2019年考研数学三真题与解析.pdf

12019 年考研数学三真题解析一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分1当时，若与是同阶无穷小，则（）0 x tanxxkxk（A）（B）（C）（D）1234【答案答案】（C）【详解详解】当时，所以，所以0 x 331tan()3xxxo x331tan()3xxxo x 3k 2已知方程有三个不同的实根，则 的取值范围是（）550 xxkk（A）（B）（C）（D）(,4)(4,)(4,0)(4,4)【答案答案】（D）【详解详解】设，则5()5f xxxk42(),(),()555(1)(1)(1),fff xxxxx 令得且，也就是函数在处取得极大值()0fx121,1xx(1)20,(1)20ff 11x ，在处取得极小值；(1)4fk21x(1)4fk由于方程有三个不同实根，必须满足，也就得到(1)40(1)20fkfk(4,4)k 3已知微分方程的通解为，则依次为（）xyaybyce12()xxyCC x ee,a b c（A）（B）(C）（D）1,0,11,0,22,1,32,1,4【答案答案】（D）【详解详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出是特征方程的实根，从而确定121rr 20rarb；2,1ab（2）显然，是非齐次方程的特解，代入原方程确定*xye4c 4若级数绝对收敛，条件收敛，则（）1nnnu1nnvn（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）收敛 （D）发散 1n nnu v1n nnu v1nnnu v1nnnu v（注：题目来自网上，我感觉选项（注：题目来自网上，我感觉选项（C）应该有误差，否则（）应该有误差，否则（A），（B）选项显然没有（）选项显然没有（C）选项优越，若）选项优越，若（A），（B）中有一个正确，则（）中有一个正确，则（C）一定正确题目就不科学了）一定正确题目就不科学了【答案答案】（B）【详解详解】由于条件收敛，则，也就是有界；1nnvnlim0nnvn2从而，从而，由正项级数的比较审敛法，由正项级数的比较审敛法，绝对收敛nnnnnvu vnuM nun1nnnu v5设是四阶矩阵，为其伴随矩阵，若线性方程组基础解系中只有两个向量，则（A*A0Ax(*)r A）（A）（B）（C）（D）0123【答案答案】（A）【详解】线性方程组基础解系中只有两个向量，也就是，0Ax 4()2()213r Ar An 所以(*)0r A6设是三阶实对称矩阵，是三阶单位矩阵，若，且，则二次型的规范形AE22AAE4A Tx Ax是 （）（A）（B）（C）（D）222123yyy222123yyy222123yyy222123yyy【答案答案】（C）【详解】假设是矩阵的特征值，由条件可得，也就是矩阵特征值只可A22AAE220A能是 和而，所以三个特征值只能是，根据惯性定理，二次型121234A 1231,2 的规范型为222123yyy7 设为随机事件，则的充分必要条件是 （）,A B()()P AP B（A）（B）()()()P ABP AP B()()()P ABP A P B（C）（D）()()P ABP BA()()P ABP AB【答案答案】（C）【详解详解】选项（A）是互不相容；选项（B）是独立，都不能得到；,A B,A B()()P AP B对于选项（C），显然，由，()()(),()()()P ABP AP AB P BAP BP AB()()()()()()()()P ABP BAP AP ABP BP ABP AP B8设随机变量与相互独立，且均服从正态分布则（）XY2(,)N 1P XY（A）与无关，而与有关 （B）与有关，而与无关22（C）与，都有关 （D）与，都无关22【答案答案】（A）【详解详解】由于随机变量与相互独立，且均服从正态分布，则，从而XY2(,)N 2(0,2)XYN31111 11212222XYP XYPXYP 只与有关2二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9 111lim1 22 3(1)nnnn【答案答案】1e解：11111limlim 11 22 3(1)1nnnnnnne10曲线的拐点坐标是（）3sin2cos()22yxxxx【答案答案】(,2)【详解详解】，；sin2cosyxxxcossinyxxx sinyxx sincosyxxx 令得，且，所以是曲线的拐点；sin0yxx 120,xx()0f(,2)而对于点，由于，而，所以不是曲线的拐点(0,0)(0)0f(4)(0)0f11.已知函数，则 41()1xf xt dt120()x f x dx【答案答案】1 2 218【详解详解】（1）用定积分的分部积分：11112331344400000111112 2()()()|11(1)3331218x f x dxf x dxx f xxx dxx dx（2）转换为二重积分：1111224423400100011 2 2()111318xtx f x dxx dxt dtt dtx dxtt dt 12以分别表示两个商品的价格设商品的需求函数，则当,ABP P,A BA225002AAABBQPP PP时，商品的需求量对自身价格弹性 10,20ABPPA(0)AAAA【答案答案】0.4【详解详解】，当时，则边际需求225002AAABBQPP PP10,20ABPP1000AQ 4，2AABAQPPP 商品的需求量对自身价格弹性为A10400.41000AAAAAAAAEQPQEPQP13已知矩阵若线性方程组有无穷多解，则 2101111,011Aa01ba Axba【答案答案】1【详解详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：222101010101010(,)1111010101010110110011A baaaaaa显然，当且仅当时，线性方程组有无穷多解1a()(,)23r Ar A bAxb14设随机变量的概率密度为，为其分布函数，其数学期望，则X,02()20,xxf x他他()F x()E X ()()1P F XE X【答案答案】2.3【详解详解】，20,01(),0241,2xF xP Xxxxx2204()23xE Xdx230122()()1()13233xP F XE XP F XP Xdx 三、解答题15（本题满分 10 分）已知函数，求，并求函数的极值2,0()1,0 xxxxf xxex()fx()f x【详解详解】当时，；0 x 22 ln()xxxf xxe2()2(ln1)xfxxx当时，；0 x()1xf xxe()(1)xfxxe在处，所以在处0 x 22000()(0)12(ln1)(0)limlimlim1xxxxxf xfxxxfxx()f x0 x 不可导5综合上述：；22(ln1),0()(1),0 xxxxxfxxex令得到()0fx1211,xxe 当时，当时，当时，当时，1x ()0fx10 x()0fx10 xe()0fx1xe；()0fx故是函数的极小值点，极小值为；是函数的极大值点，极大值为；11x 1(1)1fe 0 x(0)1f是函数的极小值点，极小值为21xe21()efee16（本题满分 10）设函数具有二阶连续的偏导数，函数，求(,)f u v(,)zxyf xy xy22222zzzxx yy【详解详解】，12(,)(,)zyf xy xyfxy xyx12(,)(,)zxf xy xyfxy xyy，；21112212211122222zfffffffx 211221zffx y 211122222zfffy 2221122221 3zzzffxx yy 17（本题满分 10 分）设函数是微分方程满足条件的特解()y x2212xyxyex(1)ye（1）求的表达式；()y x（2）设平面区域，求绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积(,)|12,0()Dx yxyy xDx【详解详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程先求解对应的线性齐次方程的通解：，其中为任意常数；0yxy22xyCeC再用常数变易法求通解，设为其解，代入方程，得2212xyxyex22()xyC x e，也就是通解为：222211(),()22xxC x eeC xxx11()2C xdxxCx221()xyxC e6把初始条件代入，得，从而得到(1)ye10C 22().xy xxe（2）旋转体的体积为2222411()()2xxVy xdxxe dxee18（本题满分 10 分）求曲线与轴之间形成图形的面积sin(0)xyexxx【详解详解】先求曲线与轴的交点：令得xsin0 xex,0,1,2,xkk当时，；当时，2(21)kxksin0 xyex2(22)kxksin0 xyex由不定积分可得1sin(sincos)2xxexdxexxC，2221sin(1)2kxkkexdxee 22221sin(1)2kxkkexdxee 所求面积为22202200220022220sinsinsin11(1)(1)2211111(1)(1)22121kkxxxkkkkkkkkkkSexdxexdxexdxeeeeeeeeee 19（本题满分 10 分）设1201(0,1,2,)nnaxx dxn（1）证明：数列单调减少，且；（2）求极限na21(2,3,)2nnnaann1limnnnaa【详解详解】（1）证明：，1201nnaxx dx112101(0,1,2,)nnaxx dxn当时，显然有，所以数列单调减少；(0,1)x1nnxx11210()10nnnnaaxxx dxna先设2200sincos,0,1,2,nnnIxdxdx n则当时，2n 1222220002sinsincos(1)sincos(1)()nnnnnnIxdxxdxnxxdxnII 也就是得到22,0,1,1nnnIInn令，则sin,0,2xt t12222222000011sincossinsin2nnnnnnnnaxx dxttdtdttdtIIIn7同理，2211nnnnaIIIn综合上述，可知对任意的正整数，均有，即；n212nnanan21(2,3,)2nnnaann（2）由（1）的结论数列单调减少，且na21(2,3,)2nnnaann2111111222nnnnnannnaaannan 令，由夹逼准则，可知n 1lim1nnnaa20（本题满分 11 分）已知向量组：；12321111,0,2443a 向量组：若向量组和向量组等价，求常数的值，并12321011,2,3313aaaa将用线性表示3123,【详解详解】向量组和向量组等价的充分必要条件是123123123123(,)(,)(,;,)rrr 1231232222111101111101(,;,)1021230110224433 130011 11aaaaaaaa （1）当时，显然，两个向量组等价1a 123123123123(,)(,)(,;,)2rrr 此时，123311111023(,;)0112011200000000 方程组的通解为，也就是112233xxx123231210 xxxkx，其中为任意常数；3123(23)(2)kkk k（2）当时，继续进行初等行变换如下：1a 812312322111101111101(,;,)0110220110220011 11001111aaaaaa 显然，当且时，1a 1a 123123123(,)(,;,)3rr 同时，也就是123101101101,02202201111101001aaa 123(,)3r，两个向量组等价123123123123(,)(,)(,;,)2rrr 这时，可由线性表示，表示法唯一：3123,312321（本题满分 11 分）已知矩阵与相似22122002Ax21001000By（1）求之值；（2）求可逆矩阵，使得,x yP1P APB【详解详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：，即，解得ABtrAtrB2(24)241xyxy 32xy（2）解方程组得矩阵的三个特征值221232(2)(2)(1)0002EAA；1232,1,2 分别求解线性方程组得到分属三个特征值的线性无关()0(1,2,3)iEA xi1232,1,2 的特征向量为：1231112,1,2004 令，则可逆，且；1123111,212004P 1P11212P AP同样的方法，可求得属于矩阵的三个特征值的线性无关的特征向量为：B1232,1,2 1231100,3,00014 9令，则可逆，且；2123110,030001P 2P12212P BP由前面，可知令，就满足111122P APP BP112111212004PPP 1P APB22（本题满分 11 分）设随机变量相互独立，服从参数为 1 的指数分布，的概率分布为：,X YXY，令1P Yp 11P Yp(01)pZXY（1）求的概率密度；（2）为何值时，不相关；（3）此时，是否相互独立Zp,X Z,X Z【详解详解】（1）显然的概率密度函数为X,0()0,0 xXexfxx先求的分布函数：ZXY(),1,1(1)1()(1()ZXXFzP ZzP XYzP Xz YP Xz Yp P XzpP XzFzpFz 他他再求的概率密度：ZXY,0()()()(1)()0,0(1),0zZZXXzpezfzFzpfzp fzzp ez（2）显然；()1,()1;()12E XD XE Yp 由于随机变量相互独立，所以；,X Y()()()()12E ZE XYE X E Yp；22()()()()24E XZE X YE XE Yp(,)()()()12COV X ZE XZE X E Zp 要使不相关，必须，也就是时不相,X Z(,)()()()120COV X ZE XZE X E Zp 0.5p,X Z关；（3）显然不相互独立，理由如下：设事件，事件，则,X Z1AX1BZ；11()1xP AP Xe dxe；11()11,11,112P BP ZP XYP XYe ，当11()1,11,1(1,11P ABP XZP XXYP XYP XP Ypex 时，显然，也就是显然不相互独立0.5p()()()P ABP A P B,X Z1023（本题满分 11 分）设总体的概率密度为，其中是已知参数，是未X22()2,()0,xAexf xx知参数，是常数，是来自总体的简单随机样本A12,nXXXX（1）求常数的值；A（2）求的最大似然估计量2【详解详解】（1）由可知()1f x dx222()2202122txAtedxAedA所以2A似然函数为，212()22121,(,;)(,)0,niiXnnininiAexL XXXf x他他取对数，得22212211ln(,;)lnln()()22nniinL XXXnAX解方程，得未知参数的最大似然估计221222221ln(,;)11()0()22()nniidL XXXnXd 2量为A2211()niiXn