2021届高考数学二轮总复习-第一部分-高考层级专题突破-层级三-2个压轴大题-巧取高分-专题一-圆.doc

2021届高考数学二轮总复习 第一部分 高考层级专题突破 层级三 2个压轴大题 巧取高分 专题一 圆锥曲线中的综合问题 第二讲 课时跟踪检测圆锥曲线中的最值、范围问题

2021届高考数学二轮总复习 第一部分 高考层级专题突破 层级三 2个压轴大题 巧取高分 专题一 圆锥曲线中的综合问题 第二讲 课时跟踪检测圆锥曲线中的最值、范围问题

年级：
姓名：

第一部分　高考层级专题突破
层级三　2个压轴大题　巧取高分
专题一　圆锥曲线中的综合问题
第二讲　圆锥曲线中的最值、范围问题
课时跟踪检测(二十一)　圆锥曲线中的最值、范围问题
A卷
1．(2019·安徽亳州联考)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)与过点M(a,0)(a>0)的直线l交于A，B两点，且总有OA⊥OB.
(1)确定p与a的数量关系；
(2)若|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，求λ的取值范围．
解：(1)设l：ty＝x－a，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去x得y2－2pty－2pa＝0.
∴y1＋y2＝2pt，y1y2＝－2pa，
由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即＋y1y2＝0，
∴a2－2pa＝0.∵a>0，∴a＝2p.
(2)由(1)可得|AB|＝|y1－y2|＝2p·.
|AM|·|MB|＝·＝(a－x1)(x2－a)－y1y2＝－x1x2＋a(x1＋x2)－a2－y1y2＝a·－a2＝4p2(1＋t2)．
∵|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，
∴a·2p＝λ·4p2(1＋t2)，
∴λ＝＝.
∵t2≥0，∴λ∈(1,2]．
2．(2019·陕西西安中学高三月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，椭圆过点(2，0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，已知P(2,1)，求△PAB面积的最大值．
解：(1)∵e2＝＝＝，
∴a2＝4b2.
∵椭圆过点(2，0)，
∴a2＝8，b2＝2，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设l的方程为y＝x＋m，
代入椭圆方程中整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0，
∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
又∵Δ＝4m2－4(2m2－4)>0，
∴m2<4，则|AB|＝，
P点到直线l的距离d＝，
∴S△PAB＝··
＝≤＝2.
当且仅当m2＝2，即m＝±时取得最大值2.
B卷
1．(2019·新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(2,0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足＋＝t，其中t∈，求|AB|的取值范围．
解：(1)依题意得解得
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x－2)．
由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
∴Δ＝8(1－2k2)>0，解得k2<.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由＋＝t得P，
代入椭圆C的方程得t2＝.
由<t<2得<k2<，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝2.
令u＝，则u∈，
∴|AB|＝2∈.
∴|AB|的取值范围为.
2. (2019·山东师大附中模拟)如图所示，设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，椭圆的长轴的右端点与抛物线C2：y2＝8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率为.

(1)求椭圆C1的标准方程；
(2)过点F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过点F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于点E，求△ABE的面积的最小值，以及取得最小值时直线l的方程．
解：(1)易知F(2,0)．因为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，椭圆的长轴的右端点与抛物线C2：y2＝8x的焦点F重合，所以a＝2.
又椭圆C1的离心率为，所以c＝，b＝1，
所以椭圆C1的标准方程为＋y2＝1.
(2)设过点F(2,0)的直线l的方程为x＝my＋2，点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，
由得y2－8my－16＝0，易知Δ>0，
所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，
所以|AB|＝·＝8(1＋m2)．
设过点F且与直线l垂直的直线方程为y＝－m(x－2)，点E(xE，yE)，
由
得(1＋4m2)x2－16m2x＋16m2－4＝0，易知Δ>0，
所以xE＋2＝，故xE＝，
所以|EF|＝|xE－2|＝·，
△ABE的面积S＝|AB|·|EF|＝·.
令＝t(t≥1)，记函数f(t)＝，则f′(t)＝.
令f′(t)＝0，则t2＝，当1≤t2<时，f′(t)<0，为减函数；当t2>时，f′(t)>0，为增函数，所以易知当1＋m2＝时，△ABE的面积最小，即当m＝±时，△ABE的面积最小，最小值为9，此时l的方程为2x±y－4＝0.