2021届高考数学统考二轮复习-增分强化练数列求和与数列的综合问题.doc

2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练数列求和与数列的综合问题

2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练数列求和与数列的综合问题

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姓名：

增分强化练(十五)
考点一　利用递推关系或Sn、an的关系求an
1．(2019·晋城模拟)数列{an}满足a1＝3，且对于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，则a39＝________.
解析：因为an＋1－an＝n＋2，
所以a2－a1＝3，
a3－a2＝4，
a4－a3＝5，
…，
an－an－1＝n＋1(n≥2)，
上面n－1个式子左右两边分别相加
得an－a1＝，
即an＝，
所以a39＝＝820.
答案：820
2．(2019·宝鸡模拟)若数列{an}满足a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－1an＝8n(n∈N*)，则an＝________.
解析：当n＝1时，a1＝8.
因为a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－1an＝8n，
所以a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－2an－1＝8n－8，(n≥2)
两式相减得2n－1an＝8＝23，
所以an＝24－n(n≥2)，适合n＝1.
所以an＝24－n.
答案：24－n
考点二　数列求和
1．(2019·安阳模拟)已知各项为正的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且－a2,15，S3依次成等差数列．
(1)求an；
(2)若bn＝10－2n，求数列{an＋bn}的前n项和Tn.
解析：(1)设各项为正的公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，
a1＝3，且－a2,15，S3依次成等差数列．
所以S3－a2＝30，即a1＋a1q2＝30
解得q＝3或－3(负值舍去)．
故an＝3·3n－1＝3n.
(2)由于bn＝10－2n，则an＋bn＝3n＋10－2n，
所以Tn＝(31＋32＋…＋3n)＋(8＋6＋…＋10－2n)
＝＋＝－n2＋9n－.
2．(2019·湛江模拟)Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn＝－n2＋n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.
解析：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋n＋(n－1)2－(n－1)＝－n＋11，
当n＝1时，满足上式，∴an＝－n＋11.
(2)由an＝－n＋11，
可得bn＝＝
＝，
∴Tn＝

＝
＝－－.
3．(2019·汕头模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝19，Sn＝nan＋1＋n(n＋1)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝|an|，设数列{bn}的前n项和为Tn，求T20的值．
解析：(1)当n≥2时，因为Sn＝nan＋1＋n(n＋1)，①
所以Sn－1＝(n－1)an＋n(n－1)，②
①－②得：an＝nan＋1－(n－1)an＋2n，
即an＋1－an＝－2(n≥2)，
又S1＝a2＋2即a2－a1＝－2，
所以数列{an}是以19为首项，－2为公差的等差数列，
所以an＝19＋(n－1)·(－2)＝21－2n.
(2)由(1)知an＝21－2n，
所以bn＝|an|＝|21－2n|，
因为当n≤10时an>0，当n>10时an<0，
所以bn＝，
所以T20＝b1＋b2＋…＋b20
＝(19＋17＋…＋1)＋(1＋3＋…＋19)
＝2(19＋17＋…＋1)
＝2×＝200.
考点三　数列的应用与综合问题
　(2019·三明质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2.
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设bn＝log2(S3n＋2)，数列的前n项和为Tn，求证≤4Tn<.
解析：(1)因为an＋1＝Sn＋2，①
所以当n≥2时，an＝Sn－1＋2，②
①－②得，an＋1－an＝Sn－Sn－1，
即an＋1＝2an(n≥2)，
又因为a2＝a1＋2＝4，即a2＝2a1，
所以an＋1＝2an(n≥1)，
即数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，
所以an＝2·2n－1＝2n，an＋1＝2n＋1，
则Sn＝an＋1－2＝2n＋1－2.
(2)证明：由(1)得S3n＝23n＋1－2，
所以S3n＋2＝23n＋1，
则bn＝log223n＋1＝3n＋1，
则＝
＝×，
所以Tn＝＋＋…＋
＝×

＝×＝－.
因为>0，所以Tn<.
又Tn＝＝，当n＝1时，Tn取得最小值为，
所以≤Tn<，即≤4Tn<.