2022届高考数学一轮复习-第四章-4.5.2-简单的三角恒等变换学案.docx

2022届高考数学一轮复习 第四章 4.5.2 简单的三角恒等变换学案

2022届高考数学一轮复习 第四章 4.5.2 简单的三角恒等变换学案

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姓名：

第2课时　简单的三角恒等变换

　三角函数式的化简[自主练透型]
1．化简：＝________.
2．化简：(0<θ<π)．
悟·技法

(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则

(2)三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．如“考点一”第2题.

考点二　三角函数求值[互动讲练型]
考向一：给值求值
[例1]　[2021·河南中原名校指导卷]若cos＝，且α∈(0，π)，则cos 2α＝(　　)
A. B．－
C．－ D.

考向二：给角求值
[例2]　化简：sin 50°(1＋tan 10°)＝________.

考向三：给值求角
[例3]　[2021·河北五校联考]若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A. B.
C.或 D.或

悟·技法
三角函数求值的3类求法
(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.

[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·山东济南长清月考]若＝sin 2θ，则sin 2θ＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
2．[2021·长沙市四校模拟考试]已知α为锐角，且cos α(1＋tan 10°)＝1，则α的值为(　　)
A．20° B．40°
C．50° D．70°
3．[2021·山东烟台三中月考]已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝________.

考点三　三角恒等变换的综合应用[互动讲练型]
[例4]　[2019·浙江卷]设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝2＋2的值域．

悟·技法
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式．
(2)利用公式T＝(ω＞0)求周期．
(3)根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．
(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间.
[变式练]——(着眼于举一反三)
4．[2021·河南郑州质检]已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．

第2课时　简单的三角恒等变换
课堂考点突破
考点一
1．解析：原式＝＝2cos α.
答案：2cos α
2．解析：原式＝

＝cos·＝.
∵0<θ<π，∴0<<，∴cos>0，∴原式＝－cos θ.
考点二
例1　解析：∵cos＝，∴cos＝－.
∵0<α<π，∴－<α－<，又cos＝>0，
∴－<α－<，∴0<α<，
∴－<2α－<π，
又cos＝－<0，
∴2α－∈，sin＝，
∴cos 2α＝cos＝－×－×＝－.故选B.
答案：B
例2　解析：sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°
＝sin 50°×
＝sin 50°×
＝＝＝＝1.
答案：1
例3　解析：∵α∈，∴2α∈，
∵sin 2α＝>0，∴2α∈.
∴α∈且cos 2α＝－，
又∵sin(β－α)＝，β∈，
∴β－α∈，cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝×－×＝，
又α＋β∈，所以α＋β＝，故选A.
答案：A
变式练
1．解析：通解　∵＝sin 2θ，
∴＝2sin＝sin 2θ，
∴2sin＝－cos，
∴2sin2－2sin－＝0，
得sin＝－，
∴sin 2θ＝－cos＝2sin2－1＝－.
故选C.
优解　∵＝sin 2θ，
∴＝sin 2θ，
∴2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，
∴3sin22θ－4sin 2θ－4＝0，得sin 2θ＝－.
故选C.
答案：C
2．解析：由cos α(1＋tan 10°)＝1可得cos α×＝1，所以cos α×＝1，所以cos α＝＝＝＝cos 40°，又α为锐角，所以α＝40°，选B.
答案：B
3．解析：由已知得tan α＋tan β＝－3a，tan αtan β＝3a＋1，∴tan(α＋β)＝1.又α，β∈，tan α＋tan β＝－3a<0，tan αtan β＝3a＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.
答案：－
考点三
例4　解析：(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，
故2sin xcos θ＝0，
所以cos θ＝0.
又θ∈[0,2π)，因此θ＝或.
(2)y＝2＋2
＝sin 2＋sin2
＝＋
＝1－
＝1－cos.
因此，函数的值域是.
变式练
4．解析：(1)f(x)的定义域为，
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x
＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，
B＝，
易知A∩B＝.
所以，当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．