高考三角函数经典解答题及答案.doc

1在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且
（1）求的值；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．
解：(1) 由余弦定理：conB=
sin+cos2B= -
（2）由 ∵b=2，
+=ac+4≥2ac,得ac≤,S△ABC=acsinB≤(a=c时取等号)
故S△ABC的最大值为
2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（I）求cosB的值；
（II）若，且，求b的值.
解：（I）由正弦定理得，

因此
（II）解：由，

所以a＝c＝
3已知向量m =, 向量n = （2，0），且m与n所成角为，
其中A、B、C是的内角。
(1)求角B的大小;
(2)求 的取值范围。
解：（1） m =，且与向量n = （2，0）所成角为，

又

（2）由（1）知，，A+C=
===
，

，
4已知向量， （I）求A的大小；（II）求的值.
解：（1）由m//n得 ……2分
即 舍去
（2）
由正弦定理，

5在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，C＝2A，，
（1）求的值；
（2）若，求边AC的长。
解：（1）

　（2）　　①
　又　　　②
　由①②解得a=4，c=6

　，即AC边的长为5.
6已知是△的两个内角，向量，若.
（Ⅰ）试问是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由；
（Ⅱ）求的最大值，并判断此时三角形的形状.
解：（Ⅰ）由条件

∴
∴ ∴为定值.
（Ⅱ）
由（Ⅰ）知，∴
从而≤
∴取等号条件是， 即 取得最大值，
7在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =，且
(1) 求角C的大小； （2）求△ABC的面积.
解：(1) ∵A+B+C=180°
由
∴
整理，得
解 得： ……5分
∵ ∴C=60°
（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab
∴
由条件a+b=5得 7=25－3ab
……10分
∴
8已知角为的三个内角，其对边分别为，若，，，且．
（1）若的面积，求的值．
（2）求的取值范围．
解：（1），，且.
，即，又，………..2分
又由，
由余弦定理得：
，故
（2）由正弦定理得：，又，

，则.则，即的取值范围是…10分
9在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(tanA－tanB)＝1＋tanA·tanB．
(1)若a2－ab＝c2－b2，求A、B、C的大小；
(2)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，求｜3m－2n｜的取值范围．

10在中，角的对边分别为，，，且。
⑴求角的大小；
⑵当取最大值时，求角的大小
解：⑴由，得，从而
由正弦定理得

，， （6分）
⑵

由得，时，
即时，取最大值2
11在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.
（I）求角B的大小；
（II）若，求△ABC的面积.
解：（I）解法一：由正弦定理得

将上式代入已知
即
即
∵
∵
∵B为三角形的内角，∴.
解法二：由余弦定理得
将上式代入
整理得
∴
∵B为三角形内角，∴
（II）将代入余弦定理得
，
∴
∴.
12中，、、是三个内角、、的对边，关于 的不等式的解集是空集．
（1）求角的最大值；
（2）若，的面积，求当角取最大值时的值．
解析：（1）显然 不合题意， 则有，
即， 即，
故，∴角的最大值为。 …………………6分
（2）当=时，，∴，
由余弦定理得，
∴，∴。
13在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a－c）cosB=bcosC.
（Ⅰ）求角B的大小；
20070316
（Ⅱ）设的最大值是5，求k的值.
解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，
∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC.……………………………………………2分
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
=sin(B+C)
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………4分
∵0<A<π,∴sinA≠0.
∴cosB=.…………………………………………………………………5分
∵0<B<π，∴B=.…………………………………………………………6分
（II）=4ksinA+cos2A.…………………………………………………………7分
=－2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，）……………………………………10分
设sinA=t，则t∈.
则=－2t2+4kt+1=－2(t－k)2+1+2k2,t∈.…………………………12分
∵k>1，∴t=1时，取最大值.
依题意得，－2+4k+1=5，∴k=.
14已知锐角△ABC三个内角为A、B、C，向量 与向量是共线向量.　
（Ⅰ）求角A. （Ⅱ）求函数的最大值.
解：（Ⅰ） 共线
……2分
　　　　 …………4分　
又为锐角，所以………6分
（Ⅱ）

　　　　……………9分
　　　　…………10分
　　　　时，…………12分
15在三角形ABC中，=（cos,sin）, =(cos,－sin且的夹角为
（1）求C；
（2）已知c=,三角形的面积S=,求a+b（a、b、c分别∠A、∠B、∠C所对的边）
解：（1）

cosC= C=
（2） c2=a2+b2－2abcosC c=
=a2+b2－ab=(a+b)2－3ab. S=absinC=absin=ab=
Ab=6 (a+b)2=+3ab=+18= a+b=
16已知中，角A，B，C，所对的边分别是，且；
（1）求
（2）若，求面积的最大值。
解：（Ⅰ）

（Ⅱ）
又

当且仅当时，△ABC面积取最大值，最大值为.
17在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA-cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。
解析：（I）由正弦定理得
因为所以

（II）由（I）知于是

取最大值2．
综上所述，的最大值为2，此时
18 △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，a+c=b，求 C．
解：由及正弦定理可得
…………3分
又由于故

…………7分

因为，
所以
19在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（I）求的值；（II）若cosB=，b=2，的面积S。
解： （I）由正弦定理，设
则
所以
即，
化简可得
又，
所以
因此
（II）由得
由余弦定理

解得a=1。因此c=2
又因为所以
因此
20在中，分别为内角的对边，
且
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，试判断的形状.
解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
又，得
因为，
故
所以是等腰的钝角三角形。
21在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
解：
（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故 ，A=120° ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分

22△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足。
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求的最大值。

23设锐角三角形的内角的对边分别为，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）

．
由为锐角三角形知，
，．
，
所以．
由此有，
所以，的取值范围为．
24在中，角所对应的边分别为，，
，求及
解：由得
∴ ∴
∴，又
∴
由得
即 ∴

由正弦定理得

25在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且
(Ⅰ)确定角C的大小：
（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。
解（1）由及正弦定理得， 21世纪教育网

是锐角三角形，
（2）解法1：由面积公式得

由余弦定理得21世纪教育网

由②变形得
解法2：前同解法1，联立①、②得

消去b并整理得解得
所以故

15