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2022版高考数学一轮复习 第1章 预备知识 第2节 充分条件与必要条件学案新人教B版

2022版高考数学一轮复习 第1章 预备知识 第2节 充分条件与必要条件学案新人教B版

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第2节　充分条件与必要条件

一、教材概念·结论·性质重现
1．充分条件、必要条件与充要条件
(1)当p⇒q时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；
当pq时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
(2)如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p⇔q.

①p是q的充分不必要条件是指：p⇒q且qp；
②p的充分不必要条件是q是指：q⇒p且pq.在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．
2．充要关系与集合子集之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．( √ )
(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ )
(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．( √ )
(4)若q不是p的必要条件，则pq.( √ )
(5)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则B是A的子集．( × )
2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　解析：2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，所以“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．
3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(　　)
A．a>b＋1　　　　　　 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
A　解析：选项A中，a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．
4．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
(－∞，2]　解析：由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以a≤2.
5．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)
充分不必要　充要　解析：由题意知p⇒q，q⇔s，s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件.

考点1　充分条件与必要条件的判断——基础性

1．(2020·天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　解析：因为a2>a⇔a＜0或a>1，所以a>1⇒a2>a，反之不成立．故“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．
2．(2019·浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　解析：当a>0，b>0，a＋b≤4时，有2≤ a＋b≤4.所以 ab≤4，此时充分性成立．当a>0，b>0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4，这与a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．综上所述，当a>0，b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.
3．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B　解析：由x2－5x<0可得0<x<5.由|x－1|<1可得0<x<2.因为0<x<50<x<2，但0<x<2⇒0<x<5，所以“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要不充分条件．

判断充分、必要条件的两种方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．
考点2　充分条件与必要条件的探究与证明——综合性

(1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是
(　　)
A．a≥9 B．a≤9
C．a≥10 D．a≤10
C　解析：∀x∈[1,3]，x2－a≤0⇔∀x∈[1,3]，x2≤a⇔9≤a.所以a≥10是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．
(2)设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明：设p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|.
①充分性(p⇒q)：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况．当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立；
当xy>0时，则x>0，y>0，或x<0，y<0.
又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，所以等式成立．
综上，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性(q⇒p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|.
所以|xy|＝xy，所以xy≥0.
由①②可得，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．

1．区分两种易混说法
“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”，前者是“p⇒q，且qp”，后者是“pq，q⇒p”，这种推导关系极易混淆．
2．充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”均为真．
(2)证明前必须分清楚充分性和必要性，即清楚由哪个条件推证到哪个结论．

1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像关于y轴对称的充要条件是(　　)
A．b＝c＝0 B．b＝0且c≠0
C．b＝0 D．b≥0
C　解析：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像关于y轴对称⇔－＝0⇔b＝0.
2．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x||x|≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是(　　)
A．－1＜x≤1 B．x≤1
C．x＞－1 D．－1＜x＜1
D　解析：由题意可知，x∈A⇔x＞－1，x∉B⇔－1＜x＜1，所以“x∈A且x∉B”成立的充要条件是－1＜x＜1.故选D.
3．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
3或4　解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根⇔(－4)2－4n≥0⇔n≤4.又n∈N*，则n＝4时，方程x2－4x＋4＝0有整数根2；n＝3时，方程x2－4x＋3＝0有整数根1,3；n＝2时，方程x2－4x＋2＝0无整数根；n＝1时，方程x2－4x＋1＝0无整数根．所以n＝3或n＝4.
考点3　充分条件、必要条件的应用——应用性

已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________．
[0,3]　解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}．
因为“x∈P”是“x∈S”的必要条件，
所以S⊆P.
所以解得0≤m≤3.
故0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件．

若本例条件不变，是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件？请说明理由．
解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．
若“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S，
所以得
这样的m不存在．

充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．

1．若“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－3,3]
B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D．[－1,1]
D　解析：因为“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，
所以(－1,4)(2m2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.故选D.
2．已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．
(－∞，－3)∪(5，＋∞)　
解析：因为A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，所以∁RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}．因为p是q的充分条件，所以A⊆∁RB，所以m－2>3或m＋2<－1，所以m>5或m<－3.

已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[四字程序]
读
想
算
思
判断充分必要条件
1.充分必要条件的概念；
2．判断充分、必要条件的方法
解不等式
转化与化归
不等式5x－6>x2
1.定义法；
2．集合法；
3．等价转化法
1.一元二次不等式的解法；
2．集合间的包含关系
充分必要条件与集合包含关系

思路参考：解不等式＋求p，q.
A　解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.p：－3≤x≤1；q：x≥3或x≤2.显然p⇒q，qp，所以p是q的充分不必要条件．故选A.

思路参考：解不等式＋判断集合间的包含关系．
A　解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即q：A＝{x|x≤2或x≥3}，p：B＝{x|－3≤x≤1}．显然BA，故p是q的充分不必要条件．故选A.

思路参考：原命题与逆否命题等价性＋转化．
A　解析：利用命题与其逆否命题的等价性，该问题可转化为判断q是p的什么条件．由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.显然q是p的充分不必要条件．故选A.

判断充分、必要、充要条件关系的三种方法：
(1)定义法是最基本、最常用的方法．
(2)集合法主要是针对与不等式解集有关的问题．
(3)等价转化法体现了“正难则反”的解题思想，在正面解题受阻或不易求解时可考虑此方法．

若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠∅”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　解析：A＝{x|0<x<1}．若m>1，则B＝{x|－1<x<m}，此时A∩B≠∅；反之，若A∩B≠∅，则m>0.故选A.