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一元二次方程知识点归纳
一元二次方程知识点归纳

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一元二次方程知识点
一、 知识清单梳理
知识点一:一元二次方程及其解法
关键点拨及对应举例
1. 一元二次方程的相关概念
（1）定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程．
(2）一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0),其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
例:方程是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1。
2。一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，可直接开平方求解。
( 2 ）因式分解法:可化为（ax+m）（bx+n）=0的方程，用因式分解法求解。
( 3 ）公式法：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2—4ac≥0）.
（4）配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
解一元二次方程时,注意观察, 先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,不能用这两种方法解时,再用公式法。
例:把方程x2+6x+3=0变形为（x+h)2=k的形式后，h=—3，k=6。
知识点二 :一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
3。根的判别式

(1）当Δ＝ 0时，原方程有两个不相等的实数根．
（2)当Δ＝ 0时,原方程有两个相等的实数根．
（3)当Δ＝ 0时，原方程没有实数根．
例：方程的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根;方程的判别式等于－8，故该方程没有实数根.
＊4.根与系数的关系
（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）有两个根分别为x1、x2,则x1+x2= ；x1x2= 。注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0。
（2)解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.
与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：x12+x22=(x1+x2）2-2x1x2,
（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2）+1,
等。
失分点警示
在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2—4ac≥0。a≠0
知识点三 ：一元二次方程的应用
4。列一元二次方程解应用题
(1）解题步骤：①审题;② 设未知数；③ 列一元二次方程;④解一元二次方程;⑤检验根是否有意义；⑥作答．
运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根,则必须要根据题意检验根是否有意义。
（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用。
①平均增长率（降低率）问题:公式:b＝a（1±x）n,a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量;
②销售问题;利润问题,利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③比赛问题:
④面积问题：a。直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.