2019年高考文科数学全国1卷(附答案).doc

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：

-
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-

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学 全国 I 卷
本试卷共 23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟

比是 5 1
（ 5 1
≈ 0.618 ) ，称为黄金分割比例 ，著名
2
2
的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉
号
学
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：
名
姓

-
-
-
-
-
线
封
密
-
-
-
-
-
(适用地区：河北、河南、山西、山东、江西、安徽、湖北、湖南、广东、福建 )
注意事项：
1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选
项中， 只有一项是符合题目要求的。
3 i
1．设
z ，则 z =
1 2i

的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1
2
上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下
端的长度为 26 cm，则其身高可能是
A. 165 cm B. 175 cm
C. 185 cm D. 190cm
sin x x
函数 f(x)= 2
cos x x
．若某人满足
在[— π， π的] 图像大致为
班
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年
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_
：
校
学

-
-
-
-
线
封
密
-
-
-
-
-
-
-
-
-
A． 2 B． 3 C． 2 D．1
2．已知集合 U 1,2,3,4,5,6,7 ，A 2,3,4,5 ，B 2,3,6,7 ，则
B e A
U
A． 1,6 B． 1,7 C． 6,7 D． 1,6,7
3．已知

0.2 0.3
a log 0.2,b 2 ,c 0.2 ，则
2

A． a b c B． a c b
C． c a b D． b c a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之

A. B.
C. D.
6．某学校为了解1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1， 2，⋯ ， 1 000，
从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100 名学生进行体质测验.若 46 号学生
被抽到，则下面4 名学生中被抽到的是
A ．8 号学生 B．200 号学生 C． 616 号学生 D．815 号学生
7．tan255 =°
A ．－ 2－ 3 B．－ 2+ 3 C．2－ 3 D． 2+ 3
- 1 - - 2 -
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8．已知非零向量 a，b 满足 a =2 b ，且（a–b） b，则 a 与 b 的夹角为

A ．

π
6

B．

π
3

C．

2 π
3

D．

5 π
6

1
9. 如图是求
2

2

1

1
2

的程序框图，图中空白框中应填入

2
2 2
x y
3 2
2 2
x y
5 4

x
2 1
y B．
1
D
．

A ．
C
．

2
2 2
x y
4 3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

1
1

A. A=
B. A=
C. A=
D. A=

1
2 A
1
A
1
2 A

2
1
1 2 A
1

2 ) x
y 3(x x e 在点 (0, 0) 处的切线方程为 ___________．
13．曲线
15 ．函数

3
14．记 Sn 为等比数列 { an} 的前 n 项和.若 a1 1，S3 ，则 S4=___________．
4
3π
f (x) sin(2 x ) 3cos x 的最小值为 ___________．
2
16．已知∠ ACB= 90°，P 为平面 ABC 外一点， PC =2，点 P 到∠ACB 两边 AC，BC
的距离均为 3 ，那么 P 到平面 ABC 的距离为 ___________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 17~21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求
10．双曲线 C：

2 2
x y
2 2 1( 0, 0)
a b
a b

的一条渐近线的倾斜角为 130°，则 C 的

作答。
（一）必考题：共 60 分。
离心率为 17．（ 12 分）

A．2sin40 ° B．2cos40 ° C．

1
sin50

D．

1
cos50

某商场为提高服务质量， 随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客， 每位顾客对
11．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA－bsinB=4 csinC，
该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

cosA=－

1
4

，则

b
c

=

满意 不满意
A．6 B．5 C．4 D．3 男顾客 40 10
12．已知椭圆 C 的焦点为 F1( 1,0),F2(1,0)，过 F
2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若

女顾客 30 20

|AF | 2|F B|， | AB| | BF1|，则 C 的方程为
2 2

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
- 3 - - 4 -
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附：
K

2
2 n( ad bc)
(a b)(c d )(a c)(b d)

．

18．（ 12 分）
记Sn 为等差数列{ an} 的前 n 项和，已知S9=－a5．
（ 1）若 a3=4，求 { an} 的通项公式；
2
P（K ≥k） 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

（ 2）若 a1>0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围．
- 5 - - 6 -
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19．（ 12 分） 20．（ 12 分）
如图， 直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形， AA1=4，AB=2，∠BAD =60°，
已知函数 f（x） =2sinx－xcosx－x，f （′x）为f（ x）的导数．
E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点 .
（ 1）证明：f （′x）在区间（ 0， π）存在唯一零点；
（ 1）证明：MN∥平面 C1DE；
（ 2）若 x∈[0， π时] ， f（x）≥ax，求 a 的取值范围．
（ 2）求点 C 到平面 C1DE 的距离．
- 7 - - 8 -
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（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则
10. （12 分）
已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，│AB│ =4，⊙M 过点 A，B 且与直线 x+2=0
按所做的第一题计分。
相切．
22．[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]（10 分）
（1）若 A 在直线 x+ y=0 上，求⊙ M 的半径；

（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，│MA│－ │MP│为定值？并说明理由．

在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为

x
y

1
1
1

t
t
4t
t

2
2
2
，
（t 为参数），以坐
标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
2 cos 3 sin 11 0
．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
- 9 - - 10 -
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23．[选修 4-5 ：不等式选讲 ]（10 分）
已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明：

（1）

1 1 1
a b c

2 2 2
a b c

；

（2）

3 3 3
(a b) (b c) (c a) 24．
- 11 - - 12 -
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2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学 全国 I 卷 参考答案

由 a1 0知 d 0，故 Sn⋯ an 等价于

2 11 10 0
n n , ，解得 1≤n≤ 1．0
所以 n的取值范围是 { n |1剟n 10, n N } ． 一、选择题
1．C 2．C 3． B 4． B 5．D 6．C 19．解：
7．D 8．B 9． A 10．D 11．A 12．B
二、填空题

（1）连结B1C, ME.因为 M，E分别为 BB1, BC的中点，所以 ME∥B1C，且
13．y=3x 14．

5
8

15．- 4 16． 2

1
ME BC .又因为 N为 A1D的中点，所以
1
2

1
ND A D .
1
2
三、解答题
17．解：

由题设知

AB ∥ DC ，可得
1 1 =

BC∥ AD ，故 ME ∥= ND ，因此四边形MNDE
1 = 1

（ 1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 40 0.8
50

，因此男顾

为平行四边形， MN∥ED .又 MN 平面 C1DE，所以 MN ∥平面 C1DE.
客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.8． （2）过C作C1E的垂线，垂足为 H.

女顾客中对该商场服务满意的比率为 30 0.6
50

，因此女顾客对该商场服务满

由已知可得 DE BC ， DE C1C，所以 DE⊥平面 C1CE，故 DE⊥CH.

意的概率的估计值为 0.6 ．
2
2 100 (40 20 30 10)
K 4.762．
（ 2）
50 50 70 30
由于 4.762 3.841，故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有

从而 CH CH C
⊥平面 ，故 的长即为 到平面 的距离，
CDE CDE
1 1
由已知可得 CE=1，C1C=4，所以 C1E 17 ，故
4 17
CH .
17
差异 .
18．解：
（ 1）设an 的公差为 d．

从而点 C到平面 C1DE的距离为

4 17
17
.
由 S9 a5得 a1 4d 0．
由 a3=4得 a1 2d 4．
于是 a1 8,d 2．
因此 an 的通项公式为 an 10 2n．

（ 2）由（ 1）得 a1 4d，故 ( 5) , ( 9)
n n d
a n d S .
n n
2

20．解：
- 13 - - 14 -
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（1）设g (x) f ( x) ，则g( x) cos x x sin x 1, g ( x) x cos x .

由于 MO AO ，故可得

2 2 4 ( 2)2
x y x ，化简得 M 的轨迹方程为

当 (0, π)
x 时，g ( x) 0 ；当
2

π
x 时，g (x) 0，所以 g ( x) 在 (0, π)
,π
2
2

2 4
y x.

单调递增，在

π
,π
2

单调递减.

2
C: y 4x是以点 P (1,0) 为焦点， 以直线 x 1 为准线的抛物线，
因为曲线
所以 |MP |= x+1 .

π
又
g(0) 0,g 0,g(π) 2，故 g ( x) 在 (0, π) 存在唯一零点 .
2
所以 f ( x) 在 (0, π) 存在唯一零点 .

因为 |MA | |MP |=r |MP |= x+2 (x+1)=1 ，所以存在满足条件的定点 P.
22．解：（1）因为

2
1 t
1 1
，且
2
1 t

2
x

2
2 2 2
y 1 t 4t
2 2
2 1 t 1 t

2

，所以
1

（2）由题设知 f ( π)⋯ aπ, f (π) 0 ，可得 a≤ 0.
由（ 1）知， f ( x) 在 (0, π) 只有一个零点，设为 x0 ，且当 时，
x 0,x
0

C的直角坐标方程为

2
y
2 1( 1)
x x .
4

f x ；当 x x0,π时， f (x ) 0 ，所以 f ( x) 在 0, x0 单调递增，
( ) 0

l 的直角坐标方程为 2x 3y 11 0 .

x0 ,π 单调递减.
在
又 f (0) 0, f ( π) 0 ，所以，当 x [0, π] 时， f ( x)⋯ 0 .

（2）由（ 1）可设C的参数方程为

x
y

cos ,
2sin

（ 为参数， π π）.
又当 a, 0, x [0, π] 时， ax≤ 0，故 f ( x)⋯ ax .
因此， a的取值范围是 ( ,0] .
21．解：（1）因为 M 过点 A,B，所以圆心M 在 AB 的垂直平分线上 .由已知 A 在
直线 x+y=0 上，且 A,B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 y x上，故可

C上的点到 l 的距离为

π
4cos 11
| 2cos 2 3 sin 11| 3
7 7
.

设M (a, a) .
因为 M 与直线 x+2=0相切，所以 M 的半径为 r | a 2 | .
2 2
由已知得 |AO |=2 ，又 MO AO ，故可得
2a 4 (a 2) ，解得 a=0 或

当 2 π
时，
3

π
4cos 11
3
取得最小值 7，故C上的点到 l 距离的最小

a=4.

值为 7 .

故 M 的半径 r =2或 r =6 .

23．解：（1）因为

2 2 2 , 2 2 2 , 2 2 2
a b abb c bc c a ac，又 abc 1，故有

（2）存在定点 P (1,0) ，使得 | MA | | MP | 为定值 .
理由如下：

2 2 2 ab bc ca 1 1 1
a b c ab bc ca
abc a b c

.

设M (x, y ) ，由已知得 M 的半径为 r =|x+2|,|AO|=2 .

所以 1 1 1 a 2 b2 c 2
a b c

.
- 15 - - 16 -
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（2）因为 a, b, c 为正数且 abc 1，故有
3 3 3 3 3 3 3
(a b) (b c) (c a) 3 (a b) (b c) (a c)
=3(a +b)(b +c)( a+c)
3 (2 ab) (2 bc) (2 ac)
=24.

所以

3 3 3
(a b) (b c) (c a) 24.
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