高中数学专题复习10已知三角函数值求角.doc

第四章 三角函数课 题：已知三角函数值求角(一)教学目标：1.会由已知的三角函数值求角；2.会用求角的方法解不等式。教学重点：由已知三角函数值求角。教学难点：根据三角函数值确定角。教学过程：一、讲授新课1.导入：在前面，已知任意一个角(角必须属于所涉及的三角函数的定义域)，可以求出它的三角函数值，那么根据一个角的一个三角函数值，是否可求出这个角呢?这里通过实例探讨处理问题的方法。2.例题分析：例1.(1)已知sinx，且x，求x.(2)已知sinx，且x0，2，求x的取值集合.由于终边相同角的三角函数值相等，也就决定了三角函数值的重复出现，即三角函数的周期性，也就是说不同的角也可能有相同的三角函数值，所以一个三角函数值所对应的角也有可能是多个的，这个角与它所属范围是密切相关的.另外，即使是在同一周期内，由于正、余弦函数在每个周期内不具有单调性，也有不同角的三角函数值相同的情况，所以已知三角函数值求角，关键在于角所属范围，这一点不容忽视.已知角x的一个三角函数值求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：第一步，决定角可能是第几象限角.第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1.第三步，如果函数值为负数，则可根据x可能是第几象限角，得出(0，2)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为x1；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为x1或x12.第四步，如果要求(0，2)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.例2.已知，求符合下列条件的角：（1）是第三象限角； （2）。例3.求不等式sin(2x)的解集.（xkxk，(kZ)）例4.(1)已知sinx03322，且x，求x.(2)已知sinx03322，且x0，2，求x的取值集合.根据正弦函数的图象的性质，为了使符合条件sinxa(1a1)的角有且只有一个，我们选择闭区间，作为基本的范围，在这个闭区间上，符合条件sinxa(1a1)的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina.即：当sinxa(1a1)且x，则xarcsina（例4答案为：(1)arcsin(03322)(2)2arcsin(03322)，arcsin(03322)）依此类推，根据余弦函数的图象的性质，要使符合条件cosxa(1a1)的角x有且只有一个，我们选择闭区间0，作为基本范围.在这个闭区间上，符合条件cosxa(1a1)的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa.即：若cosxa(1a1)，x0，则xarccosa注意：已知三角函数值求角过程中，若为特殊角，则可直接求出；若为非特殊角，可通过计算器求出，也可用反三角函数形式表示，不过，用反三角函数形式表示角时，千万要注意角所属范围.例5.(1)已知tanx，x(，)，求x.(2)已知tanx，且x0，2，求x的取值集合.某一三角函数值在这一函数的单调区间上所对应的角是惟一的，对于正切函数，它在每个区间(k，k)(kZ)上均具有单调性，为了使符合条件tanxa(a为任意实数)的角x有且只有一个，我们选择开区间(，)作为基本范围，在这个开区间内，符合条件tanxa(a为任意实数)的角x,叫做实数a的反正切，记作arctana.即：若tanxa，其中x(，)，则xarctana（例5答案为(1)xarctan (2)arctan，arctan）二、练习1.在0，2上满足sinx的x的取值范围是( B )A.0， B.， C.， D.，4.求不等式2cos()的解集. （x4kx4k，kZ）5.求函数ylog22sin(3x)的定义域.（xx，kZ）三、小结已知三角函数值求角，要结合角所属范围和三角函数在此区间上的单调性来确定.第四章 三角函数课 题：已知三角函数值求角(二)教学目标：1.会由三角函数值求角；2.会用反三角函数表示角.教学重点：已知三角函数值求角。教学难点：根据角的三角函数值，确定出所属范围内的角。教学过程：一、讲授新课导入：继续通过实例探讨已知三角函数值求角问题.例1.已知角满足下列条件，求角：（1） （2）（3） 例2.已知，求满足的角的集合。例3.设、是方程，的两根，求的值。二、练习1.设arcsin()，arctan()，arccos()，则、的大小关系是( C )A. B. C. D.2. 函数yarccos的值域是 ( A )A.0， B.(0， C.0， D.(0，评述：解此题时需理解反余弦意义且结合定义域中的隐含条件考虑值域.3. 已知sin且(，)，则可以表示成( D )A.arcsin() B.arcsin() C.arcsin() D.arcsin()4.已知A、B、C是的三内角，（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？试证明你的结论。（2）求y的最小值。三、小结学会用反三角函数表示角；熟练掌握已知三角函数值求角的基本方法；一般情况，应先找出基本范围内符合条件的角，再结合诱导公式找出所有符合条件附1：arcsina的含义是什么?当a1时，其含义是：arcsina表示一个角；这个角不小于，不大于，且当0a1时，0arcsina；当1a0时，arcsina0；这个角的正弦值等于a，即sin(arcsina)a当a1时，arcsina没有意义，这是因为没有一个角的正弦的绝对值能大于1.例1.sin(arcsin)能成立吗?其中a0，b0，且ab.解：(ab)20，a2b22ab 即1arcsin没有意义. 因此，命题中的等式不能成立.附2：arcsin(sinx)等于x吗?arcsin(sin)arcsin；arcsin(sin)arcsin；它们均满足arcsin(sinx)x.然而，我们绝不能依此归纳出arcsin(sinx)x恒成立，如arcsin(sin)arcsin(sin)arcsin.事实上，arcsinx只能直接表示区间，内的角，因此，等式arcsin(sinx)x成立的条件是x，.同样可知：等式arccos(cosx)x成立的条件是x0，；等式arctan(tanx)x成立的条件是x，.你只要弄清楚上述几个等式分别成立的条件，那么对于各类试题中经常出现的这类问题就可正确迅速地求解.例2.设，则arccos(cosx)的值是( )A. B. C. D.解析：，coscoscos(2)cos又0， arccos(cos)arccos(cos) 故选C例3.求值：（1）；（2）。