高中数学专题复习10已知三角函数值求角.doc

第四章 三角函数
课 题：已知三角函数值求角(一)
教学目标：1.会由已知的三角函数值求角；
2.会用求角的方法解不等式。
教学重点：由已知三角函数值求角。
教学难点：根据三角函数值确定角。
教学过程：
一、讲授新课
1.导入：在前面，已知任意一个角(角必须属于所涉及的三角函数的定义域)，可以求出它的三角函数值，那么根据一个角的一个三角函数值，是否可求出这个角呢?这里通过实例探讨处理问题的方法。
2.例题分析：
例1.(1)已知sinx＝，且x∈［－，］，求x.
(2)已知sinx＝，且x∈［0，2π］，求x的取值集合.
由于终边相同角的三角函数值相等，也就决定了三角函数值的重复出现，即三角函数的周期性，也就是说不同的角也可能有相同的三角函数值，所以一个三角函数值所对应的角也有可能是多个的，这个角与它所属范围是密切相关的.
另外，即使是在同一周期内，由于正、余弦函数在每个周期内不具有单调性，也有不同角的三角函数值相同的情况，所以已知三角函数值求角，关键在于角所属范围，这一点不容忽视.
已知角x的一个三角函数值求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：
第一步，决定角可能是第几象限角.
第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1.
第三步，如果函数值为负数，则可根据x可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－x1＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为x1＋π或－x1＋2π.
第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.
例2.已知，求符合下列条件的角：
（1）是第三象限角； （2）。
例3.求不等式sin(2x＋)≥－的解集.
（｛x｜kπ－≤x≤kπ＋，(k∈Z)｝）
例4.(1)已知sinx＝－0．3322，且x∈［－，］，求x.
(2)已知sinx＝－0．3322，且x∈［0，2π］，求x的取值集合.
根据正弦函数的图象的性质，为了使符合条件sinx＝a(－1≤a≤1)的角有且只有一个，我们选择闭区间［－，］作为基本的范围，在这个闭区间上，符合条件sinx＝a(－1≤a≤1)的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina.
即：当sinx＝a(－1≤a≤1)且x∈［－，］，则x＝arcsina
（例4答案为：(1)｛arcsin(－0．3322)｝
(2)｛2π＋arcsin(－0．3322)，π－arcsin(－0．3322)｝）
依此类推，根据余弦函数的图象的性质，要使符合条件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x有且只有一个，我们选择闭区间［0，π］作为基本范围.在这个闭区间上，符合条件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa.
即：若cosx＝a(－1≤a≤1)，x∈［0，π］，则x＝arccosa
注意：已知三角函数值求角过程中，若为特殊角，则可直接求出；若为非特殊角，可通过计算器求出，也可用反三角函数形式表示，不过，用反三角函数形式表示角时，千万要注意角所属范围.
例5.(1)已知tanx＝，x∈(－，)，求x.
(2)已知tanx＝，且x∈［0，2π］，求x的取值集合.
某一三角函数值在这一函数的单调区间上所对应的角是惟一的，对于正切函数，它在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上均具有单调性，为了使符合条件tanx＝a(a为任意实数)的角x有且只有一个，我们选择开区间(－，π)作为基本范围，在这个开区间内，符合条件tanx＝a(a为任意实数)的角x,叫做实数a的反正切，记作arctana.
即：若tanx＝a，其中x∈(－，)，则x＝arctana
（例5答案为(1)x＝arctan (2)｛arctan，π＋arctan｝）
二、练习
1.在［0，2π］上满足sinx≥的x的取值范围是( B )
A.［0，］ B.［，］ C.［，］ D.［，π］
4.求不等式2cos(－)＞的解集.
（｛x｜4kπ＜x＜4kπ＋π，k∈Z｝）
5.求函数y＝log2［－2sin(3x＋)］的定义域.
（｛x｜－≤x≤，k∈Z｝）
三、小结
已知三角函数值求角，要结合角所属范围和三角函数在此区间上的单调性来确定.

第四章 三角函数
课 题：已知三角函数值求角(二)
教学目标：1.会由三角函数值求角；
2.会用反三角函数表示角.
教学重点：已知三角函数值求角。
教学难点：根据角的三角函数值，确定出所属范围内的角。
教学过程：
一、讲授新课
导入：继续通过实例探讨已知三角函数值求角问题.
例1.已知角满足下列条件，求角：
（1）
（2）
（3）
例2.已知，求满足的角的集合。
例3.设、是方程，的两根，
求的值。
二、练习
1.设α＝arcsin(－)，β＝arctan(－)，＝arccos(－)，则α、β、的大小关系是( C )
A.α＜β＜ B.α＜＜β C.β＜α＜ D.β＜＜α
2. 函数y＝arccos的值域是 ( A )
A.［0，］ B.(0， C.［0，π D.(0，π
评述：解此题时需理解反余弦意义且结合定义域中的隐含条件考虑值域.
3. 已知sinθ＝－且θ∈(－π，－)，则θ可以表示成( D )
A.－arcsin(－) B.－－arcsin(－) C.－π＋arcsin(－) D.－π－arcsin(－)
4.已知A、B、C是的三内角，
（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？试证明你的结论。
（2）求y的最小值。

三、小结
学会用反三角函数表示角；熟练掌握已知三角函数值求角的基本方法；一般情况，应先找出基本范围内符合条件的角，再结合诱导公式找出所有符合条件
附1：arcsina的含义是什么?
当｜a｜≤1时，其含义是：
①arcsina表示一个角；
②这个角不小于－，不大于，且当0≤a≤1时，0≤arcsina≤；
当－1≤a≤0时，－≤arcsina＜0；
③这个角的正弦值等于a，即sin(arcsina)＝a．
当｜a｜＞1时，arcsina没有意义，这是因为没有一个角的正弦的绝对值能大于1.
例1.sin(arcsin)＝能成立吗?其中a＞0，b＞0，且a≠b.
解：∵(a－b)2＞0，∴a2＋b2＞2ab 即＞1
∴arcsin没有意义. 因此，命题中的等式不能成立.
附2：arcsin(sinx)等于x吗?
arcsin(sin)＝arcsin＝；arcsin(sin)＝arcsin＝；
它们均满足arcsin(sinx)＝x.
然而，我们绝不能依此归纳出arcsin(sinx)＝x恒成立，如arcsin(sin)＝arcsin(sin)＝arcsin＝.
事实上，arcsinx只能直接表示区间［－，］内的角，因此，等式arcsin(sinx)＝x成立的条件是x∈［－，］.
同样可知：等式arccos(cosx)＝x成立的条件是x∈［0，π］；
等式arctan(tanx)＝x成立的条件是x∈［－，］.
你只要弄清楚上述几个等式分别成立的条件，那么对于各类试题中经常出现的这类问题就可正确迅速地求解.
例2.设α＝π，则arccos(cosx)的值是( )
A. B.－ C. D.
解析：∵α＝，∴cosα＝cosπ＝cos(2π－)＝cosπ
又∈［0，π］ ∴arccos(cosα)＝arccos(cos)＝π 故选C
例3.求值：（1）；
（2）。