中北大学高等数学(下)习题册答案.doc

高等数学作业答案（2013-2014-2）
第五章 向量代数与空间解析几何
5.2 向量及其线性运算
1．
2． 3. 不存在
4．ox轴：；oy轴；oz轴：
5．(1); (2); (3) ;
(4) ;
(5) 方向角：
5.3 数量积 向量积 *混合积
1. （1）；（2）
2. （1）；；
（2）；
（3）；（4）
（5） （6）
3． 4．
5.
5.4 平面及其方程
1．
2．
3．或
．
4．
5．
6．
5.5 空间直线及其方程
1．
2． ；
3．
4．
5.6 曲面及其方程
1．(1) 球面 (2)椭圆抛物面 (3) 椭球面
(4) 单叶双曲面 (5) 双曲抛物面
2．
3．
4．(略)
5.7 空间曲线及其方程
1．
2．

3. ；
4.
综合练习题五
1.C C A D C 2.
3．提示：先证明是与夹角的向量，再证与方向相同.
4. ；
5．
6．提示：设所求平面方程为
,
定出或。所求出平面方程为
或.
7． 8.
9. ，

10.
11.1
12．见课件
13．提示：从第一条直线上的点到第二条直线上任意点的距离为d，取d的最小值即为两条平行直线之间的距离。
14．直线方程为。
第六章 多元函数微分学
6.1 多元函数的基本概念
1．（1） ．（2）．
（3）
2．．
3．(1)．
(2) ．
4． (1) 2 ; (2); (3)1 ．5．略
6. （1）抛物线上所有点
（2）单位圆上所有点
7. 提示：
6.2 偏导数
1．
2．(1)
(2)
(3)

3．(1)

(2)
4．略
6.3 全微分
1．(1) ;
(2)
;
2.
3． 4.
6.4 多元复合函数的求导法则
1．

2． ．
3．

4 ．

5．略
6．
7．略
6.5 隐函数的微分法
1． ．
2. ，
3．略 4．略
5． ．
6． ．
6.6 多元函数微分学的几何应用
1．切线方程:；
法平面方程：．
2．
3．切线方程：
法平面方程：．
4．．
5．．6．略
6.8 多元函数极值及其求法
1．（1）极小值：．
（2）极大值：．
2．． 3．． 4．．
5. 两直角边长均为，最大周长为
综合练习题六
一、DDCBAAC
二、1．．
2．
3．(1);
(2) 不连续; (3) 可微．
4. 切线方程：
法平面方程：．
5. 或
6．切点
7. 长、宽为米，高为米.
高等数学期中自测题
一、单项选择题（每题3分，共15分）
1、D 2、C 3、D 4、A 5、C
二、填空题（每题3分，共15分）
1、 2、
3、 4、
5、
三、计算题（共5小题，每题8分，共40分）
1、解：两平面平行它们的法向量平行
故，取所求平面的法向量为
由点法式得所求平面方程为：
即：
2、解：线面垂直直线的方向向量∥平面的法向量
故，取所求直线的方向向量为
由点向式得所求直线方程为：
3、解：

4、解：

5、解：

四、综合题（共5小题，每题6分，共30分）
1、证：设沿直线趋于点，则有

值不同，极限不同，故函数在点的极限不存在.
因此，在点处不连续.
2、证：

同理可得：

3、解：令
则
，

4、解：设切点为
曲面在该点的法向量为

由题意得：
带入曲面方程得：
曲面在该点的法向量为
由点法式可得切平面方程为：.
5、解：设分别表示长、宽、高，则总造价
于是问题转化为求在条件限制下使总造价最小.
令
解方程组
得惟一驻点：
由题意可知合理的设计是存在的，因此，当长、宽、为2m而高为m时，造价最低.
第七章 重积分
7.1 二重积分的概念与性质
1.（1）12；（2）13.5;（3）；（4）6
2．（1） ， （2） .
3．（1）
（2））
7.2 二重积分的计算法
1．（1）；（2）；（3）。
2．（1）
（2）
3．（1）；（2）；
4． 5． 6．
7. （1）；
（2）；
（3）；
（4）

（5）；
（6）；
（7）
；
（8）
8．（1）；（2）。
9．（1）；（2）；（3） 。
10． 。
11．（1）；（2）； （3） 。
12．（1）；（2） ；（3）
13． . 14．（1）；（2）；（3）
15．（1）；（2） 。
7.3 三重积分的概念和计算
1．(1)
(2)
(3)
(4)
2．（1）；（2）8 ；（3）；
3．（1）；（2）；（3）0；（4）.
4．。 5． 。
6.
7.4 重积分应用举例
1． 2．
3． 4.
5.
6. ，，。
7.
8．（1） ，（2），质心（3）。
综合练习题七
一、填空题
1．； 2． ；3. 4． ；5．
6.
；
7． ； 8． 2
二、选择题
1．（C）； 2.（C）；3．（A）； 4．（A）；5．（B）；
6．（C）； 7．（B）（注：该题目需用球面坐标计算，可不要求学生计算）；8．（B）.
三．计算题
1．；2． ；
3. ；
4. ；
5．证：,

6．；7． ；8.；
第八章 曲线积分与曲面积分
8.1 对弧长的曲线积分
1．（1）；（2）
2．；3. 4；4．；
5．； 6．
7． 8．9. 　 9．　10．
8.2对坐标的曲线积分
1． 2． 3．0； 4．
5． 6．
7． 8．
8.3 格林公式 曲线积分与路径无关的条件
1.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；
（6） 2． 3． 4． 5． 6． 7．
8．提示：
综合练习题八
一、填空题 1． ； 2.
二、选择题 1. D；2. D
三、计算题
1.；2. ；3. ；
4. ；5. ；
6. 环绕原点：0；不环绕原点：
四、综合题
五、证明题 略
第九章 无穷级数
9.1 常数项级数的概念和性质
1、⑴收敛 ， ⑵发散 ⑶收敛
⑷收敛（5）发散（6）发散
2、（1）收敛（2）发散（3）发散
（4）发散（5）发散（6）发散
9.2常数项级数及其审敛法
1、 ⑴发散⑵收敛⑶收敛⑷收敛
2、 ⑴收敛⑵收敛⑶收敛
3、 (1)收敛(2)收敛
4、 (1)收敛(2)收敛(3)收 敛(4)发散
(5)发散(6)发散
5、(1)条件收敛(2)绝对收敛 (3)发散
9.3 幂级数
1、(1),(2),(3),(4)
2、(1) ()
(2)- ()

(4), () ；
9.4 函数展开成幂级数
1、（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2、

3、
4、
综合练习题九
一、1.错2.对3.错4.对
二、1. 2. 3. 收敛
4. 5. 6.
三、
四、略 五、略
六 提示：利用级数收敛的必要条件
七、
八、提示：利用级数收敛的定义和必要条件
九、
十、
十一、
十二、
十三、；；
十四、；十五 ；十六、
十七、

十八、

高等数学模拟试题（一）
一、选择题（共15分 每小题3分）
1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B
二、填空题（共15分 每小题3分）
1、；2、；3、；4、；5、；
三．解答题（本题共5小题，每小题8分，共40分）
1、解：

2、解：积分区域为：

3、解：

4、解：，其中；

5、解： ：,从变到

四．（本题6分）
解：
因为，所以原级数收敛
五．（本题6分）
解：

六． （本题6分）
解：曲面的方程为：，它在坐标面上的投影区域D为：

七．（本题6分）
解： ，，

由曲线积分与路径无关得：
原式

八．（本题6分）
解：

高等数学模拟试题（二）
一、选择题（每题3分，共15分）
1、D； 2、B； 3、C； 4、B 5、A
二、填空题（每题3分，共15分）
1、； 2、； 3、； 4、；
5、；
三、解答题（本题共5小题，每小题8分，共40分）
1、解： 区域D为：……… 2分
...4分
……………….6分
…………………8分2、解：由二次积分知为：…3分
将区域D表示成Y型区域为…5分

…………………………………………………8分3、解：是正项级数…………………..2分
…..6分
由比值法知，原级数收敛…………………….8分4、解：圆弧的弧长为……2分
…………………..5分
………………………….7分
……………………………..8分5、解： ，…2分
，在D上连续………….4分
由格林公式有，原式..5分
…………………...7分
………………………………8分
四、（本题6分）
解：…………….……..1分
…………………….2分
…………………..3分
………………..4分
因为由得：………..5分
，……….…6分
五、（本题6分）
解： ……………………2分
…………………………………….3分
…………………..4分
………………………………………...6分
六、（本题6分）
解：曲面的方程为：，它在坐标面上的投影区域D为：
………………………………….2分
…………………………………………………3分
..5分
…………………………..6分
七、（本题6分）
解： ，
……………………………..2分
…………………………...3分
补平面，取下侧…………...4分
原式
………………...5分
…………6分
八、（本题6分）
解：设， …….……2分
因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数, 且有 , 所以在右半平面内, 是某个函数的全微分. ..............…4分
取积分路线为从A(1, 0)到B(x, 0)再到C(x, y)的折线, 则所求函数为：

………………6分

13
天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物.