号为时间平稳信号）。如果题2所附的数据采样频率MHz，传输信道按照20MHz来算，邻信道也是20MHz。根据给出的数据，请计算功放预失真补偿前后的功率谱密度，并用图形的方式表示三类信号的功率谱密度（输入信号、无预失真补偿的功率放大器输出信号、采用预失真补偿的功率放大器输出信号），最后用ACPR对结果进行分析评价。二 模型假设1. 假设题目所给的数据真实可靠；2. 假设功放在无输入时仍有很小的输出值；3. 假设功放的输入数据不会导致饱和溢出；三 符号说明：输入信号；：离散采样后输入信号；：功率放大器的输出信号；：离散采样后功率放大器的输出信号；：预失真器的输出信号；：离散采样后预失真器的输出信号；：功放非线性模型的各次幂系数组成的矩阵；：预失真器非线性模型的各次幂系数组成的矩阵；：功率放大器的理想“幅度放大系数”，；：功放的输入-输出传输特性；：预失真器的特性；：有记忆功放的记忆深度；：离散采样值的个数；：归一化均方误差值；四 模型的建立和求解4.1 无记忆功放模型的建立和求解4.1.1 问题分析该问题是建立无记忆功放的非线性数学模型，从而根据该模型来建立预失真模型，使输出与输入呈线性。 该问题的某一时刻的输出仅与此时刻的输入有关，因此无延迟项，根据题中的背景介绍，可以根据函数逼近的Weierstrass定理，建立简单的多项式来表示非线性函数模型，最终应用matlab的数据拟合即可得出无记忆功放的非线性特性的数学模型非线性失真主要有幅度失真和相位失真，但是根据问题一所给的数据分析得到输入与输出不存在相位上的失真，每组数据只是幅度放大的倍数是不一致的。因此在该问题中数据拟合时无需针对相位信息进行数据拟合，只需要针对幅度来拟合出适合的非线性模型，即多项式模型。最后通过值的优劣来选择适合的非线性的阶数。4.1.2模型建立根据题目所给的背景资料，无记忆功放的非线性模型可以采用简单的多项式来表示。在该题中，无记忆功放在某一时刻的输出仅与此时刻的输入有关，因此，可以将此功放的非线性特性模型表示为 （4-1）其中：为功放的输出值； 为功放的输入值； 为非线性的阶数（即多项式的次数）； 为第阶的系数。在所给的题目中，所给的数据都是经过离散采样后的值，因此，对于式（4-1）可用离散多项式来建立非线性数学模型： （4-2）其中：为离散采样后功率放大器的输出信号；为离散采样后功率放大器的输入信号； 为非线性的阶数（即多项式的次数）； 为第阶的系数；为离散采样值的个数。为了计算各次幂系数，对于共有个时刻的输入输出关系，也可以将式（4-2）改写成矩阵的形式 （4-3）其中：表示用于第个时刻的建模输入向量，； 是（）个系数构成的纵向量，； 共有个时刻的输出，即这时，通过评价，得到系数矩阵的最优值 （4-4）其中，是矩阵的共轭转置； 是矩阵的逆。4.1.3模型求解非线性失真主要分为幅度失真和相位失真，在该题中所给出的数据经过分析后得出不存在相位上失真，每组输入输出数据的角度都是不变的，因此在求解该非线性模型时，无需对相位再进行分析，只需要针对幅度来求解各次幂的阶数以及非线性的阶数。对于求解该非线性模型，其实就是数据拟合的过程。这里可以直接用matlab中的ployfit函数或者用式（4-4）的方法，即可得到各次幂的系数。对于模型的阶数，可以用的值来评判，即不同阶数的模型的值越小，该阶数就是越优的。具体求解步骤：Step1：设定不同的阶数，用polyfit函数或式（4-4）求解出各次幂的系数；Step2：求出不同阶数时的值；Step3：比较值，得出最优的阶数。根据以上的算法思路，可以得到不同阶数的值，如图4-1。图4-1 阶数与的关系图如图4-1所示，在=36时，所得的值最小，也就是最优的阶数是36。但是考虑到在=4时，=-47.13dB，拟合程度已经相当好，再增加阶数，只会增加计算的复杂度，但效果不能再得到很明显的改善。因此将阶数定为4，此时系数矩阵。此时，所得到的此功放的数学模型为： （4-5）在此模型下，功放的输入输出的幅度图如4-2所示，包含所得的与原数据。图4-2 功放的输入输出幅度图由图4-2可以看出，拟合的数据与原数据的吻合程度很好，表示归一化均方误差，表征所计算的精度。越小，吻合程度越好，即计算精度越高。在时，即可表明此时的计算精度已经相当高。当阶数时，值为-47.13dB（），符合要求，因此所得到的非线性模型准确度很高。4.2 无记忆功放预失真模型的建立和求解4.2.1问题分析该问题是在线性化原则（即保证功放不失真）的基础上，以“输出幅度限制”和“功率最大化”为约束条件，建立预失真模型，并构造出评价预失真模型的目标误差函数。对于“输出幅度限制”就是限定预失真处理的输出幅度不大于所给出的功放输入的幅度最大值1.0553。对于“功率最大化”，需要满足预失真处理后的输出幅度尽可能的高。在该问题中，首先根据已建立好的无记忆功放模型，以及需要满足的线性化原则，得到（是功放的输入-输出传输特性，是预失真器的特性，是整个系统最后理想的放大倍数）。然后通过估计出的值（查表法），最后再通过数据拟合的方法得到预失真的模型。对于目标误差函数，因为题目中没有给出无失真的数据，因此在本文中，可以通过比较和，从而得到最优的预失真模型。即设定目标误差函数。最后将得到的预失真和功放的联合模型用NMSE评价预失真补偿的结果。4.2.2模型建立在该问题中，最重要的就是要使得整个系统呈线性，保证输入与输出数据呈线性关系，也就是要保证 （4-6）其中：是功放的输入-输出传输特性；是预失真器的特性；是整个系统理想的放大倍数；为功放的输入值。由式（4-6），可以看出预失真器也是非线性的，因此同样可以将预失真器的线性模型设为 （4-7）根据（4-7），预失真器模型的离散多项式为 （4-8）其中：为预失真器的输出； 为预失真器的输入； 为第阶的系数；为非线性的阶数（即多项式的次数）；为离散采样值的个数。式（4-8）写成矩阵的形式为 （4-9）其中：表示用于第个时刻的建模输入向量，； 是（）个系数构成的纵向量，； 共有个时刻的输出，即除此之外，要有“输出幅度限制”，即。“功率最大化”约束就是要使得预失真之后的输出要尽可能的大，即尽可能大。由上述两个约束条件，可以知道在预失真最大输入为1.0553情况下，此时为了保证预失真输出尽可能大，此刻的输出为1.0553，经过PA放大最多为1.9275，此时的放大倍数，因此，在保证线性化原则以及两个约束条件的前提下，最大可能的放大倍数。对于目标误差函数的选择可以采用最小差平方来评判，即 （4-10）其中，为整个系统的理想输出，； 为所建模型的输出，即。目标误差函数值越小，吻合程度越好。4.2.3模型求解在该题中，题目没有直接给出预失真器的输出值，首先需要计算出对应于输入的预失真输出值，然后再通过数据拟合的方法计算出预失真器的系数矩阵。对于值的计算，主要采用查表的方法。首先将PA的输入输出特性关系用确切的数值表示出，按顺序将其存入.mat文件中，因此输入的精度应尽可能高。然后根据线性原则得到每个输入得到整个系统后的输出值，通过查表找出与最为接近的值，通过此时存储值的位置来确定值。具体的求解步骤如下：Step1：将输入 在0,1.0553范围内每隔0.0001取值，用无记忆功放的非线性特性的模型计算出相对应的输出，按顺序存放于.mat文件中（比如输入为0.0001，则结果存储在第1格中）；Step2：通过线性准则得出当输入为时，输出为（），在.mat文件中找出与最接近的值，然后根据具体位置除以10000即可，当输入为0时，输出也为0；Step3：找出与输入相对应的预失真输出后，用polyfit函数即可拟合出预失真器的非线性模型。Step4：通过目标误差函数可以得出最优的非线性阶数，目标误差函数越小，阶数为最优。根据上述的算法思路，可以得到当时，得到的目标误差函数与阶数的关系图，如4-3所示。图4-3 阶数与的关系图如图4-3所示，当时，最小，值为0.0011。此时的系数矩阵在此模型下，预失真器输入输出的幅度图如5-4，包含拟合的数据与原数据。 图4-4 预失真器的输入输出幅度图由图4-4可以看出拟合的数据与原数据两者拟合的程度很好。图4-5 整个系统的输入输出的幅度如图4-5，可以看出整个系统的理想输出和实际输出值两者有很好的重合效果，因此预失真器和功放组成的联合模型仍能保持线性，说明加入预失真器，可以保证整个系统无失真。因为当时，就可判定精度为优，此时，预失真补偿之后的，因此整体联合模型的线性效果很好，因此预失真的补偿效果比较可靠。4.3 有记忆功放模型的建立和求解4.3.1问题分析该问题是建立有记忆功放的非线性数学模型，从而根据该模型来建立预失真模型，使输出与输入呈线性。 该问题的某一时刻的输出不仅与此时刻的输入有关，而且与此前某一时间段的输入有关，因此此时所建立的非线性模型必须含有延迟项，可以在问题一中A题的基础上来建立模型，只需要增加记忆效应。因此在该题中，有非线性的阶数和记忆深度这两个参数需要确定，用的值来决定所采用的阶数和记忆深度。在该题中，输出数据与输入数据不仅在幅度上失真，在相位上也同样失真，此时，不能像问题一中的A题一样只考虑幅度值，因此在该题中，直接对复数进行处理。因为该问题中还要考虑记忆深度的问题，所以用矩阵来表示有记忆功放的非线性模型，这样就可以直接对矩阵进行运算即可。4.3.2模型建立该问题针对的是有记忆功放的非线性模型，因此在某一时刻的输出不仅与此时刻的输入有关，而且与此前某一时间段的输入有关，因此此时所建立的非线性模型必须含有延迟项，可以在问题一中A题的基础上来建立模型，只需要增加记忆效应。这时对式（4-2）增加记忆效应，可以写成 （4-11）其中：为离散采样后功率放大器的输出信号；为离散采样后功率放大器的输入信号； 为非线性的阶数（即多项式的次数）； 为第阶、延迟的系数； 为记忆深度；为离散采样值的个数。为了便于计算，可以将式（4-11）改写成“和记忆多项式”模型 （4-12）为了计算各次幂系数，对于共有个时刻的输入输出关系，也可以将式（5-12）改写成矩阵的形式 （4-13）其中：表示用于第个时刻的建模输入向量，且； 是个系数构成的纵向量，； 共有个时刻的输出，即这时，通过评价，得到系数矩阵的最优值 （4-14）其中，是矩阵的共轭转置； 是矩阵的逆。4.3.3模型求解在该问题中，由于数据量较大，因此在计算系数时，采用的是式（4-14）来计算，直接通过矩阵的逆和共轭转置来求得系数矩阵。在求解的过程中通过取不同的阶数和记忆深度来找出相应的值，从而相比较得出较优的系数矩阵、阶数和记忆深度。具体求解步骤如下：Step1：构造如式（4-14）的矩阵以及系数矩阵； Step2：取不同的阶数和记忆深度，根据式（4-14）来计算系数矩阵；Step3：求出Step2中相对应的值；Step4：比较值，从而选取较优的阶数和记忆深度。根据上述的算法思路，可以得到不同的（dB）值，具体如表4-1所示。 1234560-24.4634-24.5509-24.9816-24.9981-24.9994-24.99981-29.1881-29.5384-31.0481-31.1318-31.1372-31.13872-32.7038-33.5457-39.7042-40.4419-40.4848-40.49983-33.1570-34.1741-42.6899-44.3839-44.5408-44.58794-33.1998-34.2293-43.1104-45.0080-45.2330-45.2842表4-1 不同阶数和记忆深度时值如表4-1所示，纵向观察，当时，不再有显著改变；横向观察，当时，也不再有显著改变，因此可以取非线性的阶数，记忆深度，此时的系数矩阵为在此情况下，可以看出此时的吻合程度很好，因此在阶数，记忆深度，系数矩阵为上述时，所建有记忆功放的非线性模型准确度较好。4.4 有记忆功放的预失真模型的建立和求解4.4.1 问题分析对于预失真器模型的建立问题，最主要的是要保证预失真器和PA功放的联合模型最后的输出与输入保持线性关系，在此基础上，还要有“输出幅度限制”和“功率最大化”的约束条件，这时再求解预失真器的非线性模型。要保证信号的无失真，即信号的线性放大，预失真器的特性应与PA功放的特性相反，即假设功放的输入为，输出为，那么预失真器应当满足输入为，而此时输出应为，但是因为整个系统是需要有一定放大系数，因此可以将预失真器的输入修改为，输出为。再用有记忆功放中矩阵求解的方法来求解预失真器的系数矩阵。预失真模型的实现示意图就是将上述的假设用框图更为形象地说明。最后再用来评价所得到的预失真器的模型即可。4.4.2 模型建立要使得预失真器和功放的联合模型是线性模型，预失真器的特性应与PA功放的特性相反，即若输入为，输出为，那么预失真器应当满足输入为，而此时输出应为，但是因为整个系统是需要有一定放大系数，因此可以将预失真器的输入修改为，输出为。如图4-6 所示，图4-6 系统的等效模型图根据图4-6，可以将预失真器模型实现的示意图定为如图4-7。图4-7 预失真器的预失真器模型实现的示意图在图4-7 中， z(n)表示无预失真功放输出，除以g值之后作为预失真器A的输入，无预失真功放输入作为预失真器A的输出，这样可以估算出预失真器模型参数，然后将这些参数送给预失真器B。将无预失真功放输入作为预失真器B的输入,然后分别可以求出和，然后通过求z(n)和的NMSE来评价结果吻合度，和预失真器A系数计算精度。这里假设预失真的阶数以及记忆深度均与功放的相同，即阶数，记忆深度，则预失真器的非线性模型可以表示为 （4-15）其中：表示用于第个时刻的建模输入向量，且； 是个系数构成的纵向量，； 共有个时刻的输出，即这时，通过评价，得到系数矩阵的最优值 （4-16）其中，是矩阵的共轭转置； 是矩阵的逆。对于预失真器的输入值根据图4-6，即是原来功放输出的，而输出即是原功放的输入值。此时根据式（4-16）可求出系数矩阵。对于的估计，在满足“输出幅度限制”条件下，为了保证功放输出“功率最大化”，预失真处理后的输出幅度需尽可能高，这样预失真器输入值也需尽可能高，这样输出值才会大，所以这里我们在评估最大功放倍数的时候，选取的输入点模值大于0.6。 一般情况下，值的计算是通过功放输出的最大值与输入信号的最大值比值来完成的，所以这里我们就用筛选出来的值来评估值。通过matlab仿真，得出左右。4.4.3 模型求解在该问题中，用来表示预失真器的输入，将原功放的输入值作为预失真器的输出，这时就已知预失真器的输入和输出，就可以通过式4- ，求解出系数矩阵。具体的求解步骤如下：Step1：根据题目所给的功放的输出值计算出；Step2：用式（4-）计算出系数矩阵；Step3：通过所得的预失真模型和功放模型所组成的联合模型，求得输入信号经过整个系统的真实输出值；Step4：将真实输出值和理想输出值相比较得出值。根据上述的算法思路，得到不同放大倍数时的值，见表4-。678910-18.6876-18.9036-19.0058-18.9723-18.8443表4-2不同放大倍数时的值由表4-2可知，在时，所得到的值最小，因此在该题中取，此时的，与上文中的有一定的差距，可以通过改变阶数和记忆深度来使得的值降低即可。系数矩阵此时，整个联合模型的输入输出的关系如图4-8所示。图4-8 整个联合模型的输入-输出的关系图如图4-8，因为数据过多的缘故，整个图形比较粗，但是仍能看出输入输出的关系呈现线性。4.5 拓展研究4.5.1 问题分析该问题是要用图形的方式表示出输入信号、有无预失真补偿三类信号的功率谱密度，然后用ACPR对结果进行分析评价，分析预失真对由于非线性效应产生的带外失真的影响。由于自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对，所以该题首先计算信号的自相关函数，然后通过傅里叶变换从而得到功率谱密度。之后再通过观察所作出的频谱图可以得出传输信道带宽范围，即和，这样再对功率谱密度积分求得功率，从而计算出。而是衡量非线性效应对林信道信号的影响程度，因此可以预失真器的效果进行分析评价。 4.5.2问题求解在该题中，需要求解 （4-17）其中：为信号的功率谱密度函数；为传输信道， 为相邻信道。由于自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对，因此求信号的功率谱密度，可以先求信号的自相关函数，然后再通过自相关函数求解功率谱密度。本文的数据都是离散采样的，因此自相关函数同样为离散的，自相关函数为 （4-18）其中：为的自相关函数； 为求均值；因此，所得的功率谱密度为 （4-19）其中：为求离散时间傅里叶变换。算法思路为：Step1：根据式（4-18）计算出输入信号、有无预失真补偿三类信号的自相关函数；Step2：对自相关值作傅里叶变换（作完自相关之后为原来的两倍，因此在matlab中的FFT点数选取为），即功率谱密度；Step3：作出三类信号的功率谱密度；Step4：计算三类信号的值。根据上述的算法，所得的三类信号的功率谱密度图4-9，4-10，4-11。4-9 输入信号的功率谱密度图4-10 未预失真时输出数据的功率谱密度图4-11 预失真后输出信号的功率谱密度输入信号、有无预失真补偿三类信号的值如表4-3。输入信号无预失真补偿输出预失真补偿输出表4-3 三类信号的值是表示信道的带外失真程度的参数，值越小，说明带外失真越小，对邻信道的影响程度也越小。输入信号的，在未进行预失真补偿时输出信号的，进行预失真补偿时的。在输入信号和进行预失真之后输出信号的比未进行预失真时输出信号的要小，因此预失真后输出信号带外失真要小，对邻信道影响程度也较小，所以在信号经过放大后要尽量保持线性，才能使得信号在自身信道保持良好的性能，对邻信道的影响程度也较小。五 模型的评价和推广本文所建立的模型方法简单易行,拟合程度很好,可以用于实际。但是考虑影响因素程度不够深，在处理问题时可能存在一些误差，对g值的确定不够精确，对值和值的确定也不够全面。对于第二问的B题,由于时间有限所以没有做预失真模型4及3的情况，理论上来说，值适当变大，可以使预失真器的效果变的更好，而值变大，也有可能改善预失真器的效果。同时更精确的选取值，也可以降低指标。参考文献1 司守奎,孙玺菁.数学建模算法与应用.国防工业出版社,2011.82 吴镇杨,数字信号处理.高等教育出版社,2004.93 吴樟强,刘太君,等.基于记忆多项式的射频功放模型研究.宁波大学学报,2007.74 樊昌信，曹丽娜.通信原理.国防工业出版社,2006.10