基于贝叶斯估计的广义Gamma收入分布模型.pdf

D O I:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 0 0 1-5 3 3 7.2 0 2 3.4.0 4 7*收稿日期:2 0 2 2-0 5-2 3第一作者:李蕾,女,1 9 9 8-,硕士研究生;研究方向:概率统计;E-m a i l:l i l e i 1 2 3 l e i l i b u p t.e d u.c n.通信作者:杨娟,女,1 9 8 3-,博士,副教授;研究方向:随机微分方程;E-m a i l:j u a n y a n g b u p t.e d u.c n.基于贝叶斯估计的广义G a mm a收入分布模型李 蕾,杨 娟(北京邮电大学理学院,1 0 0 8 7 6,北京市)摘要:利用广义G a mm a分布拟合中国西北地区(除新疆外)各省的收入分布,分布的参数使用贝叶斯方法估计,并通过G i b b s抽样得到每个参数的后验分布.估计的广义G a mm a分布都通过了K-S检验.在拟合的收入分布的基础上,测算了收入不平等指数.结果表明,甘肃省和内蒙古自治区的收入不平等程度相对其他省份较严重.关键词:广义G a mm a分布;贝叶斯分析;K-S检验;收入不平等指数中图分类号:O 2 1 2.8 文献标识码:A 文章编号:1 0 0 1-5 3 3 7(2 0 2 3)0 4-0 0 4 7-0 60 引 言本文以西北地区(除新疆外)为例,研究了陕西省、宁夏回族自治区、青海省、甘肃省和内蒙古自治区的收入分布.基尼系数是最常用来衡量收入不平等程度的指标.计算基尼系数大多是基于离散分组的收入数据,但是由于中国人口数量非常庞大,分组计算的方法会带来很大的误差1,所以本文选择将个人收入看作连续的随机变量,用连续函数拟合收入分布.除了基尼系数,泰尔指数和P i e t r a指数也可以用来衡量收入不平等程度.泰尔指数和基尼系数之间有互补性,泰尔指数对上层收入的变化敏感,而基尼系数对中等水平收入的变化明显.常见的收入分布函数有很多,比如P a r e t o分布2、指数分布3、对数正态分布4和G a mm a分布5等.P a r e t o分布是最常用来描述收入水平的分布,但是P a r e t o分布只对高水平收入的拟合效果好,对低水平收入的拟合效果不好6.本文选择广义G a mm a分布来拟合收入的分布7.广义G a mm a分布的参数个数多,形式变换更灵活,应用更广泛.在估计广义G a mm a分布的参数时,大多数文献使用了极大似然估计方法7,9.与极大似然方法相比,贝叶斯估计将参数看作不固定的,从而可以得到参数更多的特征.本文用广义G a mm a分布拟合陕西省、宁夏回族自治区、青海省、甘肃省和内蒙古自治区的收入分布,用贝叶斯方法估计参数,然后利用得到的广义G a mm a收入分布计算基尼系数、泰尔指数和P i e t r a指数,对西北地区(除新疆外)的居民收入情况进行分析.1 数据和方法1.1 数据来源本文使用的数据是来自2 0 1 8年中国综合社会调查(C G S S 2 0 1 8)的微观收入数据.该调查涉及到2 8个省份(自治区、直辖市)居民的工作、家庭、身心健康等多个方面.我们取调查结果中西北地区的个人收入数据,分析西北地区的收入情况.由于C G S S 2 0 1 8的调查对象不包括新疆维吾尔自治区,所以本文最终选定陕西省、宁夏回族自治区、青海省、甘肃省和内蒙古自治区的收入数据进行分析,得到陕西省、甘肃省、青海省、宁 第4 9卷 第4期2 0 2 3年1 0月 曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t y V o l.4 9 N o.4O c t.2 0 2 3 夏回族自治区、内蒙古自治区的有效样本量分别为3 1 4个、1 4 8个、7 7个、6 4个和9 1个.1.2 广义G a mm a分布广义G a mm a分布由S t a c y在1 9 6 5年提出1 4,它的密度函数是f(x|)=()x-1e x p(-(x),(1)其中x0,=(、),0,0是形状参数,10是尺度参数,()是G a mm a函数.如果随机变量X(0)服从G a mm a分布,那么X服从广义G a mm a分布.广义G a mm a分布的分布函数是F(x|)=(,(x)(),(2)其中(s,t)=t0ws-1e-wdw是下不完全G a mm a函数.在拟合收入分布时,与上述的两参数和单参数分布模型相比,广义G a mm a分布不仅具有形式多样,灵活性大的优点,而且适用于相交的洛伦兹曲线的情况,但是这些二参数和单参数分布模型有时不适用于相交的洛伦兹曲线1 5.1.3 贝叶斯方法与传统的频率学派的观点不同,贝叶斯统计将参数看作不固定的,认为需要用一个分布来描述参数,这个分布结合了先验知识和样本数据,称为参数的后验分布.假设样本为x=(x1,x2,xn),未知参数的先验分布为().当给定时,x的条件分布为p(x|),x的边缘密度函数为m(x),那么的后验分布为(|x)=p(x|)()m(x)=p(x|)()p(x|)()d.(3)公式(3)被称为贝叶斯公式.本文利用贝叶斯公式估计广义G a mm a分布的参数,取=(,)的先验分布分别为:U(a,b)、G a mm a(,)、U(c,d)1 2,1 3,那么先验密度函数为()=1b-a,0,(4)()=()-1e-,0,(5)()=1d-c,0.(6)又由(1)式可以得到广义G a mm a分布的似然函数为L(;x)=nn()n ni=1x-1ie x p-ni=1(xi).(7)利用贝叶斯公式(3),可得、的满条件后验分布分别为(|x,)nn ni=1x-1ie x p-ni=1(xi),(8)(|x,)n+-1e x p-ni=1(xi)-,(9)(|x,)1n()n ni=1x-1i.(1 0)根据C G S S 2 0 1 8中相关收入数据的特征对超参数取值,得到的具体的先验分布为:U(0.0 1,1)、G a mm a(7,1)、U(1,6).本文利用O p e n B UG S软件实现对参数=(,)的G i b b s抽样,得到参数后验分布的样本.每个参数迭代2 00 0 0次,同时去掉前1 0 0 0个抽样样本,实现模型的退火,所以最后每个参数的后验样本的个数为1 90 0 0个.表1展示了参数、的后验分布的一些特征,包括9 5%H P D可信区间和后验中位数.本文的损失函数取绝对值损失函数L(,)=|-|,此时参数的贝叶斯估计为后验中位84 曲阜师范大学学报(自然科学版)2 0 2 3年数.将参数的后验中位数代入广义G a mm a分布,可得到估计的收入分布.估计的每个省的收入分布如图1所示.图1 估计各省的收入分布1.4 K-S检验K-S检验是一种非参数拟合优度检验方法,它通过计算一组数据的经验分布函数和某特定分布函数的差值,来检验这组数据是否来自该特定分布.假设有n个随机样本x1,x2,xn,则经验分布可以记为S(x)=xix的个数n.如果要检验该样本是否来自某给定的分布F0(x),那么假设检验问题可以写为H0:对所有x,F0(x)=S(x);H1:对至少一个x,F0(x)S(x),取检验统计量为Dn=m a x1inm a x(|S(xi)-F0(xi)|,|S(xi-1)-F0(xi)|).对于显著性水平,通过查表可以得到临界值d(n,),如果检验统计量Dnd(n,),则接受原假设,认为样本服从分布特定分布F0(x),否则拒绝原假设,认为样本不服从分布F0(x).本文分别用基于贝叶斯估计的广义G a mm a分布,基于极大似然估计的对数正态分布、P a r e t o分布、G a mm a分布和指数分布来拟合西北地区收入分布,然后用R S t u d i o软件对得到的分布进行K-S检验,得到相应的P值,P值越大说明拟合的效果越好.不同分布的K-S检验结果如表2所示.1.5 不平等指数的计算基尼系数、泰尔指数和P i e t r a指数是常用的衡量收入不平等程度的指标,它们的数值越大,表示收入不平等程度越高.基尼指数在0.40.5之间表示收入差距过大,大于0.5表示收入差距悬殊.假设收入Y是一个连续的随机变量,密度函数为f(y),分布函数为F(y),均值为Y=E(Y),那么基尼系数、P i e t r a指数和泰尔指数的定义分别为1 5,1 6G i n i=12YE(|Y-X|)=2Y0y F(y)f(y)dy-1,(1 1)P i e t r a=12YE(|Y-Y|)=12Y0|y-Y|f(y)dy,(1 2)T h e i l=E(l n(Y/Y)Y/Y)=0yYl nyYf(y)dy.(1 3)M c D o n a l d1 5推导出了收入服从广义G a mm a分布时,基尼系数、P i e t r a指数和泰尔指数的表达式.但是推导出的基尼系数和P i e t r a指数的表达式中含有级数,因为级数的计算比较复杂,所以本文采用蒙特卡罗方法来近似计算基尼系数和P i e t r a指数.根据蒙特卡罗方法,(1 1)和(1 2)式可写为G i n i=2YEf(y F(y)-12Y1NNi=1y(i)F(y(i)-1,(1 4)P i e t r a=12YEf(|y-Y|)12Y1NNi=1|y(i)-Y|,(1 5)其中y(1),y(2),y(N)是从分布f中随机抽取的样本.对于本文来说,是从贝叶斯方法估计出的广义94第4期 李蕾,等:基于贝叶斯估计的广义G a mm a收入分布模型 G a mm a分布中随机抽样,取N为1 0 00 0 0.由广义G a mm a分布的均值可知,Y=E(Y)=1+1(),其中,分别为广义G a mm a分布参数、的贝叶斯估计值.对于泰尔指数的计算,由M c D o n a l d1 5可得T h e i l=1+1+l n1 Y,(1 6)其中(x)是d i g a mm a函数,(x)=l n(x)x.根据参数、的后验分布和(1 6)式,可以得到泰尔指数的后验分布.基尼系数、泰尔指数(中位数、9 5%H P D可信区间)和P i e t r a指数的计算结果展示在表3中.2 结 果2.1 基于贝叶斯估计的收入分布由表1可知,对于被研究的5个省份,=1和=2都没有包含在的9 5%H P D可信区间内,=1也没有包含在的9 5%H P D可信区间内,并且的9 5%H P D可信区间的上边界没有趋近于,所以估计出的广义G a mm a分布不能被相关的两参数分布(对数正态分布(),G a mm a分布(=1),W e i b u l l分布(=1),N a k a g a m i分布(=2)替代,说明本文选择广义G a mm a分布来拟合收入分布是合理的.表1 广义G a mm a分布参数的9 5%H P D可信区间和后验中位数省份9 5%H P D可信区间中位数9 5%H P D可信区间中位数9 5%H P D可信区间中位数陕西(0.4 0 27,0.5 0 54)0.4 5 09(2.7 9 7,1 3.1 6)7.4 4 1(2.5 2 0,3.7 6 6)3.1 4 6甘肃(0.3 8 82,0.5 0 63)0.4 4 39(2.5 3 0,1 2.7 7)7.1 5 5(2.2 4 1,3.5 0 3)2.8 7 5青海(0.4 2 30,0.5 5 43)0.4 8 61(2.3 1 0,1 1.7 4)6.8 6(3.8 0 3,5.9 0 1)4.8 4 9宁夏(0.4 1 03,0.5 6 92)0.4 8 57(2.0 4 0,1 1.9 0)6.5 6 3(2.5 1 0,4.3 6 0)3.4 3 4内蒙古(0.4 1 55,0.5 7 10)0.4 8 68(2.2 4 8,1 1.9 9)6.6 2 1(2.2 1 7,3.7 2 4)2.9 6 7 因为有9 9.4 2%的样本在02 0万的范围内,所以图1仅展示了02 0万区间的收入分布的图像.由图1可以看出,青海省拖尾最长,且峰值最小,说明收入集中程度小.青海省的极值点最大,说明收入集中在相对其它4个省份来说较高的收入水平,这和青海省的样本均值最大是一致的.甘肃省的峰值最大,并且尾部最短,说明收入的集中程度最大.被研究省份的收入分布的图像都明显右偏,说明收入主要集中在低收入水平.这是因为被研究的省份位于中国西北部,属于经济发展水平较低的地区.为了促进经济的发展,西北地区可以在注重可持续发展的前提下,充分利用自身丰富的矿产资源、旅游资源等,发展特色产业.西部大开发和“一带一路”政策都弥补了西北地区不利的地理条件,促进了西北地区和其他地区的经济交流.2.2 分布拟合检验表2展示了分别用广义G a mm a分布、对数正态分布、G a mm a分布、指数分布和P a r e t o分布拟合收入数据的K-S检验结果.取显著性水平为0.0 5,从表2可以看出,贝叶斯估计的广义G a mm a分布通过了K-S检验,且拟合效果比对数正态分布、G a mm a分布、指数分布和P a r e t o分布好,适合用来表示西北地区(除新疆外)2 0 1 7年的个人收入分布.05 曲阜师范大学学报(自然科学版)2 0 2 3年表2 常见的收入分布的K-S检验的P值陕西甘肃青海宁夏内蒙古广义G a mm a分布0.0 5 69 9*0.2 9 65*0.1 1 52*0.2 7 55*0.5 2 98*对数正态分布0.0 0 02 4 030.0 7 67 5*0.1 0 96*0.4 1 38*0.2 1*G a mm a分布0.0 7 03 7*0.0 6 68 5*0.0 1 53 70.2 7 17*0.3 9 84*指数分布2.5 0 41 0-66.6 51 0-50.0 3 02 70.2 3 42*0.1 4 09*P a r e t o分布2.21 0-1 64.3 9 51 0-93.2 8 81 0-1 20.0 0 21 5 32.3 2 31 0-6注:*表示在显著性水平为0.0 5时,接受原假设.2.3 收入不平等指数的估计在估计的广义G a mm a分布的基础上,可以分析收入不平等情况,计算出的各省不平等指数如表3所示.表3 各省的基尼系数、P i e t r a指数和泰尔指数的计算结果基尼系数P i e t r a指数泰尔指数(中位数)泰尔指数(9 5%H P D可信区间)陕西0.5 8 190.4 3 280.6 0 38(0.5 2 72,0.6 8 46)甘肃0.5 8 960.4 5 340.6 6 44(0.5 4 54,0.7 9 12)青海0.4 6 270.3 6 290.3 7 18(0.2 7 86,0.4 7 96)宁夏0.5 2 760.4 2 460.4 9 67(0.3 6 05,0.6 5 05)内蒙古0.5 4 970.5 1 020.5 5 64(0.4 2 77,0.6 9 70)从表3可以看出,青海省的基尼系数、P i e t r a指数和泰尔指数都是最小的,说明青海省居民之间的收入差距在被研究的省份中最小.但是青海省的基尼系数也达到了0.4 6 27,大于0.4,表示收入差距过大.泰尔指数的后验中位数和基尼系数最大的省份都是甘肃省,P i e t r a指数最大的省份是内蒙古自治区,说明甘肃省和内蒙古自治区的收入不平等程度相对其他省份较高.除了青海省,其它省份的基尼系数都大于0.5,说明居民之间的收入差距悬殊,需要采取适当的措施降低收入不平等程度,比如增加就业机会,鼓励下岗职工再就业等,这有助于提高低收入人群的收入水平,减小贫富差距.3 结 论本文用贝叶斯方法估计了陕西省、宁夏回族自治区、青海省、甘肃省和内蒙古自治区的广义G a mm a收入分布的参数,然后用K-S检验方法说明了估计的广义G a mm a收入分布比常用的收入分布的拟合效果好.通过观察各省的广义G a mm a收入分布,可以发现青海省的收入的集中程度最小,高收入人群占比相对其它被研究的省份高,居民整体收入情况较好.根据计算出的基尼系数、P i e t r a指数和泰尔指数,可以得到甘肃省和内蒙古自治区的收入不平等程度较大.被研究的5个省份的基尼系数都超过了0.4,居民收入差距过大,可以通过调整收入分配制度,增加社会福利来降低收入不平等程度.参考文献:1陈娟.基于收入分布的基尼系数非参数估算J.数理统计与管理,2 0 1 3,3 2(4):6 2 7-6 3 3.2E R T E F A I EA,P A R I S I ANA.B a y e s i a ne s t i m a t i o nf o r t h eP a r e t o i n c o m ed i s t r i b u t i o nu n d e r a s y mm e t r i cL I N E Xl o s s f u n c-t i o nJ.J o u r n a l o f t h e I r a n i a nS t a t i s t i c a lS o c i e t y,2 0 0 5,4(2):1 1 3-1 3 3.3B AN E R J E EA,YAKOV E NKOV M,MA T T E OTD.As t u d yo f t h ep e r s o n a l i n c o m ed i s t r i b u t i o n i nA u s t r a l i aJ.P h y s i c aA:S t a t i s t i c a lM e c h a n i c sa n d i t sA p p l i c a t i o n s,2 0 0 6,3 7 0(1):5 4-5 9.4成邦文.基于对数正态分布的洛伦兹曲线与基尼系数J.数量经济技术经济研究,2 0 0 5,2 2(2):1 2 7-1 3 5.15第4期 李蕾,等:基于贝叶斯估计的广义G a mm a收入分布模型 5J O S E P HB,CHAK R A B A R T IBK.V a r i a t i o no fG i n i a n dK o l k a t aI n d i c e sw i t hs a v i n gp r o p e n s i t yi nt h ek i n e t i ce x c h a n g em o d e l o fw e a l t hd i s t r i b u t i o n:a na n a l y t i c a l s t u d yJ.P h y s i c aA:S t a t i s t i c a lM e c h a n i c sa n d i t sA p p l i c a t i o n s,2 0 2 2,5 9 4(1 5):1 2 7 0 5 1.6章上峰,许冰,胡祖光.中国城乡收入分布动态演进及经验检验J.统计研究,2 0 0 9,2 6(1 2):3 2-4 0.7K L E I B E RC,KO T ZS.S t a t i s t i c a ls i z ed i s t r i b u t i o n si ne c o n o m i c sa n da c t u a r i a ls c i e n c e sM.H o b o k e n,N e wJ e r s e y:J o h nW i l e y&S o n s I n c,2 0 0 3:1 4 7-1 5 9.8KHO D A B I N M,AHMA D A B A D IA.S o m ep r o p e r t i e so f g e n e r a l i z e dg a mm ad i s t r i b u t i o nJ.M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s,2 0 0 9,4(1):9-2 8.9B OUR GU I G NON M,L I MA MCS,L E OJ,e t a l.An e wg e n e r a l i z e dg a mm ad i s t r i b u t i o nw i t ha p p l i c a t i o n sJ.Am e r i c a nJ o u r n a l o fM a t h e m a t i c a l a n dM a n a g e m e n tS c i e n c e s,2 0 1 5,3 4(4):3 0 9-3 4 2.1 0R AMO SPL,A CHC A RJA,MOA L AFA,e t a l.B a y e s i a na n a l y s i so f t h eg e n e r a l i z e dg a mm ad i s t r i b u t i o nu s i n gn o n-i n-f o r m a t i v ep r i o r sJ.S t a t i s t i c s,2 0 1 7,5 1(4):8 2 4-8 4 3.1 1R AMO SPL,L OU Z A D AF.B a y e s i a nr e f e r e n c ea n a l y s i sf o rt h eg e n e r a l i z e dg a mm ad i s t r i b u t i o nJ.I E E EC o mm u n i c a-t i o n sL e t t e r s,2 0 1 8,2 2(9):1 9 5 0-1 9 5 3.1 2Z OU Y H,L IHC.MCMCe s t i m a t i o no f f i n i t eg e n e r a l i z e dg a mm am i x t u r em o d e lC/2 0 1 2I E E EI n t e r n a t i o n a lG e o s c i-e n c ea n dR e m o t eS e n s i n gS y m p o s i u m,2 0 1 2:5 9 3 5-5 9 3 8.1 3A CHC A RJA,R AMO SPL,MA R T I NEZ.S o m e c o m p u t a t i o n a l a s p e c t s t o f i n da c c u r a t ee s t i m a t e s f o r t h ep a r a m e t e r so ft h eg e n e r a l i z e dg a mm ad i s t r i b u t i o nJ.P e s q u iO p e r a c i o n a l,2 0 1 7(3 7):3 6 5-3 8 5.1 4S T A C YE W,M I HR AM G A.P a r a m e t e re s t i m a t i o nf o rag e n e r a l i z e dg a mm ad i s t r i b u t i o n sJ.T e c h n o m e t r i c s,1 9 6 5,7(3):3 4 9-3 5 8.1 5MC D ONA L DJB,R AN S OM M.T h eg e n e r a l i z e db e t ad i s t r i b u t i o na s am o d e l f o r t h ed i s t r i b u t i o no f i n c o m e:e s t i m a t i o no fr e l a t e dm e a s u r e so fi n e q u a l i t yM/C h o t i k a p a n i c h,D.(e d s)M o d e l i n gi n c o m ed i s t r i b u t i o n sa n dL o r e n zc u r v e s,N EWYOR K,NY:S P R I N G E R,2 0 0 8:1 4 7-1 6 6.1 6尹雪华,李翔,尹传存.基尼系数与洛伦兹曲线的等价分类J.统计与决策,2 0 2 1,3 7(2 4):2 8-3 2.Ag e n e r a l i z e dG a mm a i n c o m ed i s t r i b u t i o nm o d e l b a s e do nB a y e s i a ne s t i m a t i o nL IL e i,Y ANGJ u a n(S c h o o l o fS c i e n c e s,B e i j i n gU n i v e r s i t yo fP o s t sa n dT e l e c o mm u n i c a t i o n s,1 0 0 8 7 6,B e i j i n g,P R C)A b s t r a c t:T h ep a p e ru s e st h eg e n e r a l i z e dG a mm ad i s t r i b u t i o nt of i tt h ei n c o m ed i s t r i b u t i o no fe a c hp r o v i n c e i n t h eC h i n e s en o r t h w e s t e r nr e g i o n(e x c e p tX i n j i a n gp r o v i n c e).T h ep a r a m e t e r so f d i s t r i b u t i o na r ee s t i m a t e du s i n gaB a y e s i a n m e t h o da n dt h ep o s t e r i o rd i s t r i b u t i o n so fp a r a m e t e r sa r eo b t a i n e db yG i b b ss a m p l i n g.T h ee s t i m a t e dg e n e r a l i z e dG a mm ad i s t r i b u t i o n sh a v ea l l p a s s e dt h eK-St e s t.B a s e do nt h e f i t t e di n c o m ed i s t r i b u t i o n s,t h i sp a p e rm e a s u r e s t h e i n c o m e i n e q u a l i t y i n d e x e s.T h e r e s u l t s s h o wt h a t i n c o m e i n e-q u a l i t y i nG a n s ua n dI n n e rM o n g o l i a i sm o r es e r i o u s t h a nt h a t i no t h e rp r o v i n c e s.K e yw o r d s:g e n e r a l i z e dG a mm ad i s t r i b u t i o n;B a y e s i a na n a l y s i s;K-St e s t;i n c o m e i n e q u a l i t y i n d e x25 曲阜师范大学学报(自然科学版)2 0 2 3年