2019届理科数学高考中的数列问题.doc

2019届理科数学
高考中的数列问题

一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知等差数列{an}的公差不为0,前n项和Sn满足S32=9S2,S4=4S2,则a2=(　　)
A.34 B.43 C.49 D.89
2.[数学文化题]《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?其意:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,问牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?在这个问题中,牛主人比羊主人多赔偿(　　)
A.507斗粟 B.107斗粟 C.157斗粟 D.207斗粟
3.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4=5S2,则a2·a7a42的值为(　　)
A.-2或-1 B.1或2
C.±2或-1 D.±1或±2
4.已知数列{an}是公比为2的等比数列,满足a6=a2·a10,设等差数列{bn}的前n项和为Sn,若b9=2a7,则S17=(　　)
A.34 B.39 C.51 D.68
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{an}满足2an·an+1+an1-an=0,且a1=1,则数列{an}的通项公式为　　　　. 
6.已知在等差数列{an}中,{an}的前n项和为Sn,a1=1,S13=91,若Skak=6,则正整数k=　　　　. 
三、解答题(共48分)
7.(12分)已知数列{an}满足a1=1,且an+12-an2=2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an2(12)n}的前n项和.

8.(12分)已知数列{an}是公差为1的等差数列,且a4,a6,a9成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(-2)an+(-1)n·2an+1anan+1,求数列{bn}的前2n项和.

9.(12分)已知数列{an}为公差不为0的等差数列,a2=3,且log2a1,log2a3,log2a7成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=1anan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.

10.(12分)在数列{an}中,a1=4,nan+1-(n+1)an=2n2+2n.
(1)求证:数列{ann}是等差数列;
(2)求数列{1an}的前n项和Sn.

答案
1.B　解法一　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则(3a1+3d)2=9(2a1+d),4a1+6d=4(2a1+d),即(a1+d)2=2a1+d,d=2a1,解得a1=0,d=0(舍去)或a1=49,d=89,则a2=a1+d=43,故选B.
解法二　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由题意得(3a2)2=9(a1+a2),4a1+6d=4(a1+a2),即a22=a1+a2,a2=3a1,解得a2=43,a1=49或a2=0,a1=0(舍去),故选B.
2.C　解法一　设羊、马、牛的主人赔偿粟的斗数分别为a1,a2,a3,则这3个数依次成等比数列,公比q=2,于是得a1+2a1+4a1=5,解得a1=57,故a3=207,a3-a1=207-57=157,故牛主人比羊主人多赔偿了157斗粟.
解法二　羊、马、牛的主人所应赔偿的比例是1∶2∶4,故牛主人应赔偿5×47=207斗粟,羊主人应赔偿5×17=57斗粟,故牛主人比羊主人多赔偿了157斗粟.
3.C　设等比数列{an}的公比为q,若q=1,则S2=2a1,S4=4a1,此时,S4=5S2不成立,故公比q≠1,则Sn=a1(1-qn)1-q,由S4=5S2得a1(1-q4)1-q=5a1(1-q2)1-q,即q4-5q2+4=0,解得q21或q2=4,所以q=-1或q=±2,又a2·a7a42=a1q·a1q6(a1q3)2=q=-1或±2,故选C.
4.D　解法一　数列{an}是公比q=2的等比数列,由a6=a2·a10得a1q5=a1q·a1q9,∴a1q5=1,∴a6=1,∴b9=2a7=2a6·q=2×1×2=4,设等差数列{bn}的公差为d,则S17=17b1+17×162d=17(b1+8d)=17b9=68,故选D.
解法二　数列{an}是公比为2的等比数列,由等比数列的性质得a6=a2·a10=a62,∴a6=1,∴b9=2a7=2a6×2=4,∴等差数列{bn}的前17项和S17=17(b1+b17)217b9=68,故选D.
5.an=12n-1　∵2an·an+1+an+1-an=0,∴2+an+1an·an+1-anan·an+1=0,∴1an+1-1an=2,由等差数列的定义可得{1an}是以1a1=1为首项,2为公差的等差数列,故1an=1+2(n-1)=2n-1,∴an=12n-1.
6.11　解法一　设等差数列{an}的公差为d,则由S13=91,得13a1+13×(13-1)2d=91,根据a1=1,得d=1,所以an=n,所以Sk=k(k+1)2,所以Skak=k+12=6,所以k=11.
解法二　在等差数列{an}中,S13=91,根据等差数列的性质,可得13a791,即a7=7,又a1=1,所以可得公差d=1,即an=n,所以Sk=k(k+1)2,所以Skak=k+12=6,所以k=11.
7.(1)由题意知数列{an2}是以a12=1为首项,2为公差的等差数列,
则an2=1+(n-1)×2=2n-1,(2分)
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1或an=1,n=1,-2n-1,n≥2. (6分)
(2)由(1)知an2(12)n=(2n-1)12n,
设数列{an2(12)n}的前n项和为Sn,则Sn=1×12+3×122+5×123+…+(2n-1)×12n　①,
12Sn=1×122+3×123+5×124+…+(2n-1)×12n+1　②,(8分)
①-②,得
12Sn=12+2(122+123+…+12n)-(2n-1)×12n+1
=12+2×14(1-12n-1)1-12-(2n-1)×12n+1
=32-(2n+3)×12n+1,
所以Sn=3-2n+32n.
故数列{an2(12)n}的前n项和为3-2n+32n. (12分)
8.(1)因为a4,a6,a9成等比数列,
所以a62=a4·a9,(2分)
所以(a1+5)2=(a1+3)·(a1+8),
解得a1=1,(3分)
所以an=n.(5分)
(2)由(1)知,an=n,所以bn=(-2)n+(-1)n·2n+1n(n+1)=(-2)n+(-1)n(1n+1n+1).(8分)
所以数列{bn}的前2n项和
T2n=(-2+22-23+24+…-22n-1+22n)+[-(1+12)+(12+13)-(13+14)+…+(12n+12n+1)]
=-2[1-(-2)2n]1-(-2)+(-1-12+12+13-13-14+…+12n+12n+1)
=2(4n-1)3+(-1+12n+1)
=2(4n-1)3-2n2n+1.(12分)
9.(1)设数列{an}的公差为d.
由log2a1,log2a3,log2a7成等差数列,得2log2a3=log2a1+log2a7,(2分)
即2log2(3+d)=log2(3-d)+log2(3+5d),(3分)
得log2(3+d)2=log2(3-d)(3+5d),
得(3+d)2=(3-d)(3+5d),解得d=1或d=0(舍去).(5分)
所以数列{an}的通项公式为an=a2+(n-2)·d=3+(n-2)·1=n+1.(7分)
(2)因为bn=1anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,(9分)
所以Sn=12-13+13-14+14-15+…+1n-1-1n+1n-1n+1+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2(n+2).(12分)
10.(1)解法一　nan+1-(n+1)an=2n2+2n的两边同时除以n(n+1),得an+1n+1-ann=2.
又a11=4,所以数列{ann}是首项为4,公差为2的等差数列.(6分)
解法二　因为an+1n+1-ann=nan+1-(n+1)ann(n+1)=2n2+2nn2+n=2,a11=4,所以数列{ann}是首项为4,公差为2的等差数列.(6分)
(2)由(1),得ann=a1+2(n-1),
即ann=2n+2,即an=2n2+2n,
故1an=12n2+2n=12·1n(n+1)=12(1n-1n+1),(9分)
所以Sn=12[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]
=12(1-1n+1)
=n2(n+1). （12分）
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