2019年考研数学一真题与解析(可编辑修改word版).pdf

12019 年考研数学一真题解析一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分1当时，若与是同阶无穷小，则（）0 x tanxxkxk（A）（B）（C）（D）1234【答案答案】（C）【详解详解】当时，所以，所以0 x 331tan()3xxxo x331tan()3xxxo x 3k 2设函数，则是的（）,0()ln,0 x xxf xxx x0 x()f x（A）可导点，极值点 （B）不可导的点，极值点（C）可导点，非极值点 （D）不可导点，非极值点【答案答案】（B）【详解详解】（1），所以函数在0001ln(00)limlnlim0,(00)lim0,(0)01xxxxfxxfx xfx处连续；（2），所以函数在处不可导；（3）当时，0 x 0ln(0)limxxxfx 0 x 0 x，函数单调递增；当时，函数单调减少，2(),()20f xxfxx 10 xe()1ln0fxx 所以函数在取得极大值0 x 3设是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（）nu（A）（B）(C）（D）1nnun11(1)nnnu111nnnuu2211()nnnuu【答案答案】（D）【详解详解】设是单调增加的有界数列，由单调有界定理知存在，记为；又设，满nulimnnulimnnuun足，则，且，则对于正项对于级nuM221111()()2()nnnnnnnnuuuuuuM uu2210nnuu数，前项和：2211()nnnuun221111111()2()2()22nnnkkkknnkkSuuMuuM uuMuMu也就是收敛2211()nnnuu24设函数，如果对于上半平面内任意有向光滑封闭曲线都有2(,)xQ x yy(0)y C(,)(,)0CP x y dxQ x y dy A那么函数可取为（）(,)P x y（A）（B）（C）（D）22xyy221xyy11xy1xy【答案答案】（D）【详解详解】显然，由积分与路径无关条件知，也就是，其中是21PQyxy1(,)()P x yC xy()C x在上处处可导的函数只有（D）满足(,)5设是三阶实对称矩阵，是三阶单位矩阵，若，且，则二次型的规范形AE22AAE4A Tx Ax是 （）（A）（B）（C）（D）222123yyy222123yyy222123yyy222123yyy【答案答案】（C）【详解】假设是矩阵的特征值，由条件可得，也就是矩阵特征值只可A22AAE220A能是 和而，所以三个特征值只能是，根据惯性定理，二次型121234A 1231,2 的规范型为222123yyy6如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为123(1,2,3)iiiia xa ya zd i，则（）,A A（A）（B）()2,()3r Ar A()2,()2r Ar A（C）（D）()1,()2r Ar A()1,()1r Ar A【答案答案】（A）【详解详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而；()()r Ar A（2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以；()2r A 7 设为随机事件，则的充分必要条件是 （）,A B()()P AP B（A）（B）()()()P ABP AP B()()()P ABP A P B3（C）（D）()()P ABP BA()()P ABP AB【答案答案】（C）【详解详解】选项（A）是互不相容；选项（B）是独立，都不能得到；,A B,A B()()P AP B对于选项（C），显然，由，()()(),()()()P ABP AP AB P BAP BP AB()()()()()()()()P ABP BAP AP ABP BP ABP AP B8设随机变量与相互独立，且均服从正态分布则（）XY2(,)N 1P XY（A）与无关，而与有关 （B）与有关，而与无关22（C）与，都有关 （D）与，都无关22【答案答案】（A）【详解详解】由于随机变量与相互独立，且均服从正态分布，则，从而XY2(,)N 2(0,2)XYN1111 11212222XYP XYPXYP 只与有关2二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9设函数可导，则 ()f u(sinsin)zfyxxy11coscoszzxxyy【答案答案】coscosyxxy解：cos(sinsin),cos(sinsin)zzx fyxyy fyxxxy 11coscoscoscoszzyxxxyyxy10微分方程满足条件的特解为 2220yyy(0)1yy【答案答案】32xye【详解详解】把方程变形得，即2220yyy22()()20yy222(2)222xxd ydxyCeyCey4由初始条件确定，所以(0)1y3C 32xye11.幂级数在内的和函数 .1(1)(2)!nnnxn(0,)()S x 看不清楚题目是还是，我以给出解答1(1)(2)!nnnxn0(1)(2)!nnnxn1(1)(2)!nnnxn【答案答案】cos1x【详解详解】注意，从而有：20(1)cos,(,)(2)!nnnxxxn 110(1)(1)(1)()()1cos1,(0,)(2)!(2)!(2)!nnnnnnnnnxxxxxnnn 12设为曲面的上侧，则 22244(0)xyzz2244dxdyxz【答案答案】32.3【详解详解】显然曲面在平面的投影区域为xOy22(,)|4xyDx yxy2222220043244dxdydxdydxdy2sin3xyxzyydrdr13设为三阶矩阵，若线性无关，且，则线性方程组的通123(,)A 12,3122 0Ax 解为 【答案答案】，其中为任意常数121xkk【详解详解】显然矩阵的秩，从而齐次线性方程组的基础解系中只含有一个解向量由A()2r A 0Ax 可知也就是为方程组基础解系，通解为，其中3122 12320121x121xk为任意常数k14设随机变量的概率密度为，为其分布函数，其数学期望，则X,02()20,xxf x他他()F x()E X5 ()()1P F XE X【答案答案】2.3【详解详解】，20,01(),0241,2xF xP Xxxxx2204()23xE Xdx230122()()1()13233xP F XE XP F XP Xdx 三、解答题15（本题满分 10 分）设函数是微分方程满足条件的特解()y x22xyxye(0)0y（1）求；（2）求曲线的凸凹区间及拐点()y x()yy x【详解详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程先求解对应的线性齐次方程的通解：，其中为任意常数；0yxy22xyCeC再用常数变易法求通解，设为其解，代入方程，得22xyxye22()xyC x e，2222(),()1xxC x eeC x，也就是通解为：1()1C xdxxC221()xyxC e把初始条件代入，得，从而得到(0)0y10C 22().xy xxe（2）2222232222(),()(1),()(3)(3)(3)xxxxy xxey xexy xxx ex xxe令得()0y x1233,0,3xxx 当或时，是曲线的凸区间；3x 03x0y当或时，是曲线的凹区间30 x3x 0y 曲线的拐点有三个，分别为3322(3,3),(0,0),(3,3)ee16（本题满分 10 分）设为实数，函数在点处的方向导数中，沿方向,a b222zaxby(3,4)的方向导数最大，最大值为34lij 10（1）求常数之值；（2）求曲面的面积,a b222(0)zaxbyz6【详解详解】（1），则；222zaxby2,2zzaxbyxy所以函数在点处的梯度为；(3,4)(3,4)(3,4)|,6,8zzgradfabxy223664gradfab由条件可知梯度与方向相同，且34lij 22366410gradfab也就得到解出或（舍）即226834366410abab11ab 11ab11ab （2）222222200213144143SxySdSxy dxdydr rdr17（本题满分 10 分）求曲线与轴之间形成图形的面积sin(0)xyexxx【详解详解】先求曲线与轴的交点：令得xsin0 xex,0,1,2,xkk当时，；当时，2(21)kxksin0 xyex2(22)kxksin0 xyex由不定积分可得1sin(sincos)2xxexdxexxC，2221sin(1)2kxkkexdxee 22221sin(1)2kxkkexdxee 所求面积为22202200220022220sinsinsin11(1)(1)2211111(1)(1)22121kkxxxkkkkkkkkkkSexdxexdxexdxeeeeeeeeee 18（本题满分 10 分）设1201(0,1,2,)nnaxx dxn（1）证明：数列单调减少，且；（2）求极限na21(2,3,)2nnnaann1limnnnaa【详解详解】（1）证明：，1201nnaxx dx112101(0,1,2,)nnaxx dxn当时，显然有，所以数列单调减少；(0,1)x1nnxx11210()10nnnnaaxxx dxna先设2200sincos,0,1,2,nnnIxdxdx n则当时，2n 1222220002sinsincos(1)sincos(1)()nnnnnnIxdxxdxnxxdxnII 7也就是得到22,0,1,1nnnIInn令，则sin,0,2xt t12222222000011sincossinsin2nnnnnnnnaxx dxttdtdttdtIIIn同理，2211nnnnaIIIn综合上述，可知对任意的正整数，均有，即；n212nnanan21(2,3,)2nnnaann（2）由（1）的结论数列单调减少，且na21(2,3,)2nnnaann2111111222nnnnnannnaaannan 令，由夹逼准则，可知n 1lim1nnnaa19（本题满分 10 分）设是由锥面与平面围成的锥体，求222(2)(1)(01)xyzz0z 的形心坐标【详解详解】先计算四个三重积分：2221112000(2)(1)1(1)3zDxyzdvdzdxdydzdxdyzdz2221112000(2)(1)(1)12zDxyzzdvzdzdxdyzdzdxdyzzdz2221100(2)(1)0zDxyzxdvdzxdxdydzxdxdy2221112000(2)(1)22(1)3zDxyzydvdzydxdydzydxdyzdz，从而设形心坐标为0 xdvxdv2ydvydv14zdvzdv1(,)(0,2,)4x y z 注：其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体，则由体积公式显然，且由对称性，明显13dv，0 x 2y 820（本题满分 11 分）设向量组为空间的一组基，在这组基下1231112,3,123a 3R111 的坐标为1bc （1）求之值；,a b c（2）证明：也为空间的一组基，并求到的过渡矩阵23,3R23,123,【详解详解】（1）由可得，解方程组，得123bc11231231bcbcabc 32.2abc 且当时，即线性无关，确实是空间的一3a 123111111,23301110123012 123,3R组基（2），显然线性无关，当然也为空间的一组23111111,33 10022023 1011 23,3R基设，则从到的过渡矩阵为23123,aP 23,123,1123123111111011111110,33 12330.50.512330.50123 11231.50.501230.500P 21（本题满分 11 分）已知矩阵与相似22122002Ax21001000By（1）求之值；（2）求可逆矩阵，使得,x yP1P APB【详解详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：，即，解得ABtrAtrB2(24)241xyxy 32xy（2）解方程组得矩阵的三个特征值221232(2)(2)(1)0002EAA9；1232,1,2 分别求解线性方程组得到分属三个特征值的线性无关()0(1,2,3)iEA xi1232,1,2 的特征向量为：1231112,1,2004 令，则可逆，且；1123111,212004P 1P11212P AP同样的方法，可求得属于矩阵的三个特征值的线性无关的特征向量为：B1232,1,2 1231100,3,00014 令，则可逆，且；2123110,030001P 2P12212P BP由前面，可知令，就满足111122P APP BP112111212004PPP 1P APB22（本题满分 11 分）设随机变量相互独立，服从参数为 1 的指数分布，的概率分布为：,X YXY，令1P Yp 11P Yp(01)pZXY（1）求的概率密度；（2）为何值时，不相关；（3）此时，是否相互独立Zp,X Z,X Z【详解详解】（1）显然的概率密度函数为X,0()0,0 xXexfxx先求的分布函数：ZXY(),1,1(1)1()(1()ZXXFzP ZzP XYzP Xz YP Xz Yp P XzpP XzFzpFz 他他再求的概率密度：ZXY,0()()()(1)()0,0(1),0zZZXXzpezfzFzpfzp fzzp ez10（2）显然；()1,()1;()12E XD XE Yp 由于随机变量相互独立，所以；,X Y()()()()12E ZE XYE X E Yp；22()()()()24E XZE X YE XE Yp(,)()()()12COV X ZE XZE X E Zp 要使不相关，必须，也就是时不相,X Z(,)()()()120COV X ZE XZE X E Zp 0.5p,X Z关；（3）显然不相互独立，理由如下：设事件，事件，则,X Z1AX1BZ；11()1xP AP Xe dxe；11()11,11,112P BP ZP XYP XYe ，当11()1,11,1(1,11P ABP XZP XXYP XYP XP Ypex 时，显然，也就是显然不相互独立0.5p()()()P ABP A P B,X Z23（本题满分 11 分）设总体的概率密度为，其中是已知参数，是未X22()2,()0,xAexf xx知参数，是常数，是来自总体的简单随机样本A12,nXXXX（1）求常数的值；A（2）求的最大似然估计量2【详解详解】（1）由可知()1f x dx222()2202122txAtedxAedA所以2A似然函数为，212()22121,(,;)(,)0,niiXnnininiAexL XXXf x他他取对数，得22212211ln(,;)lnln()()22nniinL XXXnAX解方程，得未知参数的最大似然估计221222221ln(,;)11()0()22()nniidL XXXnXd 25量为A2211()niiXn