高中数学函数专题之函数三要素.doc

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函数的三要素
【函数定义域求法】
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
l 分式中的分母不为零；
l 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
l 指数式的底数大于零且不等于1；
l 0的0次幂没有意义；
l 对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0。
l 正切函数
l 余切函数
例1 求函数的定义域。 例2 求函数的定义域。

二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
Ø 类型一：已知的定义域，求的定义域。
其解法是：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域。
例1 已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。

Ø 类型二：已知的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例1 已知的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

三、实际问题型
这里函数的定义域除考虑解析式有意义外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制
例1 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。

四、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例1 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。

针对练习： 已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。

【函数值域求法】
一、直接法（从自变量的范围出发，推出的取值范围）
例1 求函数的值域。

二 对称轴法（是求二次函数值域的基本方法，如的函数的值域问题，均可使用对称轴法）
例1 求函数（）的值域。

三、判别式法（把函数转化成关于x的二次方程，通过方程有实根，判别式，从而求得原函数的值域，形如）
例1求函数 的值域

四、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）
例1求函数的值域。 例2求函数的值域。

五、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。
例1求函数的值域。 例2求函数的值域。

例3函数的值域 针对练习：

★小结：
（1）若题目中含有，则可设
（2）若题目中含有则可设，其中
（3）若题目中含有，则可设，其中
（4）若题目中含有，则可设，其中
（5）若题目中含有，则可设其中
六、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数的值域（时为减函数；时为增函数））
例1求函数的值域。

例2 求函数y=（2x10）的值域 针对练习：求函数y=-的值域。

七、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）
例1求函数的值域。

例2 求函数y=的值域 例3 求函数的值域

针对训练：.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值

【函数解析式求法】
★ 知识点拨： 求解析式常见的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、奇偶法、消元法（也叫方程组法）等。
一、待定系数法：
特征：已知函数类型；
对策：设出表达式，由已知列方程，从而解出待定系数。
例1设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式

二、 换元法：
特征：当自变量很复杂的时候，换成新元t，并能解出 对策：解出代入原来的表达式
例2若,求.

三、 配凑法：
特征：当或充当函数自变量的时候
对策：通常用用一些等价变形公式构造相同的形式，以便换元求出表达式
例3已知，求 针对练习：已知, 求的解析式.

四、 函数性质法：
例4若，当时，，求当时，的解析式。

例5已知函数是定义在上的奇函数，它在上是一次函数，在上是二次函数，且当时，，，求的解析式。

五、 消元法（也叫方程组法）：
特征：已知一个方程两个未知量的时候
对策：再构造出来一个方程包含原来方程的两个变量，解方程组就能求出表达式
例7、已知f(x)满足，求
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