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2022版高考物理一轮复习 第5章 机械能及其守恒定律 第1节 功和功率教案

2022版高考物理一轮复习 第5章 机械能及其守恒定律 第1节 功和功率教案

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- 15 -

第1节 功和功率
[选择性考试备考指南]
考点内容
要求
命题分析
核心素养
功和功率
Ⅱ
1．本章命题形式多样，热点集中在动能定理、机械能守恒定律、功能关系的应用。
2．本章经常与牛顿运动定律、圆周运动、平抛运动、动量相结合，题型以计算题为主。
物理观念：功、功率、动能、重力势能、弹性势能、机械能。
科学思维：功率与牵引力和速度的关系、动能定理、机械能守恒定律、功能关系。
科学探究：探究动能定理、探究机械能守恒定律。
科学态度与责任：能源的开发、利用及能量的转化与守恒。
动能和动能定理
Ⅱ
重力做功与重力势能
Ⅱ
功能关系、机械能守恒定律及其应用
Ⅱ
实验五：探究动能定理

实验六：验证机械能守恒定律

第1节　功和功率

一、功
1．做功两因素
力和物体在力的方向上发生的位移。
2．公式：W＝Flcos α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l是物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
3．功的正负的判断方法
恒力的功
依据力与位移方向的夹角来判断
曲线运动
中的功
依据力与速度方向的夹角α来判断，0°≤α＜90°时，力对物体做正功；90°＜α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功
能量变化
时的功
功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功
二、功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值。
2．物理意义：描述力做功的快慢。
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率。
(2)P＝Fvcos α(α为F与v的夹角)。
①v为平均速度，则P为平均功率。
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械长时间正常工作时输出的最大功率。
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率。

一、思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功。 (×)
2．一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。 (√)
3．滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定做负功。 (×)
4．据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比。 (√)
5．汽车上坡的时候，司机必须换挡，其目的是减小速度，得到较大的牵引力。 (√)
6．公式P＝Fv中的F是物体受到的合外力。 (×)
二、走进教材
1．(人教版必修2P59T1改编)如图所示，力F大小相等，物体运动的位移s也相同，哪种情况F做功最少(　　)

A　　　　　　B

C　　　　　　D
[答案]　D
2．(人教版必修2P63T3改编)(多选)关于功率公式P＝和P＝Fv的说法正确的是(　　)
A．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率
B．由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率
C．由P＝Fv知，随着汽车速度增大，它的功率也可以无限增大
D．由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
BD　[P＝只适用于求平均功率，P＝Fv虽是由前者推导得出，但可以用于求平均功率和瞬时功率，选项A错误，B正确；汽车运行时不能长时间超过额定功率，故随着汽车速度的增大，它的功率并不能无限制的增大，选项C错误；当功率一定时，速度越大，牵引力越小；速度越小，牵引力越大，故牵引力与速度成反比，选项D正确。]
3．(粤教版必修2P67T5)用起重机将质量为m的物体匀速吊起一段距离，那么作用在物体上的各力做功情况应是下列说法中的哪一种(　　)
A．重力做正功，拉力做负功，合力做功为零
B．重力做负功，拉力做正功，合力做正功
C．重力做负功，拉力做正功，合力做功为零
D．重力不做功，拉力做正功，合力做正功
C　[物体匀速上升，重力方向与位移方向相反，重力做负功，拉力竖直向上，拉力方向与位移方向相同，拉力做正功，物体做匀速直线运动，处于平衡状态，所受合力为零，则合力做功为零，故A、B、D错误，C正确。]

功的分析与计算　
1．物体在大小相等的力F作用下，分别在粗糙的水平地面上发生了一段位移x，其力与速度方向夹角如图所示，则下列判断正确的是(　　)

A．甲图中力F做负功
B．乙图中合外力做功最多
C．丙图中摩擦力做功最多
D．三个图中力F做功相同
B　[根据W＝Fxcos α，甲中F与位移x的夹角为30°，力F做正功，乙中F与x的夹角为150°，力F做负功，丙中F与x的夹角为30°，力F做正功，这三种情形下力F和位移x的大小都是一样的，将力沿着水平和竖直方向正交分解，水平分力大小相同，只有水平分力做功，竖直分力不做功，故三种情况下力F做功的大小是相等的，但乙图中力F做功的性质与其他两个不同，选项A、D错误；将力F正交分解可知，竖直方向上甲对地面的压力最大，故甲受到的摩擦力大于乙、丙受到的摩擦力，而对乙分析可知，摩擦力与拉力的方向相同，故乙中合外力最大，所以乙图中合外力做功最多，选项B正确；由B的分析可以知道，甲中摩擦力最大，故甲中摩擦力做功最多，选项C错误。]
2.(多选)如图所示，粗糙的斜面在水平恒力的作用下向左匀速运动，一物块置于斜面上并与斜面保持相对静止，下列说法中正确的是(　　)

A．斜面对物块不做功
B．斜面对地面的摩擦力做负功
C．斜面对物块的支持力做正功
D．斜面对物块的摩擦力做负功
ACD　[斜面对物块的作用力可以等效为一个力，根据平衡条件，这个力与物块的重力大小相等，方向相反，与位移方向的夹角为90°，所以不做功，选项A正确；地面受到摩擦力作用，但没有位移，所以斜面对地面的摩擦力不做功，选项B错误；斜面对物块的支持力与位移方向的夹角小于90°，做正功，而斜面对物块的摩擦力与位移方向的夹角大于90°，做负功，所以选项C、D正确。]
3.如图所示，质量为m的小球用长为L的轻绳悬挂于O点，用水平恒力F拉着小球从最低点运动到使轻绳与竖直方向成θ角的位置，求此过程中，各力对小球做的总功为(　　)

A．FLsin θ
B．mgL(1－cos θ)
C．FLsin θ－mgL(1－cos θ)
D．FLsin θ－mgLcos θ
C　[如图，小球在F方向的位移为CB，方向与F同向，则WF＝F·CB＝F·Lsin θ小球在重力方向的位移为AC，方向与重力反向，则WG＝－mg·L(1－cos θ)
绳的拉力FT时刻与运动方向垂直，则WFT＝0
故W总＝WF＋WG＋WFT＝FLsin θ－mgL(1－cos θ)
所以选项C正确。]

1．恒力做功的计算方法

2．总功的计算方法
方法一：先求合外力F合，再用W总＝F合lcos α求功。适用于F合为恒力的过程。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W总＝W1＋W2＋W3…求总功，注意代入“＋”“－”再求和。
功率的分析与计算　
1.一质量为m的物体从倾角为α的固定光滑斜面顶端由静止开始下滑，斜面高为h，当物体滑至斜面底端时，重力做功的瞬时功率为(　　)

A．mg B．mgsin α
C．mgsin α D．mg
C　[由于斜面光滑，物体下滑过程中机械能守恒，有mgh＝mv2，物体滑至底端的速度为v＝，重力做功的瞬时功率P＝mgv·cos θ，由几何关系可知mg、v的夹角θ＝90°－α，则物体滑至底端时重力做功的瞬时功率P＝mgsin α，故C正确。]
2．(启光卓越联盟广东省2021届高三年级11月调研)如图所示，某人用绳子拉水平地面上的木箱以恒定速度v向前运动，已知木箱的质量为m，绳子的拉力大小为F且与水平面夹角为θ，木箱与地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)

A．木箱受到的支持力可能为零
B．木箱受到的摩擦力大小为μmg
C．绳子拉力的功率为Fvcos θ
D．木箱与地面间的动摩擦因数μ＝
C　[由平衡条件，水平方向Fcos θ＝f＝μ(mg－Fsin θ)，竖直方向FN＝mg－Fsin θ，A、B、D选项错误，绳子拉力的功率为Fvcos θ，C选项正确。]
3.(多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则(　　)

A．3t0时刻的瞬时功率为
B．3t0时刻的瞬时功率为
C．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
D．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
BD　[3t0时刻物体的瞬时速度为v＝·2t0＋·t0＝，瞬时功率为P＝3F0·v＝3F0·＝，A错误，B正确；在t＝0到3t0这段时间内，水平力做的功W＝F0···(2t0)2＋3F0＝，该过程的平均功率＝＝，C错误，D正确。]

1．平均功率的计算方法
(1)利用P＝。
(2)利用P＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝F·vcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
机车启动问题　
1．两种启动方式
恒定功率启动
动态
过程

P­t图
象和v­t
图象

恒定加速度启动
动态
过程

P­t图象和v­t图象

2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝。
(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v＝<vm＝。
(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－Ffx＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移、速度或时间。
　某汽车发动机的额定功率为120 kW，汽车质量为5 t，汽车在运动中所受阻力的大小恒为车重的0.1倍。(g取10 m/s2)
(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车速度达到10 m/s时，其加速度是多少？
(2)若汽车以恒定加速度0.5 m/s2启动，则其匀加速过程能维持多长时间？
思路点拨：(1)达到最大速度时，汽车处于匀速运动状态。
(2)以加速度0.5 m/s2匀加速启动时，达到匀加速的最大速度时功率达到额定功率。
[解析]　(1)当汽车的加速度为零时，汽车的速度v达到最大值vm，此时牵引力与阻力大小相等，故最大速度为
vm＝＝＝ m/s＝24 m/s
v＝10 m/s时的牵引力
F1＝＝ N＝1.2×104 N
由F1－Ff＝ma得a＝
＝ m/s2＝1.4 m/s2。
(2)当汽车以a′＝0.5 m/s2的加速度启动时的牵引力
F2＝ma′＋Ff＝(5 000×0.5＋0.1×5×103×10)N＝7 500 N
匀加速运动能达到的最大速度为
v′m＝＝ m/s＝16 m/s
由于此过程中汽车做匀加速直线运动，满足v′m＝a′t，
故匀加速过程能维持的时间
t＝＝ s＝32 s。
[答案]　(1)24 m/s　1.4 m/s2　(2)32 s
　机车启动问题的三点注意
(1)在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力或阻力，所以P＝Ffvm只体现了一种数量关系用于计算，即牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度。
(2)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速运动，匀变速直线运动的公式不再适用，启动过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。
(3)以恒定加速度启动只能维持一段时间，之后又要经历非匀变速直线运动，所以匀变速直线运动的公式只适用于前一段时间。

　恒定功率启动
1．一质量为m的电动汽车在平直公路上以恒定的功率加速行驶，当速度大小为v时，其加速度大小为a，设汽车所受的阻力恒为Ff。以下说法正确的是(　　)
A．汽车的功率为Ffv
B．当汽车的速度增加到2v时，加速度为
C．汽车行驶的最大速率为v
D．当汽车的速度为v时，行驶的距离为
C　[设汽车的额定功率为P，汽车的速度为v时，根据牛顿第二定律得－Ff＝ma，解得P＝(Ff＋ma)v，故A错误；加速度为时，此时牵引力为F，则F－Ff＝m·，解得F＝Ff＋m·，此时速度为v′＝＝v＋v<2v，故B错误；汽车匀速运动时，牵引力等于阻力，速率最大，故有vm＝＝v，故C正确；因为该汽车以恒定功率行驶，做加速度减小的变加速运动，无法算出其行驶的距离，故D错误。]
　恒定加速度启动
2．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，之后起重机保持该功率不变，继续提升重物，最后重物以最大速度v2匀速上升，不计钢绳重力。则整个过程中，下列说法正确的是(　　)
A．钢绳的最大拉力为
B．重物匀加速过程的时间为
C．重物匀加速过程的加速度为
D．速度由v1增大至v2的过程中，重物的平均速度<
B　[匀加速过程物体处于超重状态，钢绳拉力较大，匀加速运动阶段钢绳的拉力为F＝，故A错误；根据牛顿第二定律可知F－mg＝ma，结合v＝at解得a＝－g，t＝，故B正确，C错误；重物的速度由v1增大至v2的过程中，功率恒定，根据P＝Fv可知钢绳的拉力减小，a＝，故加速度在减小，所以重物做加速度减小的加速运动，v­t图象如图中曲线所示，若重物做匀加速直线运动其v­t图象如图中直线所示，所以重物做变加速直线运动的v­t图线与坐标轴围成的面积大于匀加速直线运动时v­t图线与坐标轴围成的面积，即重物做变加速直线运动时的位移大，而所用时间相同，故>，D错误。]
　机车启动中的图象问题
3.一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小f恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D
A　[当汽车的功率为P1时，汽车在运动过程中满足P1＝F1v，因为P1不变，v逐渐增大，所以牵引力F1逐渐减小，由牛顿第二定律得F1－f＝ma1，f不变，所以汽车做加速度减小的加速运动，当F1＝f时速度最大，且vm＝。当汽车的功率突变为P2时，汽车的牵引力突增为F2，汽车继续加速，由P2＝F2v可知F2减小，又因F2－f＝ma2，所以加速度逐渐减小，直到F2＝f时，速度最大v′m＝，以后匀速运动。综合以上分析可知选项A正确。]
变力做功的分析与计算
求变力做功的几种方法
方法
以例说法
应用动
能定理

用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgl(1－cos θ)＝0，得WF＝mgl(1－cos θ)
微元法

质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝f·Δx1＋f·Δx2＋f·Δx3…＝f(Δx1＋Δx2＋Δx3…)＝f·2πR
功率法
汽车以恒定功率P在水平路面上运动t时间的过程中，牵引力做功WF＝Pt
等效
转换法

恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·
平均
力法

在力的方向不变，大小随位移均匀变化做功问题中，多用平均力法：如弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中(在弹性限度内)，克服弹力做功W＝(x2－x1)
图象法

一水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0x0
[示例]　如图所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg的物块(可看成质点)。用大小始终为F＝75 N的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB在同一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求这一过程中：

(1)拉力F做的功；
(2)桥面对物块的摩擦力做的功。
[解析]　(1)将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力在每一小段上做的功为W1、W2、…、Wn。因拉力F大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°、W2＝Fl2cos 37°…Wn＝Flncos 37°
所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°··2πR≈376.8 J。
(2)重力G做的功WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－240 J，因物块在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知WF＋WG＋Wf＝0
所以Wf＝－WF－WG＝－376.8 J＋240 J＝－136.8 J。
[答案]　(1)376.8 J　(2)－136.8 J

1．如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F的作用下从坐标原点O开始沿x轴正方向运动，F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线右半部分为四分之一圆弧，则小物块运动到2x0处时的动能可表示为(　　)

甲　　　　　　乙　　
A．0 B．Fmaxx0
C．Fmaxx0(1＋π) D．Fmaxx0
D　[题中F­x图象与横坐标围成的面积等于拉力做功的大小，由图象可得出W＝Fmaxx0，根据动能定理得Ek＝W＝Fmaxx0，选项D正确。]
2．用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为(　　)
A．(－1)d B．(－1)d
C． D．d
B　[铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功。由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得W＝1d＝d
W＝2d′＝d′
联立解得d′＝(－1)d，故选B。]
3.(2020·辽宁大连质检)人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m＝50 kg的物体，如图所示，开始时绳与水平方向的夹角为60°。当人匀速提起物体由A点沿水平方向运动L＝2 m而到达B点时，绳与水平方向成30°角。则人对绳的拉力做了多少功？(g取10 m/s2)

[解析]　人对绳的拉力做的功与绳对物体的拉力做的功是相同的，而由于匀速提升物体，故物体处于平衡状态，可知绳上拉力F＝mg
而物体上升的高度等于滑轮右侧绳子的伸长量Δl，设定滑轮的高度为h，由几何关系易
得：－＝L
可得：Δl＝－
解得：Δl≈1.46 m
人对绳子做的功为：
W＝mgΔl＝500×1.46 J＝730 J。
[答案]　人对绳的拉力做730 J的功