高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案).doc

函数的值域与最值
【基本概念】
求函数最值的基本方法：
1、配方法（二次函数）
2、分离常数法（分式函数）
3、反函数法（分式函数）
4、基本函数性质法
5、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）
6、基本不等式法（耐克函数）
7、单调性法（单调区间上的值域与最值）
8、数形结合法
【典型例题】
例1：求下列函数的值域。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）。
解：（1）[解一]分离常数法：
[解二]反函数法：
（2）基本函数性质法：又

（3）换元法：令，则

（4）基本不等式法：令，则
当时，，当且仅当即时取等号
当时，，当且仅当即时取等号
∴
（5）单调性法：在上单调增且在上单调增
在上单调增
（6）数形结合法：设、，则
设即
例2：函数在区间上的值有正有负，求实数a的取值范围。
解：令
①若显然不符题意
②若
∴综上所述，
例3：已知函数，为在上的最小值，求函数的最大值并画出的图象。
解：
①即时，在上递增
②即时，
图5-1
③即时，在上递减
∴综上所述，
图象如图5-1所示，由图象可知
例4：根据下列条件，求实数a的值。
（1）函数在区间上有最大值2；
（2）函数在区间上有最大值7；
（3）函数在区间上有最大值3。
解：（1）
①若则符合题意
②若则均不符题意（舍）
③若则符合题意
∴综上所述，或
（2）
①若则不符题意（舍）
②若则符合题意
③若则符合题意
∴综上所述，或
（3）
①若此时对称轴符合题意
②若此时对称轴符合题意
③若此时对称轴不符题意
∴综上所述，或
例5：已知函数在区间上的值域为，求实数a、b的值。
解：
①区间在直线左侧时，在上递减
则（舍）
②区间在直线右侧时，在上递增
则（舍）
③直线落在区间内

∴综上所述，、
例6：对于函数若同时满足以下条件：①在D上单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域是，则称函数为“闭函数”。
（1）求“闭函数”符合条件②的区间；
（2）函数是不是“闭函数”？若是，请求出区间；若不是，请说明理由；
（3）若函数是“闭函数”，求实数k的取值范围。
解：（1）在D上单调递减，则即区间为
（2）不是单调函数，故不是“闭函数”
（3）由题意知方程有两个不同的实数解

例7：已知a为实数，函数。
（1）讨论的奇偶性；
（2）求的最小值。
解：（1）当时为偶函数
当时，不具有奇偶性
①当时
若，则在上单调递减
若，则
②当时
若，则
若，则在上单调递增
∴综上所述，
【一讲一练】
一、填空题（每空格4分，共40分）
1、求下列函数的值域：（1） ；
（2） ；（3） ；
（4） ；（5） 。
2、函数在时有最大值2，则 。
3、已知函数在区间上的最大值为3、最小值为2，则实数m的取值范围是 。
4、若一系列函数的解析式相同、值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数，且值域为的“孪生函数”共有 个。
5、若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 。
6、若函数在上有最小值（a、b为非零常数），则函数在上的最大值为 。
二、选择题（每小题4分，共16分）
7、若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
(A) (B) (C) (D)
8、设函数，是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）
(A) (B) (C) (D)
9、对，记，函数的最小值是（ ）
(A)0 (B) (C) (D)3
10、若函数对于任意t都有，且在区间上有最大值5、最小值1，则实数m的取值范围是（ ）
(A) (B) (C) (D)
三、解答题（共44分）
11、（本大题有2小题，第1小题4分，第2小题4分，共8分）
已知函数。
（1）若的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）若的值域为R，求实数m的取值范围。
12、（本大题有2小题，第1小题5分，第2小题5分，共10分）
已知函数，且当时有最小值。
（1）求的解析式；（2）求的解集。
13、（本大题有2小题，第1小题4分，第2小题8分，共12分）
已知函数。
（1）解不等式；（2）求在区间上的最大值。
14、（本大题有3小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分，共14分）
对于定义域为D的函数，如果满足存在区间使得在的值域为，那么函数叫做上的“k级矩形”函数。
（1）设函数是上的“1级矩形”函数，求常数a、b的值；
（2）是否存在区间使函数在区间上是“k级矩形”函数？若存在，求出常数a、b、k的值，若不存在，请说明理由；
（3）设函数是上的“3级矩形”函数，求常数a、b的值。
【参考答案】
1、（1） （2） （3）
（4） （5） 2、
3、 4、9 5、 6、5
7、A 8、C 9、C 10、B
11、解：（1）定义域为R
（2）值域为R取遍一切正数
①时的值域为R符合题意
②时
∴
12、解：（1）令，则

（2）
13、解：（1）
（2）函数图象如图5-2所示
①时，在上递增
②时，
图5-2
③时，在上递增
∴综上所述，
14、解：（1）∵在上单调递增
又在上为“1级矩形”函数
a、b是的两个不等实根
由
（2）假设存在a、b、k使在区间上是“k级矩形”函数
则有
∵在上单调递减且值域为
又不符合题意
∴不存在a、b、k使在区间上是“k级矩形”函数
（3）∵是上的“3级矩形”函数
∴的值域为
①当时，在上单调递增，值域为
∴a、b是方程的两个不等实根或（不合题意）
②当时，在上单调递减，值域为
无解
③当时，

∴综上所述，