【书城】2017年高考数学基础突破——导数与积分：第8讲构造函数求导与“二次求导”问题.doc

2017年高考数学基础突破导数与积分第8讲 构造函数求导与“二次求导”（学生版，后附教师版）【知识梳理】构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次求导函数零点“求之不得”的问题。【基础考点突破】考点1.构造函数求导【例1】【2015高考新课标2，理12】设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A BC D变式训练1.【2015高考福建，理10】若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D 考点2.利用导数构造函数证明不等式【例2】【2015高考福建，文22】已知函数()求函数的单调递增区间；（）证明：当时，；（）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有变式训练2.【2016高考新课标文数】设函数.（1）讨论的单调性；（2）证明当时，；（3）设，证明当时，.考点3.构造函数与二次求导【例3】设函数(其中).() 当时,求函数的单调区间；() 当时,求函数在上的最大值.【归纳总结】二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次求导函数零点“求之不得”的问题。变式训练3.（2012年全国卷）设函数（1）求的单调区间；（2）若，为整数，且当时，求的最大值变式训练4.（2014年山东卷）设函数（为常数，是自然对数的底数）（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围【基础练习巩固】1设函数满足，则时，（ ）A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值2设函数，其中（1）当时，证明不等式；（2）设的最小值为，证明3 已知函数，证明: 当且时4.【2016高考新课标2理数】()讨论函数的单调性，并证明当时，； ()证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域2017年高考数学基础突破导数与积分第1讲 构造函数求导与“二次求导”（学生版，后附教师版）【知识梳理】构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次求导函数零点“求之不得”的问题。【基础考点突破】考点1.构造函数求导【例1】【2015高考新课标2，理12】设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A BC D【答案】A解析：记函数，则，因为当时，故当时，所以在上单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在上单调递减，且.当时，则；当时，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A.变式训练1.【2015高考福建，理10】若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，选项A,B无法判断，故选C考点2.利用导数构造函数证明不等式【例2】【2015高考福建，文22】已知函数()求函数的单调递增区间；（）证明：当时，；（）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有【答案】() ；（）详见解析；（）【解析】（I），由得解得故的单调递增区间是（II）令，则有当时，所以在上单调递减，故当时，即当时，（III）由（II）知，当时，不存在满足题意当时，对于，有，则，从而不存在满足题意当时，令，则有由得，解得，当时，故在内单调递增从而当时，即，综上，的取值范围是变式训练2.【2016高考新课标文数】设函数.（1）讨论的单调性；（2）证明当时，；（3）设，证明当时，.解析：（）由题设，的定义域为，令，解得.当时，单调递增；当时，单调递减. （）由（）知，在处取得最大值，最大值为，所以当时，.故当时，即. （）由题设，设，则，令，解得.当时，单调递增；当时，单调递减.由（）知，故，又，故当时，.所以当时，. 考点3.构造函数与二次求导【例3】设函数(其中).() 当时,求函数的单调区间；() 当时,求函数在上的最大值.解析：() 当时, , 令,得, 当变化时,的变化如下表:极大值极小值 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.() ,令,得,令,则,所以在上递增,所以,从而,所以所以当时,；当时,；所以，令,则,令,则，所以在上递减,而，所以存在使得,且当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减.因为,.所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.综上,函数在上的最大值.【归纳总结】二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次求导函数零点“求之不得”的问题。变式训练3.（2012年全国卷）设函数（1）求的单调区间；（2）若，为整数，且当时，求的最大值解 （1）的定义域为，若，则，在上单调递增；若，则当时，；当时，故在上单调递减，在上单调递增（2）由于，所以故当时，等价于令，则，由（1）知函数在上单调递增而，所以在内存在唯一的零点，故在内存在唯一的零点，设此零点为，则当时，；当时，所以在内的最小值为又由，可得，所以由于式等价于，故整数的最大值为2变式训练4.（2014年山东卷）设函数（为常数，是自然对数的底数）（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围解 （1）函数的定义域为，由可得，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为（2）由（）知，时，函数在内单调递减，即函数在在内不存在极点，故因为，记若函数在内存在两个极值点，则有两个零点因为，当时，在内成立，为单调递增函数，在内不存在两个极值点当时，在内成立，为单调递减函数，在内成立，为单调递增函数所以函数的最小值为若在内存在两个极值点，当且仅当，解得综上，在内存在两个极值点时，的取值范围为【基础练习巩固】1设函数满足，则时，（ ）A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值解析：由题意,令,则,且，因此令，则，所以时，；时，从而有，即，所以当时，是单调递增的，既无极大值也无极小值答案D2设函数，其中（1）当时，证明不等式；（2）设的最小值为，证明证明：（1）设，则 当 时，在上是增函数所以当时，即所以成立同理可证所以（2）由已知得函数的定义域为，且，令，得当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增所以的最小值，将代入，得，即.所以，即3 已知函数，证明: 当且时解析: 设，构造函数，则 当时可得，而，故当 时，递减 所以得 当 时，而，故当时，递减 所以，可得综上， 当且时4.【2016高考新课标2理数】()讨论函数的单调性，并证明当时，； ()证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域解析：（）的定义域为.且仅当时，所以在单调递增，因此当时，所以（II） 由（I）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为于是，由单调递增所以，由得因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有，的值域是