2014年考研数学二真题与解析-共11页.pdf

Page 1 of 11 更多考研资料分享+qq10324197142014 年考研数学二真题与解析一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（0 x)(lnx21 11)cos(x x）（A）（B）（C）（D）),(2),(21),(121),(210【详解详解】，是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知 xx221)(ln 211211xx)cos(2 121 所以的可能取值范围是，应该选（B）),(212下列曲线有渐近线的是（A）（B）（C）（D）xxysin xxysin 2xxy1sin xxy12sin 【详解详解】对于，可知且，所以有斜渐近线xxy1sin 1 xyxlim01 xxyxxsinlim)(limxy 应该选（C）3设函数设函数具有二阶导数，具有二阶导数，则在，则在上（上（）)(xfxfxfxg)()()(110 ,10（A）当）当时，时，（B）当）当时，时，0)(xf)()(xgxf 0)(xf)()(xgxf（C）当）当时，时，（D）当）当时，时，0 )(xf)()(xgxf 0 )(xf)()(xgxf【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解详解 1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断 显然,ba就是联接就是联接两点的直线方程两点的直线方程故当时，时，曲线是xfxfxg)()()(110 )(,(),(,(1100ff0 )(xf凹的，也就是，应该选（D）)()(xgxf【详解详解 2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令,ba Page 2 of 11 更多考研资料分享+qq1032419714，则，且，故当xfxfxfxgxfxF)()()()()()(110 010 )()(FF)()(xfxF 时，时，曲线是凹的，从而，即，也就是0 )(xf010 )()()(FFxF0 )()()(xgxfxF，应该选（D）)()(xgxf 4曲线 上对应于上对应于的点处的曲率半径是（的点处的曲率半径是（）14722ttytx,1 t（）（）(）（）5010100101010105【详解详解】曲线在点处的曲率公式，曲率半径)(,(xfx321)(yyK KR1 本题中，所以，422 tdtdytdtdx,tttdxdy21242 3222122tttdxyd 对应于对应于的点处的点处，所以，所以，曲率半径1 t13 ,yy10101132 )(yyK10101 KR应该选（C）5设函数，若，则（）xxfarctan)()()(xfxf 220 xx lim（）（）（）（）1322131【详解详解】注意（1），（2）211xxf )()(arctan,33310 xoxxxx 时 时由于所以可知，)()(xfxf xxxxffarctan)()(211 22)(arctanarctanxxx 3131333020220 xxoxxxxxxarxxxxxx)()(lim)(arctantanlimlim 6设在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足及),(yxu02 yxu，则（）02222 yuxu（A）的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上；),(yxu Page 3 of 11 更多考研资料分享+qq1032419714（B）的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部；),(yxu（C）的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；),(yxu（D）的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上),(yxu【详解详解】在平面有界闭区域 D 上连续，所以在 D 内必然有最大值和最小值并且如果),(yxu),(yxu在内部存在驻点，也就是，在这个点处，),(00yx0 yuxuxyuyxuByuCxuA 222222,由条件，显然，显然不是极值点，当然也不是最值点，所以的最大值点和02 BAC),(yxu),(yxu最小值点必定都在区域 D 的边界上所以应该选（A）7行列式等于dcdcbaba00000000（A）（B）（C）（D）2)(bcad 2)(bcad 2222cbda 2222cbda 【详解详解】20000000000000000)(bcaddcbabcdcbaaddccbabdcdbaadcdcbaba 应该选（B）8设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量321 ,lk,31 k 32 l 线性无关的321 ,（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件（C）充分必要条件 （D）非充分非必要条件【详解详解】若向量线性无关，则321 ,（，），对任意的常数，矩阵的秩都等31 k 32 l Klk),(),(3213211001 lk,K于 2，所以向量，一定线性无关31 k 32 l Page 4 of 11 更多考研资料分享+qq1032419714而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但 000010001321 ,lk,31 k 32 l 线性相关；故选择（A）321 ,二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9 12521dxxx【详解详解】11122832421212141521 )(|arctan)(xxdxdxxx10设为周期为 4 的可导奇函数，且，则 )(xf 2012,),()(xxxf)(7f【详解详解】当时，由可知，即 20,xCxxdxxxf 2122)()(00 )(f0 C；为周期为 4 奇函数，故xxxf22 )()(xf1117 )()()(fff11设是由方程确定的函数，则 ),(yxzz 4722 zyxeyz 2121,|dz【详解详解】设，当4722 zyxezyxFyz),(1222122 yzzyzyxyeFyzeFF,时，所以21 yx0 z21 zxFFxz21 zyFFyz 2121,|dzdydx2121 12曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为 L rL 22 ,),(r【详解详解】先把曲线方程化为参数方程，于是在处，sinsin)(coscos)(ryrx2 20 yx,，则在点处的切线方程为，即 222|sincoscossin|dxdyL 22 ,),(r)(022 xy .22 xy13一根长为 1 的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标x 10,122 xxx)(x Page 5 of 11 更多考研资料分享+qq1032419714【详解详解】质心坐标201135121112210210231010 dxxxdxxxxdxxdxxxx)()()()(14设二次型的负惯性指数是 1，则的取值范围是 3231222132142xxxaxxxxxxf ),(a【详解详解】由配方法可知232232231323122213214242xaxxaxxxxxaxxxxxxf)()()(),(由于负惯性指数为 1，故必须要求，所以的取值范围是042 aa 22,三、解答题15（本题满分 10 分）求极限)ln()(limxxdttetxtx1112112 【分析】先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限【详解详解】21121111111222121122112 xxoxxxxexxdttetxxdttetxxxxtxxtx)(lim)(lim)(lim)ln()(lim16（本题满分 10 分）已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值)(xyy yyyx 12202 )(y)(xy【详解详解】解：把方程化为标准形式得到，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积2211xdxdyy )(分可得方程通解为：，由得，Cxxyy 33313102 )(y32 C即32313133 xxyy 令，得，且可知；01122 yxdxdy1 x3222222211212)()()(yxyyxdxyd Page 6 of 11 更多考研资料分享+qq1032419714当时，可解得，函数取得极大值；1 x1 y01 y1 y当时，可解得，函数取得极小值1 x0 y02 y0 y17（本题满分 10 分）设平面区域计算 004122 yxyxyxD.,|),(Ddxdyyxyxx)sin(22【详解详解】由对称性可得432112121212022222222 DDDDdrrrddxdyxdxdyyxyxyxdxdyxyxydxdyxyxx sin)sin()sin()()sin()sin(18（本题满分 10 分）设函数具有二阶连续导数，满足若)(uf)cos(yefzx xxeyezyzxz222224)cos(，求的表达式0000 )(,)(ff)(uf【详解详解】设，则，yeuxcos)cos()(yefufzx ;yeufyeufxzeufxzxxyxcos)(cos)(,)(cos 2222；yeufyeufyzyeufyzxxxcos)(sin)(,sin)(2222xxxeyefeufyzxz222222)cos()(由条件，xxeyezyzxz222224)cos(可知uufuf )()(4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程对应齐次方程的通解为：其中为任意常数uueCeCuf2221 )(21CC,对应非齐次方程特解可求得为uy41 *Page 7 of 11 更多考研资料分享+qq1032419714故非齐次方程通解为ueCeCufuu412221 )(将初始条件代入，可得0000 )(,)(ff16116121 CC,所以的表达式为)(ufueeufuu4116116122 )(19（本题满分 10 分）设函数在区间上连续，且单调增加，证明：)(),(xgxf ba.)(xf10 )(xg（1）；baxaxdttgxa,)(0（2）badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(【详解详解】（1）证明：因为，所以10 )(xg baxdtdttgdxxaxaxa,)(10即 baxaxdttgxa,)(0（2）令，xadttgaaxaduufduugufxF)()()()()(则可知，且，0)(aF xadttgafxgxgxfxF)()()()()(因为且单调增加，,)(axdttgxa 0)(xf所以从而)()()(xfaxafdttgafxa ，0 )()()()()()()()()(xfxgxgxfdttgafxgxgxfxFxa bax,也是在单调增加，则，即得到)(xF ba,0 )()(aFbF badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(20（本题满分 11 分）设函数，定义函数列 101,)(xxxxf，)()(xfxf 1)()(xffxf12 LL),()(,xffxfnn1 设是曲线，直线所围图形的面积求极限nS)(xfyn 01 yx,nnnS lim【详解详解】Page 8 of 11 更多考研资料分享+qq1032419714，xxxxxxxfxfxfxxxf21111111121 )()()(,)(L,)(xxxf313 利用数学归纳法可得.)(nxxxfn 1，)ln()()(nnndxnxndxnxxdxxfSnn 11111111101010111 nnnSnnn)ln(limlim21（本题满分 11 分）已知函数满足，且，求曲线所成的),(yxf)(12 yyfyyyyyfln)()(),(2120),(yxf图形绕直线旋转所成的旋转体的体积1 y【详解详解】由于函数满足，所以，其中为待定的连续函),(yxf)(12 yyf)(),(xCyyyxf 22)(xC数又因为，从而可知，yyyyyfln)()(),(212yyyCln)()(21得到xxyyxCyyyxfln)()(),(212222令，可得且当时，0),(yxfxxyln)()(2121 y2121 xx,曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积为0),(yxf1 y )ln(ln)()(45222121212 dxxxdxyV22（本题满分 11 分）设，E 为三阶单位矩阵 302111104321A（1）求方程组的一个基础解系；0 AX（2）求满足的所有矩阵EAB 【详解详解】（1）对系数矩阵 A 进行初等行变换如下：Page 9 of 11 更多考研资料分享+qq1032419714，310020101001310011104321134011104321302111104321A得到方程组同解方程组0 AX 43424132xxxxxx得到的一个基础解系0 AX 13211（2）显然 B 矩阵是一个矩阵，设34 444333222111zyxzyxzyxzyxB对矩阵进行进行初等行变换如下：)(AE 141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为，1321011214321cxxxx 1321043624321cyyyy 1321011134321czzzz即满足的所有矩阵为EAB 321321321321313431212321162ccccccccccccB其中为任意常数321ccc,23（本题满分 11 分）Page 10 of 11 更多考研资料分享+qq1032419714证明阶矩阵与相似n 111111111LMMMLL n00200100LMMMLL【详解详解】证明：设，A 111111111LMMMLL B n00200100LMMMLL分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：，1111111111 nnAE )(LMMMLL所以 A 的个特征值为；n0321 nn L,而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化且；00L A1002010 nnnBE )(LMMMLL所以 B 的个特征值也为；n0321 nn L,Page 11 of 11 更多考研资料分享+qq1032419714对于重特征值，由于矩阵的秩显然为 1，所以矩阵 B 对应重特征值1 n0 BBE )(01 n的特征向量应该有个线性无关，进一步矩阵 B 存在个线性无关的特征向量，即矩阵 B 一定0 1 nn可以对角化，且 00L B从而可知阶矩阵与相似n 111111111LMMMLL n00200100LMMMLL