一元二次方程知识点的总结.doc

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一元二次方程知识点的总结
知识结构梳理

（1）含有 个未知数。
（2）未知数的最高次数是
1、概念 （3）是 方程。
（4）一元二次方程的一般形式是 。
（1） 法，适用于能化为 的一元。
二次方程

一元二次方程
（2） 法，即把方程变形为ab=0的形式，
2、解法 （a，b 为两个因式）, 则a=0或
（3） 法
（4） 法，其中求根公式是

当 时，方程有两个不相等的实数根。
（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。
当 时，方程有没有的实数根。

可用于解某些求值题
（1）
一元二次方程的应用 （2）
（3）
可用于解决实际问题的步骤 （4）
（5）
（6）

知识点归类
考点一 一元二次方程的定义
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例 下列关于的方程，哪些是一元二次方程？
⑴；⑵；（3）；（4）；（5）
考点二 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。
例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）； （2）； （3）
例2 已知关于的方程是一元二次方程时，则
考点三 解一元二次方程的方法
使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
法一 直接开平方法解一元二次方程
若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。
例 用直接开平方法解下列一元二次方程
（1）； （2）； （3）
法二 配方法
解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。
例 用配方法解下列方程：
（1）； （2）
法三 因式分解法
如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
例 用因式分解法解下列方程：
（1）； （2）； （3）。

法四 公式法
一元二次方程的求根公式是：
用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。
例 用公式法解下列方程
（1）； （2）； （3）技巧 选择适合的方法解一元二次方程
直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程
因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；
公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。
注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。
例 用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）；（2）；（3）
考点四 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式 △=
运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：
（1） △=﹥0方程有两个不相等的实数根；
（2） △==0方程有两个相等的实数根；
（3） △=﹤0方程没有实数根；
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况。
例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：
（1）；（2）；（3）
考点五 根的判别式的逆用
在方程中，
（1）方程有两个不相等的实数根﹥0
（2）方程有两个相等的实数根=0
（3）方程没有实数根﹤0
注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。
例 为何值时，方程的根满足下列情况：
（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根；
考点六 一元二次方程的根与系数的关系
若是一元二次方程的两个根，则有，
根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：
（1） （2）
（3）；
（4）││==
例 已知方程的两根为，不解方程，求下列各式的值。
（1）； （2）。
考点七 根据代数式的关系列一元二次方程
利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。
例 当取什么值时，代数式与代数式的值相等？
强化练习
一、选择题
1.一元二次方程x2=2x的根是（　　）
A、x=2 B、x=0 C、x1=0，x2=2 D、x1=0，x2=﹣2
2.将代数式x2+4x－1化成（x+p）2+q的形式（　　）
A、（x－2）2+3 B、（x+2）2－4 C、（x+2）2－5 D、（x+2）2+4
3.方程x2﹣4=0的解是（　　）
A、x=2 B、x=﹣2 C、x=±2 D、x=±4
4.小华在解一元二次方程x2﹣x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（　　）
A、x=4 B、x=3 C、x=2 D、x=0
5.若方程式（3x﹣c）2﹣60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（　　）
A、1 B、8 C、16 D、61
6.已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（　　）
A. B. C.﹣1 D.1
7.已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（　　）
A．1＜L＜5 B．2＜L＜6 C．5＜L＜9 D．6＜L＜10
8．方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（　　）
A、2 B、3 C、﹣1，2 D、﹣1，3
9.分三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A、11 B、13 C、11或13 D、不能确定
10.一元二次方程（x－3）（x－5）=0的两根分别为（　　）
A、3，－5 B、－3，－5 C、－3，5 D、3，5
二、填空题
1. （2011江苏淮安，13，3分）一元二次方程x2－4=0的解是 .
2. （2011江苏南京，19，6分）解方程x2﹣4x+1=0．
3. （2011山东济南，18，3分）方程x2﹣2x=0的解为　 　．
4. （2011泰安，21，3分）方程2x2＋5x－3＝0的解是___________．
5. （2011山东淄博14，4分））方程x2﹣2=0的根是 　．
6.（2011四川达州，10，3分）已知关于x的方程x2﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3，则m=　　，n=　　．
7. （2011浙江衢州，11，4分）方程x2﹣2x=0的解为　 　．
8. （2011黑龙江省黑河， 7，3分）一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为（ ）。
三、解答题
1. （2011江苏无锡，20，8分）（1）解方程：x2+4x﹣2=0；

2. （2011山东烟台，19，6分）先化简再计算：
，其中x是一元二次方程的正数根.

3. （2011清远，18，5分）解方程：x2－4x－1＝0．

4. （2011湖北武汉，17，6分）解方程：x2+3x+1=0

5、已知x1，x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．

6、已知关于x的一元二次方程（x-m）2+6x=4m-3有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x1•x2-x12-x22的最大值．

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