2022版高考数学一轮复习-课时规范练23-正弦、余弦定理与解三角形新人教A版.docx

2022版高考数学一轮复习 课时规范练23 正弦、余弦定理与解三角形新人教A版

2022版高考数学一轮复习 课时规范练23 正弦、余弦定理与解三角形新人教A版

年级：
姓名：

课时规范练23　正弦、余弦定理与解三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　
基础巩固组
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60°,则c=(　　)
A.12 B.1 C.3 D.2
2.(2020陕西西安中学八模,理9)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,则ab=(　　)
A.32 B.43 C.2 D.3
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinAsinB=ac,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形 B.等腰非等边三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
4.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cos A=(　　)
A.31010 B.1010
C.-1010 D.-31010
5.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos A+acos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为(　　)
A.7.5 B.7 C.6 D.5
6.(多选)(2020山东菏泽一中月考,9)在△ABC中,给出下列4个命题,其中正确的命题是(　　)
A.若A<B,则sin A<sin B
B.若sin A<sin B,则A<B
C.若A>B,则1sin2A>1sin2B
D.若A<B,则cos2A>cos2B
7.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=　　　　　　. 

8.

已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile 的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船?参考数据:sin 38°=5314,sin 22°=3314

综合提升组
9.(2020河北保定一模,理6)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且acos C,bcos B,ccos A成等差数列,若△ABC外接圆的半径为1,则b=(　　)
A.32 B.2 C.3 D.2
10.(多选)(2020山东烟台模拟,11)在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-55,则(　　)
A.sin∠CDB=310
B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8+45
D.△ABC为钝角三角形
11.(2020河南开封三模,理16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,c=33,tan A=2tan B,则cos A=　　　　,△ABC的面积为　　　　. 
创新应用组
12.(2020全国1,理16)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=　　　　　. 

参考答案

课时规范练23　正弦、
余弦定理与解三角形
1.B　由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,整理得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.
2.D　bsin2A=asinB,则sinB·2sinAcosA=sinAsinB,因为sinAsinB≠0,故cosA=12,且A∈(0,π),故A=π3.由c=2b,得sinC=2sinB=2sin23π-C,化简整理得到cosC=0,且C∈(0,π),故C=π2,B=π6,ab=sinAsinB=3212=3.故选D.
3.C　因为sinAsinB=ac,所以ab=ac,所以b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.因为A∈(0,π),所以A=π3,所以△ABC是等边三角形.
4.C　如

图,设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD2+DC2=5AD,AB=2AD.由余弦定理,得cosA=AB2+AC2-BC22AB·AC=2AD2+5AD2-9AD22×2AD×5AD=-1010,故选C.
5.D　∵bcosA+acosB=c2,a=b=2,∴由余弦定理可得b×b2+c2-a22bc+a×a2+c2-b22ac=c2,整理可得2c2=2c3,解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.
6.ABD　若A<B,则a<b,由正弦定理得2RsinA<2RsinB,所以sinA<sinB,故A正确;同理B正确;当A=120°,B=30°时,1sin2A<0,1sin2B>0,故C错误;若A<B,则sinA<sinB,sin2A<sin2B,即1-cos2A<1-cos2B,所以cos2A>cos2B,故D正确.故选ABD.
7.2315　在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cosα=516,则sinα=23116,所以tanα=sinαcosα=2315.
8.解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为xnmile/h,则BC=0.5xnmile,AC=5nmile,
依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.
又由正弦定理得sin∠ABC=ACsin∠BACBC=5×327=5314,
所以∠ABC=38°.
又∠BAD=38°,所以BC∥AD.
故缉私艇以14nmile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5h截住该走私船.
9.C　由题意,得2bcosB=acosC+ccosA,由正弦定理,得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即2sinBcosB=sin(A+C)=sinB,故cosB=12,则B=π3.又△ABC外接圆的半径为1,则b=2rsinB=3.故选C.
10.BCD　因为cos∠CDB=-55,所以sin∠CDB=1-cos2∠CDB=255,故A错误;设CD=a,则BC=2a,在△BCD中,BC2=CD2+BD2-2CD·BD·cos∠CDB,解得a=5,所以S△DBC=12BD·CD·sin∠CDB=12×3×5×255=3,所以S△ABC=3+53S△DBC=8,故B正确;因为∠ADC=π-∠CDB,所以cos∠ADC=cos(π-∠CDB)=-cos∠CDB=55,在△ADC中,AC2=AD2+CD2-2AD·DC·cos∠ADC,解得AC=25,故△ABC的周长=AB+AC+BC=3+5+25+25=8+45,故C正确;因为AB=8为最大边,所以cosC=BC2+AC2-AB22BC·AC=-35<0,即∠C为钝角,所以△ABC为钝角三角形,故D正确.故选BCD.
11.32　332　由正弦定理得bc=sinBsinC
=sinBsin(A+B)=sinBsinAcosB+cosAsinB
=tanBsinA+cosAtanB=233.
将tanB=12tanA代入上式得cosA=32,故sinA=12.
所以S△ABC=12bcsinA=12×2×33×12=332.
12.-14　由题意得BD=2AB=6,BC=AC2+AB2=2.
∵D,E,F重合于一点P,
∴AE=AD=3,BF=BD=6,
∴在△ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos∠CAE=12+(3)2-2×1×3cos30°=1,∴CE=CF=1.
∴在△BCF中,由余弦定理,得
cos∠FCB=BC2+CF2-BF22BC·CF=22+12-(6)22×2×1=-14.