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2021届高考数学二轮总复习 第一部分 高考层级专题突破 层级二 7个能力专题 师生共研 专题七 选修系列第二讲 课时跟踪检测不等式选讲

2021届高考数学二轮总复习 第一部分 高考层级专题突破 层级二 7个能力专题 师生共研 专题七 选修系列第二讲 课时跟踪检测不等式选讲

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姓名：

第一部分　高考层级专题突破
层级二　7个能力专题　师生共研
专题七　选修系列(4)
第二讲　不等式选讲
课时跟踪检测(十九)　不等式选讲
1．(2019·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．
(1)求实数m的值；
(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)＝4，求证：＋≥3.
解：(1)因为|x－m|＋|x|≥|m－x＋x|＝|m|.
所以要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，
解得－2<m<2.因为m∈N*，所以m＝1.
(2)证明：因为α≥1，β≥1，
所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝4，
即α＋β＝3，
所以＋＝(α＋β)
＝
≥＝3.
当且仅当＝，即α＝2，β＝1时等号成立，
故＋≥3.
2．(2019·福州四校联考)(1)求不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集；
(2)设a，b均为正数，h＝max，证明：h≥2.
解：(1)记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝
由－2<－2x－1<0，解得－<x<，
则不等式的解集为.
(2)证明：∵h≥，h≥，h≥，
∴h3≥≥＝8，当且仅当a＝b时取等号，
∴h≥2.
3．(2019·广东省化州市一模)已知函数f(x)＝|x－a|－2.
(1)若a＝1，求不等式f(x)＋|2x－3|>0的解集；
(2)关于x的不等式f(x)>|x－3|有解，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，原不等式等价于|x－1|＋|2x－3|>2.
当x≥时，3x－4>2，解得x>2；
当1<x<时，2－x>2，无解；
当x≤1时，4－3x>2，解得x<.
∴原不等式的解集为.
(2)f(x)>|x－3|⇔|x－a|－|x－3|>2.
令g(x)＝|x－a|－|x－3|，依题意知，g(x)max>2.
∵g(x)＝|x－a|－|x－3|≤|(x－a)－(x－3)|＝|a－3|，
∴g(x)max＝|a－3|，
∴|a－3|>2，解得a>5或a<1，
∴实数a的取值范围是(－∞，1)∪(5，＋∞)．
4．(2019·蓉城名校高三联考)设函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.
(1)求不等式f(x)≥2的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≤－m2＋2m＋的解集非空，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意知f(x)＝
∴原不等式等价于
或或
解得x≤－1或－1<x≤0或x≥，
∴原不等式的解集为(－∞，0]∪.
(2)由(1)知，f(x)＝
所以f(x)min＝.
要使不等式f(x)≤－m2＋2m＋的解集非空，
只需f(x)min≤－m2＋2m＋，即≤－m2＋2m＋，
化简得m2－2m－3≤0，解得－1≤m≤3，
所以实数m的取值范围是[－1,3]．
5．(2019·湖南省岳阳市第一中学高三二检)已知f(x)＝|2x－3|＋ax－6(a是常数)．
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)如果函数y＝f(x)恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－3|＋x－6＝
则原不等式等价于或解得x≥3或x≤－3，
则原不等式的解集为{x|x≥3或x≤－3}．
(2)由f(x)＝0，得|2x－3|＝－ax＋6.
令y＝|2x－3|，y＝－ax＋6，作出它们的图象，如图．

显然，当－2<a<2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，
所以函数y＝f(x)恰有两个不同的零点时，a的取值范围是(－2,2)．
6．(2019·全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.
(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；
(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.
解：(1)因为[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2
＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]
≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，
所以由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，
当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．
所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.
(2)证明：因为[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2
＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]
≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，
所以由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，
当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．
所以(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.
由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.