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用排除法简解2015年高考全国卷I理科第12题
高考题 (2015年高考全国卷I理科第12题)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是(　)
A. B. C. D.
解法1 (数形结合法)D.令g(x)＝ex(2x－1)，得g′(x)＝ex(2x＋1).
由g′(x)>0得x>－，由g′(x)<0得x<－，所以函数g(x)在上分别是减函数、增函数．
又函数g(x)在x<时g(x)<0，在x>时g(x)>0，所以其大致图象如图1所示．

图1
直线y＝ax－a过点(1，0)．
若a≤0，则f(x)<0的整数解有无穷多个，因此只能a>0.
结合函数图象可知，存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，即存在唯一的整数x0，使得点(x0，ax0－a)在点(x0，g(x0))的上方，得x0只能是0，所以实数a应满足即解得≤a<1.
即实数a的取值范围是.
解法2 (分离常数法)D.令后，得题设即关于t的不等式有唯一的整数解.
若，由a<1，可得

所以题设即关于t的不等式即有唯一的整数解，也即关于t的不等式有唯一的整数解.
设，得，所以函数在上是增函数，得最大值为.
又，由此可作出函数的图象如图2所示：

图2
注意到图象过点且，所以由图2可得：
当时，满足的整数t有，所以此时不满足题意.
当时，满足的整数t只有，所以此时满足题意.
得所求a的取值范围是.
解法3 (排除法)D.当时，不等式f(x)<0即ex(2x－1)<0也即，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.
令g(x)＝ex(2x－1)，得g′(x)＝ex(2x＋1).
由g′(x)>0得x>－，由g′(x)<0得x<－，所以函数g(x)在上分别是减函数、增函数．
又g′(0)＝1，所以可得曲线在点处的切线为，如图3所示．

图3
所以当a<1且时满足题设(此时满足题设的唯一整数x0=0).由此可排除选项C.
所以选D.
注 小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.