2019年高考全国卷Ⅲ文数(含答案).pdf

12019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷 3）文科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则2 1,0,1,21ABx x，AB ABCD1,0,1 0,11,10,1,22若，则 z=(1 i)2izA BCD1 i 1+i1 i1+i3两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 ABCD161413124西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A0.5 B0.6 C0.7D0.85函数在0，2的零点个数为()2sinsin2f xxxA2 B3 C4D56已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3=A 16B 8C4 D 27已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则elnxyaxxAa=e，b=-1Ba=e，b=1Ca=e-1，b=1Da=e-1，1b 28如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则ABM=EN，且直线 BM、EN 是相交直线BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线CBM=EN，且直线 BM、EN 是异面直线DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线9执行下边的程序框图，如果输入的为，则输出的值等于0.01sA.B.C.D.412251226122712210已知 F 是双曲线 C：的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原点，若，则22145xy=OPOF的面积为OPF3ABCD3252729211记不等式组表示的平面区域为D.命题；命题6,20 xyxy:(,),29px yDxy.下面给出了四个命题:(,),212qx yDxy pqpq pqpq 这四个命题中，所有真命题的编号是ABCD12设是定义域为 R 的偶函数，且在单调递减，则 f x0,A（log3）（）（）f14f322f232B（log3）（）（）f14f232f322C（）（）（log3）f322f232f14D（）（）（log3）f232f322f14二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量，则_.(2,2),(8,6)abcos,a b14记 Sn为等差数列an的前 n 项和，若，则_.375,13aa10S15设为椭圆 C:的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若为等腰三角形，12FF，22+13620 xy12MFF4则 M 的坐标为_.16学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四1111ABCDABC D棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所16cm4cmAB=BC=,AA=需原料的质量为_g.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.518（12 分）的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知ABCsinsin2ACabA（1）求 B；（2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围19（12 分）图 1 是由矩形 ADEB、ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中RtAB=1，BE=BF=2，FBC=60.将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2.（1）证明图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的四边形 ACGD 的面积.620（12 分）已知函数.32()22f xxax（1）讨论的单调性；()f x（2）当0a3时，记在区间0，1的最大值为M，最小值为m，求的取值范围.()f xMm21（12 分）已知曲线 C：y=，D 为直线 y=上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.22x12（1）证明：直线 AB 过定点：（2）若以 E(0，)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程.527（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）如图，在极坐标系 Ox 中，弧，所在圆(2,0)A(2,)4B(2,)4C(2,)DAABABCACD的圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.(1,0)(1,)2(1,)1MAAB2MABC3MACD（1）分别写出，的极坐标方程；1M2M3M（2）曲线由，构成，若点在 M 上，且，求 P 的极坐标.M1M2M3MP|3OP 23选修 4-5：不等式选讲（10 分）设，且.,x y zR1xyz（1）求的最小值；222(1)(1)(1)xyz（2）若成立，证明：或.2221(2)(1)()3xyza3a 1a 82019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题1A2D3D4C5B6C7D8B9C10B11A12C二、填空题13141001516118.8210(3,15)三、解答题17解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35b=10.050.150.70=0.10（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.0018解：（1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin2ACABA因为sinA0，所以sinsin2ACB由，可得，故180ABCsincos22ACBcos2sincos222BBB因为，故，因此B=60cos02B1sin22B（2）由题设及（1）知的面积ABC34ABCSa9由正弦定理得sin 120sin31sinsin2tan2CcAaCCC由于为锐角三角形，故0A90，0C90.由（1）知A+C=120，所以30C0，则当时，；当时，故在(,0),3ax()0fx0,3ax()0fx()f x单调递增，在单调递减；(,0),3a0,3a若 a=0，在单调递增；()f x(,)10若 a0，则当时，；当时，故在,(0,)3ax()0fx,03ax()0fx()f x单调递增，在单调递减.,(0,)3a,03a（2）当时，由（1）知，在单调递减，在单调递增，所以在0,103a()f x0,3a,13a()f x的最小值为，最大值为或.于是32327aaf(0)=2f(1)=4fa，3227am 4,02,2,23.aaMa所以332,02,27,23.27aaaMmaa当时，可知单调递减，所以的取值范围是.02a3227aaMm8,227当时，单调递减，所以的取值范围是.23a327aMm8,1)27综上，的取值范围是.Mm8,2)2721解：（1）设，则.111,2D tA x y2112xy由于，所以切线DA的斜率为，故.yx1x11112yxxt整理得 1122+1=0.txy设，同理可得.22,B xy2222+1=0txy故直线AB的方程为.2210txy 所以直线AB过定点.1(0,)211（2）由（1）得直线AB的方程为.12ytx由，可得.2122ytxxy2210 xtx 于是.21212122,121xxt yyt xxt 设M为线段AB的中点，则.21,2M t t由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或EMAB 2,2EMt t AB(1,)t220ttt.1t 当=0时，=2，所求圆的方程为；t|EM 22542xy当时，所求圆的方程为.1t|2EM 22522xy22.解：（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，AAA,AB BC CD2cos2sin.2cos 所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，1M2cos042M32sin44的极坐标方程为.3M32cos4（2）设，由题设及（1）知(,)P 若，则，解得；042cos36若，则，解得或；3442sin3323若，则，解得.342cos356综上，P的极坐标为或或或.3,63,323,353,623解：（1）由于2(1)(1)(1)xyz12222(1)(1)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyzxyyzzx，2223(1)(1)(1)xyz故由已知得，2224(1)(1)(1)3xyz当且仅当x=，时等号成立5313y 13z 所以的最小值为.222(1)(1)(1)xyz43（2）由于2(2)(1)()xyza222(2)(1)()2(2)(1)(1)()()(2)xyzaxyyzaza x，2223(2)(1)()xyza故由已知，2222(2)(2)(1)()3axyza当且仅当，时等号成立43ax13ay223az因此的最小值为222(2)(1)()xyza2(2)3a由题设知，解得或2(2)133a3a 1a