2022届高考数学一轮复习-课后限时集训正弦定理、余弦定理北师大版.doc

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训正弦定理、余弦定理北师大版

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训正弦定理、余弦定理北师大版

年级：
姓名：

课后限时集训(三十一)正弦定理、余弦定理
建议用时：40分钟

一、选择题
1．(2020·大连测试)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝
(　　)
A. B．±
C.－ D.
D　[由正弦定理得＝，∴sin C＝＝＝.又AB＜AC，∴0＜C＜B＝60°，∴cos C＝＝.故选D.]
2．(2020·南昌模拟)在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝(　　)
A．2 B．2
C．2 D．
B　[由S＝absin C＝2a×＝2，解得a＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12，故c＝2.]
3．对于△ABC，有如下命题，其中正确的是(　　)
A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形
B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形
C．若sin2A＋sin2B＋cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为
C　[对于A项，∵sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝π，即A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B项，∵sin A＝cos B，∴A－B＝或A＋B＝，
∴△ABC不一定是直角三角形，故B错误；
对于C项，sin2A＋sin2B＜1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2＜c2，∴△ABC为钝角三角形，C正确；
对于D项，由正弦定理，得sin C＝＝，且AB＞AC，
∴C＝60°或C＝120°，∴A＝90°或A＝30°，
∴S△ABC＝AC·ABsin A＝或，D不正确．故选C.]
4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝
(　　)
A. B.
C. D.
A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3，所以cos B＝＝，故选A.]
5．(2020·毕节模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，△ABC的周长为5＋，(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C，则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C. D.
C　[由题意可得：a＝，△ABC的周长为5＋，可得b＋c＝5，
因为(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C，由正弦定理及余弦定理可得：b2＋c2－a2＝bc＝2bccos A，
因为A∈(0，π)，所以cos A＝，A＝，
a2＝(b＋c)2－2bc－2bccos A，所以10＝25－2bc－bc，所以bc＝5，
所以S△ABC＝bcsin A＝×5×＝，故选C.]
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin2B＝bcos Acos B，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
B　[由asin2B＝bcos Acos B得
sin Asin2B＝sin Bcos Acos B，
即sin B(cos Acos B－sin Asin B)＝0，
即sin Bcos(A＋B)＝0，
∵sin B≠0，∴cos(A＋B)＝0，
又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，故选B.]
二、填空题
7．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________.
1　[由a＝c得sin A＝sin C，即sin ＝sin C，
∴sin C＝，又0＜C＜，∴C＝，
从而B＝，∴b＝c，因此＝1.]
8．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________.
　[∵bsin A＋acos B＝0，∴＝.由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.]
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．
＋1　[∵b＝2，B＝，C＝，
由正弦定理＝，
得c＝＝＝2，A＝π－＝，
∴sin A＝sin＝sin cos ＋cos sin ＝.
则S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.]
三、解答题
10．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B－C)的值．
[解]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得
b2＝32＋c2－2×3×c×.
因为b＝c＋2，
所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×.
解得c＝5.所以b＝7.
(2)由cos B＝－得sin B＝.
由正弦定理得sin C＝sin B＝.
在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角．
所以cos C＝＝.
所以sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C＝.
11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝.
(1)求A；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
[解]　(1)由已知得sin2A＋cos A＝，即cos2A－cos A＋＝0.所以2＝0，cos A＝.
由于0<A<π，故A＝.
(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A.
由(1)知B＋C＝，所以sin B－sin＝sin .
即sin B－cos B＝，sin＝.
由于0<B<，故B＝.
从而△ABC是直角三角形．

1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的外接圆的面积为3π，且cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin Asin C，则△ABC的最大边长为(　　)
A．2 B．3
C． D．2
C　[由cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin Asin C得1－sin2A－1＋sin2B＋1－sin2C＝1＋sin Asin C，即－sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin C，
由正弦定理得b2－a2－c2＝ac，即c2＋a2－b2＝－ac，
则cos B＝＝＝－，则B＝150°，即最大值的边为b，
∵△ABC的外接圆的面积为3π，设外接圆的半径为R，∴πR2＝3π，得R＝，
则＝2R＝2，即b＝2sin B＝2×＝，故选C.]
2．(2020·广西桂林模拟)在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
D　[由已知＝＝＝，
所以＝或＝0，即C＝90°或＝，
由正弦定理，得sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B，
因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，
所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.]
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2，BC边上的中线AM的长为.
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积．
[解]　(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，
得a2－b2－c2＝－bc，∴cos A＝＝，
又0＜A＜π，∴A＝.
由sin Asin B＝cos2，
得sin B＝，即sin B＝1＋cos C，
则cos C＜0，即C为钝角，
∴B为锐角，且B＋C＝，
则sin＝1＋cos C，
化简得cos＝－1，
解得C＝，∴B＝.
(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，
由余弦定理得AM2＝b2＋2－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，解得b＝2，
故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝.

1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin Asin C，且sin A＋sin C＝1，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．顶角为150°的等腰三角形
D．顶角为120°的等腰三角形
D　[∵cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin Asin C，
∴(1－sin2A)－(1－sin2B)＋(1－sin2C)
＝1＋sin Asin C，
∴可得sin2A＋sin2C－sin2B＝－sin Asin C，
∴根据正弦定理得a2＋c2－b2＝－ac，
∴由余弦定理得cos B＝＝＝－，
∵B∈(0°，180°)，∴B＝120°，
∵sin2B＝sin2A＋sin2C＋sin Asin C.
∴变形得＝(sin A＋sin C)2－sin Asin C，
又∵sin A＋sin C＝1，得sin Asin C＝，
∴上述两式联立得sin A＝sin C＝，
∵0°＜A＜60°，0°＜C＜60°，
∴A＝C＝30°，∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形，故选D.]
2．[结构不良试题](2020·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积．
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
[解]　选条件①：c＝7，cos A＝－，且a＋b＝11.
(1)在△ABC中，由余弦定理，得
cos A＝＝＝－，
解得a＝8.
(2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝，
∴sin C＝＝＝.
∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，
∴S△ABC＝absin C＝×8×3×＝6.
若选条件②：cos A＝，cos B＝，且a＋b＝11.
(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cos A＝，cos B＝，
∴sin A＝，sin B＝.
在△ABC中，由正弦定理，可得＝，
∴＝＝＝.
又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.
(2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝＝.
∴S△ABC＝absin C＝×6×5×＝.