2019届理科数学高考中的数列问题.doc

2019届理科数学 高考中的数列问题一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知等差数列an的公差不为0,前n项和Sn满足S32=9S2,S4=4S2,则a2=()A.34 B.43 C.49 D.89 2.数学文化题九章算术中有一题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?其意:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,问牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?在这个问题中,牛主人比羊主人多赔偿()A.507斗粟 B.107斗粟 C.157斗粟 D.207斗粟3.已知Sn是等比数列an的前n项和,S4=5S2,则a2a7a42的值为()A.-2或-1 B.1或2C.2或-1D.1或24.已知数列an是公比为2的等比数列,满足a6=a2a10,设等差数列bn的前n项和为Sn,若b9=2a7,则S17=()A.34 B.39 C.51 D.68二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知数列an满足2anan+1+an+1-an=0,且a1=1,则数列an的通项公式为.6.已知在等差数列an中,an的前n项和为Sn,a1=1,S13=91,若Skak=6,则正整数k=.三、解答题(共48分)7.(12分)已知数列an满足a1=1,且an+12-an2=2(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an2(12)n的前n项和.8.(12分)已知数列an是公差为1的等差数列,且a4,a6,a9成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=(-2)an+(-1)n2an+1anan+1,求数列bn的前2n项和.9.(12分)已知数列an为公差不为0的等差数列,a2=3,且log2a1,log2a3,log2a7成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=1anan+1,求数列bn的前n项和Sn.10.(12分)在数列an中,a1=4,nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求证:数列ann是等差数列;(2)求数列1an的前n项和Sn.答案1.B解法一设等差数列an的首项为a1,公差为d,则(3a1+3d)2=9(2a1+d),4a1+6d=4(2a1+d),即(a1+d)2=2a1+d,d=2a1,解得a1=0,d=0(舍去)或a1=49,d=89,则a2=a1+d=43,故选B.解法二设等差数列an的首项为a1,公差为d,由题意得(3a2)2=9(a1+a2),4a1+6d=4(a1+a2),即a22=a1+a2,a2=3a1,解得a2=43,a1=49或a2=0,a1=0(舍去),故选B.2.C解法一设羊、马、牛的主人赔偿粟的斗数分别为a1,a2,a3,则这3个数依次成等比数列,公比q=2,于是得a1+2a1+4a1=5,解得a1=57,故a3=207,a3-a1=207-57=157,故牛主人比羊主人多赔偿了157斗粟.解法二羊、马、牛的主人所应赔偿的比例是124,故牛主人应赔偿547=207斗粟,羊主人应赔偿517=57斗粟,故牛主人比羊主人多赔偿了157斗粟.3.C设等比数列an的公比为q,若q=1,则S2=2a1,S4=4a1,此时,S4=5S2不成立,故公比q1,则Sn=a1(1-qn)1-q,由S4=5S2得a1(1-q4)1-q=5a1(1-q2)1-q,即q4-5q2+4=0,解得q2=1或q2=4,所以q=-1或q=2,又a2a7a42=a1qa1q6(a1q3)2=q=-1或2,故选C.4.D解法一数列an是公比q=2的等比数列,由a6=a2a10得a1q5=a1qa1q9,a1q5=1,a6=1,b9=2a7=2a6q=212=4,设等差数列bn的公差为d,则S17=17b1+17162d=17(b1+8d)=17b9=68,故选D.解法二数列an是公比为2的等比数列,由等比数列的性质得a6=a2a10=a62,a6=1,b9=2a7=2a62=4,等差数列bn的前17项和S17=17(b1+b17)2=17b9=68,故选D.5.an=12n-12anan+1+an+1-an=0,2+an+1anan+1-ananan+1=0,1an+1-1an=2,由等差数列的定义可得1an是以1a1=1为首项,2为公差的等差数列,故1an=1+2(n-1)=2n-1,an=12n-1.6.11解法一设等差数列an的公差为d,则由S13=91,得13a1+13(13-1)2d=91,根据a1=1,得d=1,所以an=n,所以Sk=k(k+1)2,所以Skak=k+12=6,所以k=11.解法二在等差数列an中,S13=91,根据等差数列的性质,可得13a7=91,即a7=7,又a1=1,所以可得公差d=1,即an=n,所以Sk=k(k+1)2,所以Skak=k+12=6,所以k=11.7.(1)由题意知数列an2是以a12=1为首项,2为公差的等差数列,则an2=1+(n-1)2=2n-1,(2分)所以数列an的通项公式为an=2n-1或an=1,n=1,-2n-1,n2. (6分)(2)由(1)知an2(12)n=(2n-1)12n,设数列an2(12)n的前n项和为Sn,则Sn=112+3122+5123+(2n-1)12n,12Sn=1122+3123+5124+(2n-1)12n+1,(8分)-,得12Sn=12+2(122+123+12n)-(2n-1)12n+1=12+214(1-12n-1)1-12-(2n-1)12n+1=32-(2n+3)12n+1,所以Sn=3-2n+32n.故数列an2(12)n的前n项和为3-2n+32n. (12分)8.(1)因为a4,a6,a9成等比数列,所以a62=a4a9,(2分)所以(a1+5)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=1,(3分)所以an=n.(5分)(2)由(1)知,an=n,所以bn=(-2)n+(-1)n2n+1n(n+1)=(-2)n+(-1)n(1n+1n+1).(8分)所以数列bn的前2n项和T2n=(-2+22-23+24+-22n-1+22n)+-(1+12)+(12+13)-(13+14)+(12n+12n+1)=-21-(-2)2n1-(-2)+(-1-12+12+13-13-14+12n+12n+1)=2(4n-1)3+(-1+12n+1)=2(4n-1)3-2n2n+1.(12分)9.(1)设数列an的公差为d.由log2a1,log2a3,log2a7成等差数列,得2log2a3=log2a1+log2a7,(2分)即2log2(3+d)=log2(3-d)+log2(3+5d),(3分)得log2(3+d)2=log2(3-d)(3+5d),得(3+d)2=(3-d)(3+5d),解得d=1或d=0(舍去).(5分)所以数列an的通项公式为an=a2+(n-2)d=3+(n-2)1=n+1.(7分)(2)因为bn=1anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,(9分)所以Sn=12-13+13-14+14-15+1n-1-1n+1n-1n+1+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2(n+2).(12分)10.(1)解法一nan+1-(n+1)an=2n2+2n的两边同时除以n(n+1),得an+1n+1-ann=2.又a11=4,所以数列ann是首项为4,公差为2的等差数列.(6分)解法二因为an+1n+1-ann=nan+1-(n+1)ann(n+1)=2n2+2nn2+n=2,a11=4,所以数列ann是首项为4,公差为2的等差数列.(6分)(2)由(1),得ann=a1+2(n-1),即ann=2n+2,即an=2n2+2n,故1an=12n2+2n=121n(n+1)=12(1n-1n+1),(9分)所以Sn=12(1-12)+(12-13)+(1n-1n+1)=12(1-1n+1)=n2(n+1). （12分）第 8 页 共 8 页