2022高考数学一轮复习-课时规范练51-抛物线北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 课时规范练51 抛物线北师大版

2022高考数学一轮复习 课时规范练51 抛物线北师大版

年级：
姓名：

课时规范练51　抛物线
基础巩固组
1.(2020福建厦门一模)若抛物线x2=ay的焦点到准线的距离为1,则a=(　　)

A.2 B.4 C.±2 D.±4
2.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=42,则△POF的面积为(　　)
A.2 B.22 C.23 D.4
3.(2020河北唐山一模,文8)抛物线x2=2py(p>0)上一点A到其准线和坐标原点的距离都为3,则p=(　　)
A.8 B.6 C.4 D.2
4.F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上,点Q在抛物线的准线上,若PF=2FQ,则|PQ|=(　　)
A.92 B.4 C.72 D.3
5.

(2020河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为5 m,跨径为12 m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A.2512 m B.256 m C.95 m D.185 m
6.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线为l,圆C:x-p22+y2=4,l与圆C交于A,B两点,圆C与E交于M,N两点.若A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,则E的方程为(　　)
A.y2=x B.y2=3x
C.y2=2x D.y2=23x
7.(2020河南安阳三模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,l与x轴的交点为P,点A在抛物线C上,过点A作AA'⊥l,垂足为A'.若四边形AA'PF的面积为14,且cos∠FAA'=35,则抛物线C的方程为(　　)
A.y2=x B.y2=2x
C.y2=4x D.y2=8x
8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为　　　　　. 
9.(2020江西萍乡一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l:x=-1,点M在抛物线C上,点M在准线l上的射影为A,且直线AF的斜率为-3,则△AMF的面积为　　　　　. 
10.已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,曲线C1是以F为圆心,p4为半径的圆,直线23x-6y+3p=0与曲线C,C1从左至右依次相交于P,Q,R,S,则|RS||PQ|=　　　　　. 
综合提升组
11.(2020广东广州一模)已知F为抛物线C:y2=6x的焦点,过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则|AB|=(　　)
A.6 B.8 C.10 D.12
12.已知抛物线C1:y2=2px(p>0)与圆C2:x2+y2-12x+11=0交于A,B,C,D四点.若BC⊥x轴,且线段BC恰为圆C2的一条直径,则点A的横坐标为(　　)
A.116 B.3 C.113 D.6
13.(2020河北衡水中学三模,理14)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点M(1,1)的直线与C交于A,B两点,若M恰好为AB的中点,则|AF|+|BF|=　　　　　,直线AB的斜率为　　　　　. 
14.设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F在y轴的正半轴上,点A是抛物线上的一点,以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设直线m在y轴上的截距为6,且与抛物线交于P,Q两点,连接QF并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR恰与抛物线相切时,求直线m的方程.

创新应用组
15.(2020江西九江二模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长,交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB最大时,|AD|=(　　)
A.4 B.8 C.16 D.163
16.

(2020江西上饶三模,理20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的点到准线的最小距离为1.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若过点F作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与抛物线C交于A,B两点,l2与抛物线C交于C,D两点,M,N分别为弦AB,CD的中点,求|MF|·|NF|的最小值.

参考答案

课时规范练51　抛物线
1.C　∵x2=ay,∴p=a2=1,∴a=±2.故选C.
2.C　利用|PF|=xP+2=42,可得xP=32.∴yP=±26.∴S△POF=12|OF|·|yP|=23.故选C.
3.C　设A(x0,y0),由题意得y0+p2=3,即p=6-2y0,又因为x02=2py0,
所以x02=2(6-2y0)y0,化简得x02+4y02=12.
又因为点A到原点的距离为3,
所以x02+y02=9,解得x02=8,y02=1.
又由题可得y0=1,代入x02=2py0有p=4.故选C.
4.A　记抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由△QFK∽△QPM,得|FK||MP|=|QF||QP|,即1|MP|=13,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=32,所以|PQ|=|PF|+|QF|=92.故选A.
5.D　建立平面直角坐标系如图所示.

设抛物线的解析式为x2=-2py,p>0,
因为抛物线过点(6,-5),所以36=10p,解得p=185.所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m.故选D.
6.C　如图,圆C:x-p22+y2=4的圆心Cp2,0是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点.

∵圆C:x-p22+y2=4的半径为2,∴|NC|=2,根据抛物线定义可得|NA|=|NC|=2.∵A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,
∴点A,N关于直线x=p2对称,
即xN+xA=p2×2=p,∴xN=32p,
∴|NA|=32p--p2=2,即2p=2,则E的方程为y2=2x.故选C.
7.C　过点F作FF'⊥AA',垂足为F'.
设|AF'|=3x,因为cos∠FAA'=35,所以|AF|=5x,|FF'|=4x.由抛物线的定义可知|AF|=|AA'|=5x,则|A'F'|=2x=p,故x=p2.四边形AA'PF的面积S=(|PF|+|AA'|)·|FF'|2
=(p+52p)·2p2=14,解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.
8.2　由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.
依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.
9.43　设准线l与x轴交于点N,
则|FN|=2.
∵直线AF的斜率为-3,
∴∠AFN=60°,
∴∠MAF=60°,|AF|=4.
由抛物线的定义可得|MA|=|MF|,
∴△AMF是边长为4的等边三角形.
∴S△AMF=34×42=43.
10.215　x2=2py,23x-6y+3p=0⇒12y2-20py+3p2=0.
因为直线23x-6y+3p=0与曲线C,C1从左至右依次相交于P,Q,R,S,所以yP=p6,yS=32p.
由直线23x-6y+3p=0过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F,
所以|RS|=|SF|-p4=yS+p2-p4=yS+p4,|PQ|=|PF|-p4=yP+p2-p4=yP+p4,|RS||PQ|=|SF|-p4|PF|-p4=3p2+p4p6+p4=74512=215.
11.B　由已知得抛物线C:y2=6x的焦点坐标为32,0,准线方程为x=-32.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
因为|AF|=3|BF|,所以x1+32=3x2+32,|y1|=3|y2|.
所以x1=3x2+3,x1=9x2,
所以x1=92,x2=12.
所以|AB|=x1+32+x2+32=8.故选B.
12.A　圆C2:x2+y2-12x+11=0可化为(x-6)2+y2=52,

故圆心为(6,0),半径为5,由于BC⊥x轴,且线段BC恰为圆C2的一条直径,故B(6,-5),C(6,5).
将B点坐标代入抛物线方程得25=12p,故p=2512,抛物线方程为y2=256x.
联立y2=256x,x2+y2-12x+11=0,
消去y得x2-476x+11=0,
解得x=116或x=6(舍去),
故A点横坐标为116.故选A.
13.4　2　过点A,B,M分别作准线x=-1的垂线,垂足分别为A1,B1,M1,则|MM1|=2.

根据梯形中位线定理,得|AA1|+|BB1|=4.
根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=4.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由y12=4x1,y22=4x2,得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),则直线AB的斜率为k=y1-y2x1-x2=4y1+y2=42×1=2.
14.解(1)设抛物线方程为x2=2py(p>0).
∵以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F,∴p=2,∴该抛物线的标准方程为x2=4y.
(2)由题知直线m的斜率存在,
设其方程为y=kx+6,
由y=kx+6,x2=4y消去y整理得x2-4kx-24=0,显然,Δ=16k2+96>0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=4k,x1·x2=-24.
由x2=4y,得y=x24,∴y'=x2.
抛物线在点Px1,x124处的切线方程为y-x124=x12(x-x1),令y=-1,得x=x12-42x1,可得点Rx12-42x1,-1,
由Q,F,R三点共线得kQF=kFR,
∴x224-1x2=-1-1x12-42x1,
即(x12-4)(x22-4)+16x1x2=0,
整理得(x1x2)2-4[(x1+x2)2-2x1x2]+16+16x1x2=0,∴(-24)2-4[(4k)2-2×(-24)]+16+16×(-24)=0,解得k2=14,即k=±12,
∴所求直线m的方程为y=12x+6或y=-12x+6.
15.C　设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y1+y2+2,
因为y1+y22=|AB|-1,
所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cos∠AFB=|AF|2+|BF|2-|AB|22|AF||BF|
=3(|AF|2+|BF|2)-2|AF||BF|8|AF||BF|
≥6|AF||BF|-2|AF||BF|8|AF||BF|=12,
当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.
所以当∠AFB最大时,△AFB为等边三角形,AB∥x轴.
不妨设此时直线AD的方程为y=3x+1,由y=3x+1,x2=4y,消去y,得x2-43x-4=0,所以x1+x3=43,
所以y1+y3=3(x1+x3)+2=14.
所以|AD|=16.故选C.
16.解(1)∵抛物线C上的点到准线的最小距离为1,∴p2=1,解得p=2,
∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由(1)可知焦点为F(1,0).
由已知可得AB⊥CD,∴两直线AB,CD的斜率都存在且均不为0.
设直线AB的斜率为k,则直线CD的斜率为-1k,
∴直线AB的方程为y=k(x-1).
联立y2=4x,y=k(x-1),消去x得ky2-4y-4k=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4k.设M(xM,yM),由yM=k(xM-1),得xM=yMk+1=2k2+1,∴M2k2+1,2k.
同理可得N(2k2+1,-2k).
∴|NF|=(2k2+1-1)2+(-2k)2=2k2(k2+1),|MF|=21+k2k2,
∴|MF|·|NF|=21+k2k2×2k2(1+k2)=4×1+k2|k|≥4×2|k|·1|k|=8,
当且仅当|k|=1|k|,即k=±1时,等号成立.
∴|MF|·|NF|的最小值为8.