2019年高考数学浙江卷(附答案).pdf

绝密绝密启用前启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考生注意：1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。2答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。参考公式：参考公式：若事件 A，B 互斥，则()()()P ABP AP B若事件 A，B 相互独立，则()()()P ABP A P B若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，则 n次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率()C(1)(0,1,2,)kkn knnP kppkn台体的体积公式11221()3VSS SSh其中分别表示台体的上、下底面积，表12,S Sh示台体的高柱体的体积公式VSh其中表示柱体的底面积，表示柱体的高Sh锥体的体积公式13VSh其中表示锥体的底面积，表示锥体的高Sh球的表面积公式24SR 球的体积公式343VR其中表示球的半径R选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集，集合，则=1,0,1,2,3U 0,1,2A 1,0,1B ()UABAB 1 0,1CD 1,2,31,0,1,32渐近线方程为 xy=0 的双曲线的离心率是AB122CD223若实数 x，y 满足约束条件，则 z=3x+2y 的最大值是3403400 xyxyxyA B11C10D124祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V柱体=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A158B162C182D3245若 a0，b0，则“a+b4”是“ab4”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6在同一直角坐标系中，函数 y=，y=loga(x+)(a0，且 a1)的图象可能是1xa127设 0a1，则随机变量 X 的分布列是则当 a 在（0,1）内增大时，AD（X）增大BD（X）减小CD（X）先增大后减小DD（X）先减小后增大8设三棱锥 VABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点（不含端点）记直线 PB 与直线 AC 所成的角为，直线 PB 与平面 ABC 所成的角为，二面角 PACB 的平面角为，则A，B，C，D，9已知，函数若函数恰有 3 个零点，,a bR32,0()11(1),032x xf xxaxax x()yf xaxb则Aa1，b0 Ba0 Ca1，b1，b0 10设 a，bR，数列an满足 a1=a，an+1=an2+b，则nNA当 b=时，a1010 B当 b=时，a1010 1214C当 b=2 时，a1010 D当 b=4 时，a1010非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。11复数（为虚数单位），则=_11 iz i|z12已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆 C 相切于点，则C(0,)mr230 xy(2,1)A=_，=_mr13在二项式的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是_9(2)x14在中，点在线段上，若，则ABC90ABC4AB 3BC DAC45BDC_，_BD cosABD15已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点22195xyFPxPF为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_OOFPF16已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是aR3()f xaxxtR2|(2)()|3f tf ta_.17已知正方形的边长为 1，当每个取遍时，ABCD(1,2,3,4,5,6)ii1的最小值是_，最大值是_123456|ABBCCDDAACBD 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（本小题满分 14 分）设函数.()sin,f xx xR（1）已知函数是偶函数，求的值；0,2),()f x（2）求函数的值域22()()124yf xf x19（本小题满分 15 分）如图，已知三棱柱，平面平面,，111ABCABC11A ACC ABC90ABC分别是 AC，A1B1的中点.1130,BACA AACAC E F（1）证明：；EFBC（2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值.20（本小题满分 15 分）设等差数列的前 n 项和为，数列满足：对每个nanS34a 43aS nb成等比数列12,nnnnnnnSb Sb SbN（1）求数列的通项公式；,nnab（2）记 证明：,2nnnacnbN12+2,.ncccn nN21（本小题满分 15 分）如图，已知点为抛物线的焦点，过点 F 的直线交抛物(10)F，22(0)ypx p线于 A、B 两点，点 C 在抛物线上，使得的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 QABC在点 F 的右侧记的面积分别为,AFGCQG12,S S（1）求 p 的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点 G 的坐标12SS22（本小题满分 15 分）已知实数，设函数0a()=ln1,0.f xaxxx（1）当时，求函数的单调区间；34a ()f x（2）对任意均有 求的取值范围21,)ex(),2xf xaa注：e=2.71828为自然对数的底数2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学 参 考 答 案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分40分。1A2C3C4B5A6D7D8B9C10A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11121314222,516 2,512 2 7 2,51015161715430,2 5三、解答题：本大题共5小题，共74分。18本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，()sin()f xxsin()sin()xx 即，sin coscos sinsin coscos sinxxxx 故，2sin cos0 x所以cos0又，因此或0,2)232（2）2222sinsin124124yfxfxxx1 cos 21 cos 2133621cos2sin222222xxxx 31cos 223x 因此，函数的值域是331,12219本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。方法一：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC，则A1EBC又因为A1FAB，ABC=90，故BCA1F所以BC平面A1EF因此EFBC（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形由（1）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=2，EG=.33由于O为A1G的中点，故，11522AGEOOG所以2223cos25EOOGEGEOGEO OG因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35方法二：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz不妨设AC=4，则A1（0，0，2），B（，1，0），C(0，2，0)331(3,3,2 3)B3 3(,2 3)22F因此，3 3(,2 3)22EF (3,1,0)BC 由得0EF BC EFBC（2）设直线EF与平面A1BC所成角为由（1）可得1=(3 1 0)=(0 22 3)BCAC ，设平面A1BC的法向量为n，()xy z，由，得，100BCAC nn3030 xyyz取n，故，(13 1)，|4sin|cos|=5|EFEFEF ，nnn|因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为3520本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。满分15分。（1）设数列的公差为d，由题意得na，11124,333adadad解得10,2ad从而*22,nannN所以，2*nSnnnN，由成等比数列得12,nnnnnnSb Sb Sb212nnnnnnSbSbSb解得2121nnnnbSS Sd所以2*,nbnn nN（2）*221,22(1)(1)nnnanncnbn nn nN我们用数学归纳法证明（i）当n=1时，c1=00，22mt.122113222134323424SmSmmmmmm 当时，取得最小值，此时G（2，0）3m 12SS31222本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。满分15分。（1）当时，34a 3()ln1,04f xxx x，31(12)(2 11)()42 141xxf xxxxx 所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）()f x（2）由，得1(1)2fa204a当时，等价于204a()2xf xa22 12ln0 xxxaa令，则1ta2 2t 设，2()212ln,2 2g ttxtxx t则211()(1)2lnxg tx txxx（i）当 时，则1,7x112 2x()(2 2)84 2 12lng tgxxx记，则1()42 2 1ln,7p xxxx x2212121()11xxxxp xxxxx x .(1)1(221)1(1)(12)xxxx xxxx 故x171(,1)71(1,)()p x0+()p x1()7p单调递减极小值(1)p单调递增所以，()(1)0p xp因此，()(2 2)2()0g tgp x（ii）当时，211,e7x12ln(1)()12xxxg tgxx令，则，211()2ln(1),e7q xxxxxln2()10 xq xx 故在上单调递增，所以()q x211,e71()7q xq由（i）得，12 712 7(1)07777qpp 所以，()0q x因此1()()102q xg tgxx 由（i）（ii）知对任意，21,ex2 2,),()0tg t即对任意，均有21,ex()2xf xa综上所述，所求 a 的取值范围是20,4