九年级数学上册圆专题--辅助线.doc

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圆 专题一 辅助线
1．  遇到弦时（解决有关弦的问题时）
常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：1、利用垂径定理；
2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；
3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
4、可得等腰三角形；
5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。
例：如图，ＡＢ是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于P点，弦PN与AB相交于点M，
求证：PM•PN=2PO2.
分析：要证明PM•PN=2PO2，即证明PM•PC =PO2，
过O点作OC⊥PN于C，根据垂经定理 NC=PC，只需证明
PM•PC=PO2，要证明PM•PC=PO2只需证明Rt△POC∽Rt△PMO.
证明: 过圆心O作OC⊥PN于C，∴PC= PN
∵PO⊥AB, OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=90°.
又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.
∴ 即∴PO2= PM•PC. ∴PO2= PM•PN，∴PM•PN=2PO2.
【例1】如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。

【例2】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，
那么OP的长的取值范围是_________．

【例3】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，
则∠C的度数是________.

2．  遇到有直径时
常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。
例 如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．
（1） 求证：BA·BM=BC·BN；
（2） 如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．
分析：要证BA·BM=BC·BN，需证△ACB∽△NMB，而∠C=90°，所以需要△NMB中有个直角，而BN是圆O的直径，所以连结MN可得∠BMN=90°。
M
N
O
C
A

（1） 证明：连结MN，则∠BMN=90°=∠ACB
∴△ACB∽△NMB
∴
∴AB·BM=BC·BN
（2） 解：连结OM，则∠OMC=90°
∵N为OC中点
B
∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°
∵OM=OB，∴∠B=∠MON=30°
∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6
【例4】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,
∠B=

3．  遇到90°的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

【例5】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，
AB=6，AC=8，⊙O的半径是

5．  遇到有切线时
（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）（2）常常添加连结圆上一点和切点
作用：1、可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
2、利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。

【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的延长线于D，求证：AC=CD．

6．  遇到证明某一直线是圆的切线时
切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径
切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以,在证明直线是切线时, 往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.
1．无点作垂线
需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.
例7．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于A， BC⊥AB于B，若∠DOC= 90°.
求证：DC是⊙O的切线.
分析：DC与⊙O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OE⊥DC，只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径，若能证OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，需证明△DEO≌△DAO
证明：作OE⊥DC于E点，取DC的中点F，连结OF.
又∵∠DOC= 90°. ∴ FO=FD ∴∠1=∠3.
∵AD⊥AB，BC⊥AB, ∴BC∥AD, ∴OF为梯形的中位线.
∴OF∥AD . ∴ ∠2=∠3. ∴∠1=∠2.
∴DO是∠ADE的角平分线. ∵OA⊥DA，OE⊥DC，
∴OA=OE=圆的半径. ∴ DC是⊙O的切线.
2．有点连圆心.
当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.
例8．已知：如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线.
分析：D在⊙O上，有点连圆心，连结DO，证明DO⊥DC即可.
证明：连结DO，∵OC∥AD ∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC
而∠DAO=∠ADO∴∠DOC=∠COB，又OC=OC，DO=BO ∴△DOC≌△BOC
∴∠ODC=∠OBC， ∵BC为⊙O的切线，切点为B
∴∠OBC=90°， ∴∠ODC=90°，又D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线.

【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。
求证：直线L与⊙O相切。

【例8】如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．
求证：AB是⊙O切线；

 7．  遇到两相交切线时（切线长）
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。
【例9】如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上
任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周
长为12，则PA长为______________

8．  遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：
①    内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；
②    内心到三角形三条边的距离相等。
【例10】如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=

【例11】如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．

9．  遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点
作用：外心到三角形各顶点的距离相等。
[课后冲浪]
1．已知：P是⊙O外一点，PB，PD分别交⊙O于A、B和C、D，且AB=CD.求证：PO平分∠BPD．
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2．如图，ΔABC中，∠C=90°，圆O分别与AC、BC相切于M、N，点O在AB上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O的半径.

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3．已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切.

4．如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机从P点出发向PN方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？

5．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求阴影部分的面积.
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我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀：
弦与弦心距，密切紧相连；直径对直角，圆心作半径；已知有两圆，常画连心线；.
遇到相交圆，连接公共弦；遇到相切圆，作条公切线；“有点连圆心，无点作垂线.”
切线证明法，规律记心间.

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