高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学-(1)上课讲义.doc

高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学-(1)

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1、写出下列条件所确定的微分方程：
1）曲线在点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分。
解：设此曲线方程为，由已知点坐标为，曲线在点处的法线方程为，其与轴交点为，因此

2）曲线上任意点处的切线与线段垂直。
解：设此曲线方程为，线段的斜率为，因此

3）曲线上任意点处切线，以及点与原点的连线，和轴所围成的三角形的面积为常数。
解：曲线过点的切线方程为

此切线与的交点为
所求微分方程为

2、求曲线族（为任意常数）所满足的微分方程。
解：方程两边关于求导得

两边再关于求导得

所求微分方程为

3、潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉速度成正比例，如果潜水艇的质量为，且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件。
解：设潜水艇下沉所遇阻力为，下沉速度为，由牛顿第二运动定理有

而由已知，其中为常数，所以

因此此问题满足的初值问题为

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