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数学高考基础知识、常见结论
一、集合与简易逻辑：
1、常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、；整数集；有理数集、实数集．
2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了A=的情况．
3、对于任意集合，有：
①；；；
②_______________；_______________；
_____________；______________；
③_______________；__________________；
4、若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为____________
注意：“若，则”在解题中的运用．
如：“”是“”的条件．
5、反证法：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，
正面词语
等于
大于
小于
是
都是
至多有一个
否定

正面词语
至少有一个
任意的
所有的
至多有n个
任意两个
否定

二、函数
1、函数的图象与直线交点的个数至多有个．
2、函数的三要素：________，________，_________．
3、函数定义域的求法：
①，则；②则；
③，则；
4、函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；
②逆求法(反求法)：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
求下列函数的值域：①(2种方法)；
②(2种方法)；③(2种方法)；
5、函数的单调性：(1)判定方法有：定义法(作差比较和作商比较)；导数法；复合函数法和图像法．
(2)应用：比较大小，证明不等式，解不等式．
6、奇偶性：注意区间是否关于原点对称，比较f(x)与f(-x)的关系．
f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数．
判别方法：定义法，图像法，复合函数法
应用：把函数值进行转化求解．
7、周期性：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x)，则T为函数f(x)的周期．
其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x-a)，则2a为函数f(x)的周期．
应用：求函数值和某个区间上的函数解析式．
8、图形变换：
平移变换y=f(x)-----------→y=f(x+a)，y=f(x)+b
对称变换y=f(x)------→y=f(-x)，关于ｙ轴对称
y=f(x)------→y=-f(x)，关于x轴对称
y=f(x)------→y=|f(x)|，把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称
y=f(x)------→y=f(|x|)把y轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称．(注意：它是一个偶函数)
伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx)，
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换．
一个重要结论：若f(a-x)=f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
9、反函数：
(3)互为反函数的定义域与值域的关系：_____________；
(5)互为反函数的图象间的关系：____________；
(6)原函数与反函数具有相同的单调性；
(7)原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一般不存在反函数．
如：求下列函数的反函数：；；
10、常用的初等函数：
(1)一元二次函数：
一般式：；对称轴方程是___________；顶点为__________；
两点式：；对称轴方程是__________；与轴的交点为_________；
顶点式：；对称轴方程是__________；顶点为_________；
(2)反比例函数：-----------→
(3)指数函数：
指数运算法则：______________；_____________；______________．
指数函数：y=(a＞o，a≠1)，图象恒过点(0，1)，单调性与a的值有关，
(4)对数函数：
指数运算法则：______________；_____________；_____________；_____________．
对数函数：y=(a＞o，a≠1)，图象恒过点(1，0)，单调性与a的值有关
注意：(1)与的图象关系是______________________；
11、的图象：
定义域：_____________；值域：____________；奇偶性：____________；单调性：增区间为_____________；减区间为_______________．

三、导数
1、(c)/=0(c是常数)
(xn)/=nxn-1特别地：(x)/=1，(x-1)′=()/=-x-2
(f(x)±g(x))/=f′(x)±g/(x)特别地：(k•f(x))/=k•f′(x)
2、导数的几何物理意义：
k=f′(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0，f(x0))的切线的斜率．
V=s/(t)表示即时速度．a=v/(t)表示瞬时加速度．
3、导数的应用：
①求切线的斜率．②导数与函数的单调性的关系
能推出为增函数；为增函数可以推出．
单调区间的求解过程，已知(1)分析的定义域;(2)求导数(3)解不等式，解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
③求极值、求最值．
f′(x0)=0且f′(x)在x=x0处左正右负时，函数有极____值，f′(x)在x=x0处左负右正时，函数有极____值，f′(x)在x=x0处左右同号时，x0不是极值点．

四、不等式
1、不等式的基本性质：
①若ab＞0，则．即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变．
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论．
若，则(当且仅当时取等号)
基本变形：①_________________；________________；
②若，则，
②求函数最值注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大．
2、绝对值不等式：____________________________________________
3、三角换元已知，可设；
已知，可设()；
已知，可设；
4、不等式的解法：
(5)绝对值不等式：若，则______________；_____________；
(3)．通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值．
(6)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；
⑴____________________；⑵____________________；

五、数列
1、通项an与前n项和Sn的关系：an=
2、等差数列an=a1+(n-1)d，an=ak+(n-k)d，当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数．
3、等差数列的前n项和公式：Sn==
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时(a1≠0)，Sn=na1．

4、等比数列an=a1qn-1
5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1
当q≠1时，Sn==
6、有关等差、等比数列的结论
⑴等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等差数列．
⑵等差数列{an}中，若m+n=p+q，则
⑶等比数列{an}中，若m+n=p+q，则
⑷等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等比数列．
⑸两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列．
⑹两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{an·bn}、、仍为等比数列．
⑺从等差(比)数列{an}中均匀取项构成的数列仍为等差(比)数列．
⑻{an}为等差数列，则(c＞0)是等比数列．
⑼{bn}(bn＞0)是等比数列，则{logcbn}(c＞0且c1)是等差数列．
7、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法等．
⑴分组求和：如an=2n+3n
⑵错位相减：如an=(2n-1)2n
⑶裂项相消：如an=1/n(n+1)

六、平面向量
1、(1)．
(2)若a=()，b=()则ab=()．
2、︱a︱-︱b︱≤︱ab︱≤︱a︱+︱b︱．
3、(1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=λa．
(2)若a=()，b=()则a∥b．
4、P分有向线段所成的比为，即=
当点P在线段上时，＞0；当点P在线段或的延长线上时，＜0；
分点坐标公式：若=；的坐标分别为()，()，()；则(≠-1)，中点坐标公式：．
5、 向量的数量积：
(1)向量的夹角：
已知两个非零向量a与b，作=a，=b，则∠AOB=()叫做向量a与b的夹角．
(2)两个向量的数量积a·b=︱a︱·︱b︱cos．
︱b︱cos称为向量b在a方向上的投影．
(3)向量的数量积的性质：
若a=()，b=()
a⊥ba·b=0(a，b为非零向量)
︱a︱=
cos==．
(4)向量的数量积的运算律：
a·b=b·a；(a)·b=(a·b)=a·(b)；(a+b)·c=a·c+b·c

七、排列组合与二项式定理
1、计数原理
①加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)②乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)
2、 排列(有序)与组合(无序)
A=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=Ann=n!
C=
C=CC+C=Ck•k!=(k+1)!-k!
3、排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排
排列组合题的主要解题方法：特殊元素优先考虑法，特殊位置优先考虑法，捆绑法(把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)，插空法(解决不相邻问题)，去杂法等
4、二项式定理：
①(a+b)n=_____________________________________________．
特别地：(1+x)n=_______________________________________．
②通项为第r+1项：Tr+1=Can-rbr作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题．
③主要性质和主要结论：对称性C=C
最大二项式系数在中间．(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项)
所有二项式系数的和：C+C+C+C+…+C+…+C=2n
奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和
C+C+C+C+……=C+C+C+C+……=2n-1
5、注意二项式系数与项的系数的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用．

八、概率统计
1、必然事件P(A)=1，不可能事件P(A)=0，随机事件的定义0＜P(A)＜1．
2、等可能事件的概率(古典概率)：P(A)=
互斥事件(A、B互斥即事件A、B不可能同时发生，这时P(A•B)=0)P(A+B)=P(A)+P(B)
对立事件(A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生，这时P(A•B)=0)P(A)+P(B)=1
独立事件：(事件A、B的发生相互独立，互不影响)P(A•B)=P(A)•P(B)
独立重复事件Pn(k)=Cpk(1-p)k表示事件A在n次独立重复试验中恰好发生了k次的概率．P为在一次独立重复试验中事件A发生的概率．
特殊：令k=0得：在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为Pn(0)=Cn0p0(1-p)n=(1-p)n
令k=n得：在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为Pn(n)=Cnnpn(1-p)0=pn
3、统计
总体、个体、样本、样本个体、样本容量的定义；
抽样方法：1简单随机抽样：包括随机数表法，标签法；2系统抽样；3分层抽样．
理解频率直方图的意义，会用样本估计总体的期望值和方差，用样本频率估计总体分布．

七、立体几何
1．平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题．
能够用斜二测法作图．
2．空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；
会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法．
3．直线与平面
①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交．
②直线与平面平行的判断方法及性质，判定定理是证明平行问题的依据．
③直线与平面垂直的证明方法有哪些？
④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00．900}
⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理．三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量．如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线．
4．平面与平面
(1)位置关系：平行、相交，(垂直是相交的一种特殊情况)
(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质．
(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理．尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直．
(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→
(5)二面角．二面角的平面交的作法及求法：
①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；
②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形．
③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法．
5．棱柱
(1)掌握棱柱的定义、分类，理解直棱柱、正棱柱的性质．
(2)掌握长方体的对角线的性质．
(3)平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质．
(4)S侧=各侧面的面积和．思考：对于特殊的棱柱，又如何计算？
(5)V=Sh特殊的棱柱的体积如何计算？
6．棱锥
１． 棱锥的定义、正棱锥的定义(底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心)
２． 相关计算：S侧=各侧面的面积和，V=Sh
7．球的相关概念：S球=4πR2V球=πR3球面距离的概念
8．正多面体：掌握定义和正多面体的种数(是哪几个？)
．
掌握欧拉公式：V+F-E=2其中：V顶点数E棱数F面数
9．会用反证法证明简单的命题．如两直线异面．
主要思想与方法：
1．计算问题：
(1)空间角的计算步骤：一作、二证、三算
异面直线所成的角范围：0°＜θ≤90°方法：①平移法；②补形法．
直线与平面所成的角范围：0°≤θ≤90°方法：关键是作垂线，找射影．
二面角方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法．注：二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算
(2)空间距离(1)两点之间的距离．(2)点到直线的距离．(3)点到平面的距离．
(4)两条平行线间的距离．(5)两条异面直线间的距离．(6)平面的平行直线与平面之间的距离．
(7)两个平行平面之间的距离．
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离．七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．
在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点．
求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长．(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离．(3)体积法．
求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长．(2)转化成求直线与平面的距离．(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的．
2．平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变
3．在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：
①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决．
②将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法．
③补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形．
④利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高．
⑤平行转化

⑥垂直转化

八、平面解析几何
(一)直线与圆知识要点
α
．
π
O
K
1．直线的倾斜角与斜率k=tgα，直线的倾斜角α一定存在，范围是[0，π]，但斜率不一定存在．牢记下列图像．
斜率的求法：依据直线方程依据倾斜角依据两点的坐标
2．直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义．
3．两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件．会判断两条直线的位置关系．(斜率相等还有可能重合)
4．两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念．
5．点到直线的距离公式．
6．会用一元不等式表示区域．能够解决简单的线性规划问题．
7．曲线与方程的概念，会由几何条件列出曲线方程．
8．圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2
圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0注意表示圆的条件．
圆的参数方程：
掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系．会求圆的相交弦、切线问题．
圆锥曲线方程
(二)、圆锥曲线
１． 椭圆及其标准方程

2．双曲线及其标准方程：

3．抛物线及其标准方程：

直线与圆锥曲线：

注意点：
(1)注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解
(2)要学会变形使用两点间距离公式，当已知直线的斜率时，公式变形为或；当已知直线的倾斜角时，还可以得到或
(3)灵活使用定比分点公式，可以简化运算．
(4)会在任何条件下求出直线方程．
(5)注重运用数形结合思想研究平面图形的性质
解析几何中的一些常用结论：
１． 直线的倾斜角α的范围是[0，π)
２． 直线的倾斜角与斜率的变化关系：当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角α的增大而增大．当α是钝角时，k与α同增减．
３． 截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形．
４． 两直线：L1A1x+B1y+C1=0L2:A2x+B2y+C2=0L1⊥L2A1A2+B1B2=0
５． 两直线的到角公式：L1到L2的角为θ，tanθ=
夹角为θ，tanθ=||注意夹角和到角的区别
６． 点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法．
７． 有关对称的一些结论
① 点(a，ｂ)关于x轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称点分别是
(a，-ｂ)，(-a，ｂ)，(-a，-ｂ)，(ｂ，a)
② 如何求点(a，ｂ)关于直线Ax+By+C=0的对称点
③ 直线Ax+By+C=0关于x轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称的直线方程分别是什么，关于点(a，ｂ)对称的直线方程有时什么？
④ 如何处理与光的入射与反射问题？
8．曲线f(x，y)=0关于下列点和线对称的曲线方程为：
(1)点(a．b)
(2)x轴
(3)ｙ轴
(4)原点
(5)直线y=x
(6)直线y=-x
(7)直线x=a
9．点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系．
点P(x0，y0)，圆的方程：(x-a)2+(y-b)2=r2．
如果(x0-a)2+(y0-b)2＞r2点P(x0，y0)在圆外；
如果(x0-a)2+(y0-b)2＜r2点P(x0，y0)在圆内；
如果(x0-a)2+(y0-b)2=r2点P(x0，y0)在圆上．
10．圆上一点的切线方程：点P(x0，y0)在圆x2+y2=r2上，那么过点P的切线方程为：x0x+y0y=r2．
11．过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是与x轴垂直的直线．
12．直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或者利用垂径定理，构造直角三角形解决弦长问题．d＞r相离d=r相切d＜r相交
13．圆与圆的位置关系，经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系．设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r，R
d＞r+R两圆相离d=r+R两圆相外切
|R-r|＜d＜r+R两圆相交d=|R-r|两圆相内切
d＜|R-r|两圆内含d=0，两圆同心．
14．两圆相交弦所在直线方程的求法：
圆C1的方程为：x2+y2+D1x+E1y+C1=0．
圆C2的方程为：x2+y2+D2x+E2y+C2=0．
把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0
15．圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法．
16．焦半径公式：在椭圆=1中，F1、F2分别左右焦点，P(x0，y0)是椭圆是一点，则：(1)|PF1|=a+ex0|PF2|=a-ex0
(2)三角形PF1F2的面积如何计算
17．圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离．
18．直线y=kx+b和圆锥曲线f(x，y)=0交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
则弦长P1P2=
19．双曲线的渐近线的求法(注意焦点的位置)已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程．
20．抛物线中与焦点有关的一些结论：(要记忆)
解题思路与方法：
高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外，就是在解答题中有一个压轴题．也就是解析几何没有中档题．且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等．其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系．在复习过程中要注意下述几个问题：
(1)在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键．
(2)在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断．但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法．画出方程所表示的曲线，通过图形求解．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．
(3)求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷．在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程．
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)．
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
(4)在解与焦点三角形(椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形)有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义．
(5)要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用．
(6)求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质．求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
(7)参数方程，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解．
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