高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(36).doc

1、填空题
1）函数是常系数线性微分方程的解的充分必要条件是。
2）曲线族（为任意常数）所满足的一阶微分方程是。
3）已知二阶线性齐次方程的两个解为，则该方程为
。
4）方程的通解为。
5）设都是方程

的解，则方程得通解为。
2、求下列微分方程的通解
1）
解：把看着函数，原方程可化为，令

变量分离两边积分得

2）
解：把看着函数，原方程可化为，这是一阶线性微分方程
利用公式得

3）
解：容易看出，原方程可化为，所以
在变量分离两边积分得

4）
解：原方程可化为

5）
解：1）求的通解。
解特征方程得
对应齐次方程的通解为
2）因为，所以原方程有特解形式

代入原方程整理可得

比较系数可得

原方程通解为

6）
解：容易看出，原方程可化为

7）
解：求的通解。
解特征方程得
对应齐次方程的通解为
2）因为是二重特征根，所以原方程有特解形式，即

原方程通解为

8）
解：解方程组得，令，则有
原方程可化为
（1）
令，则有，方程（1）可化为

变量分离两边积分得

6、设函数在实轴上连续，存在，且具有性质，试求。
解：因为，所以，或者。
1）如果，则对任给的实数有
2）如果，令，则有

两边同除以，并使可得

设可得初值问题，解微分方程可得。
7、设函数二阶可导，且，过曲线上任一点作该曲线的切线及周的垂线，上述两直线与所围成的三角形面积记为，区间上以为曲边的曲边梯形面积为，并设恒为1，求此曲线的方程。
解：1）建立微分方程，在点切线方程为

其与轴交点为，因为恒为1，所以

两边关于求导得

可得初值问题
2）解微分方程：以上方程可化为
由初值条件可得，所以，变量分离两边积分得，由初值条件可得，所求曲线为。