概率论与数理统计试题库及答案.pdf

概率论与数理统计试题(1)-、判断题(本题共15分，每小题3分。正确打“J”，错误打“X”)对任意事件A和B,必有P(AB)=P(A)P(B)(X)设A、B是Q中的随机事件，则(AU B)-B=A(X)若X服从参数为人的普哇松分布，则E X=DX(V)(4)假设检验基本思想的依据是小概率事件原理(V)样本方差S 2二工不(X-云)2是母体方差DX的无偏估计(？)n n i i=l二、(20分)设A、B、C是。中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来(1)仅A发生，B、C都不发生；ABC(2)A民C中至少有两个发生；AB U AC U BC(3)A,民。中不多于两个发生；AU BU C(4)中恰有两个发生；ABC U ABC U ABC(5)45。中至多有一个发生。AB U AC U BC三、(15分)把长为。的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.#0.25四、(10分)已知离散型随机变量X的分布列为X-2-1 0 1 3p 1 1 1 1 115 6 5 15 30求y=X2的分布列.五、(10分)设随机变量X具有密度函数=,co xo o,求X的数学期望和方差.#E(X)=0,D(X)=2六、(15分)某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%,以X表示在 随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求尸(14X V 30).x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3(x)0.50 0 0.69 1 0.841 0.9 33 0.9 77 0.9 9 4 0.9 9 9X b(10 0,0.2),E(X)=20,D(X)=16,XN(20,16),#P(14 X 30)=(2.5)(1.5)七、(15分)设X,X,L,X是来自几何分布 1 2 nP(X=k)=p(l p)k-i,k=1,2,L,0 pl,的样本，试求未知参数的极大似然估计.1概率论与数理统计试题(1)评分标准一(1)X；(2)X；(3)V；(4)V；(5)Xo二解(1)ABC(2)45。4。6。或45。461。4月。方5。；(3)五 U RU C 或 ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC；(4)ABC U ABC U ABC；(5)&B U区C U BC或&BC U ABC U&BC U五BC每小题4分；三 解 设4=三段可构成三角形，又三段的长分别为 y,则0 x a,0 ya,0冗+y ，不等式构成平面域S.-5分,八 八 a aA发生0 y ,x+y)=.4.设随机变量X,y相互独立，且均服从参数为 x的指数分布，P(Xl)=e-2,则 九二,Pmin(X,r)l=.5.设总体X的概率密度为/(%)=(0+1)x0,0,0 x 1,其它A，X2，a.x是来自X的样本,则未知参数。的极大似然估计量为-.解：1.P(ABAB)=Q,3即 0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(A5)+P(B)P(AB)=0.5-2P(A5)所以 P(AB)=0.1P(A YB)=P(AB)=1 P(AB)=0.9.,九22.P(X 1)=P(X=0)+P(X=1)=小+屹-入,P(X=2)=e-x由 P(X V1)=4P(X=2)知 e-九+九e-九=2九2g一九即 2九2 九一1=。解得九=1,故P(X=3)=-e-i.63.设y的分布函数为尸(y),X的分布函数为尸(X),密度为了(龙)则 Y x x小小y y)=P(X2 y)毋4 X S K 3-4(-因为X。(0,2),所以尸(-77)=0,即b(y)=F(/)X V Y X*9设)=加4s产，。y 4,1.故4.P(X 1)=1-P(X l)=e-=e-2f 故九二2Pmin(X,7)1=1-P(X 1)P(Y 1)=e_45.似然函数为 L(x,L,x;0)=H(0+l)%e=(0+l(x L，尤)e1 n i 1 ni=l InL=nl n(0+1)+0 2 I nxi i=ldlnL n V+In x 0dO 0+1 ii=l解似然方程得。的极大似然估计为$=-i-1.I nxn iZ=1二、单项选择题(每小题3分，共15分)1.设A5C为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是(A)若P(C)=1,则AC与也独立.(B)若P(C)=1,则AU C与5也独立.(C)若P(C)=。，则A U C与5也独立.(D)若CuB,则A与。也独立.)(2.设随机变量XN(O,1),X的分布函数为(),则P(IXI2)的值为(A)21-(2).(C)2(2).(B)20(2)-1.(D)1-20(2).)3.设随机变量x和y不相关，则下列结论中正确的是(A)x与y独立.(C)D(X-Y)=DX-DY,(B)D(X-Y)=DX+DY.(D)D(XY)=DXDY.)4.设离散型随机变量x和丫的联合概率分布为(x,y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1 1 16 9 18若X,y独立，则a,p的值为P13a p5.2 役1(A)a=,P1 o 1(C)a=二，P 6 6设总体X的数学期望为-X(B)a=(D)a=1,P 二 9 9,18 18,X,L,X为来自X的样本，则下列结论中1 2)正确的是(A)(C)A是口的无偏估计量.A是目的相合(一致)估计量.(B)%是从的极大似然估计量.(D)X不是pi的估计量.1)解.1.因为概率为1的事件和概率为。的事件与任何事件独立，所以(A),(B),(C)都是正 确的，只能选(D).事实上由图可见A与C不独立.2.X N(O,1)所以P(IX I2)=1 P(IX K2)=l-P(2X 2)=1-0(2)+0(-2)=1 2 4(2)1=2l-O(2)应选(A).3.由不相关的等价条件知应选(B).4.若x,y独立则有16133T18131 o-+a+p3a=P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2)1 I?1=(3+a+p)(g+a)=(g+a)1 21219P1 La 1+P2 9 18故应选（A）.5.E X=日，所以X是目的无偏估计，应选（A）.1 1三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.0 5,一个次品被误认为是合格品的概率为0.0 2,求（1）一个产品经检查后被认为是 合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：设=任取一产品，经检验认为是合格品B=任取一产品确是合格品则（1）P（A）=P（B）P（A I B）+P（B）P（A I B）=0.9 x 0.9 5+0.1x 0.0 2=0.857.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事 件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分 布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为左二 0,123.27125125 1258125X的分布函数为尸(%)=0,27 125?81 1259 117 125?x0,0%1,1 x 2,2 x 3.EX=3x-=-,五、（10分）设二维随机变量（X,y）在区域O=（x,y）l九20,yQ,xyl上服从均 匀分布.求（1）（x,y）关于x的边缘概率密度；（2）z=x+y的分布函数与概率密度.(i)(x,y)的概率密度为f 2,(x,y)eD 51，其它.2 2x,f(x)=J+/(x,y)dy=1X-oo 0,(2)利用公式/(z)=j+/(羽 Z-X)dxz0 x l 其它2其中/(羽zx)=jo0 xl,0 z-xl-x j2,0%l,xzl.其它 一jo,其它.当 21时/（2）=。z0 V zl时/=21zd%=2#=2z z o 0故Z的概率密度为c,、f2z,0 zl,z 10,其它.Z的分布函数为 z0 p,f(z)=J f(y)dy=z2ydy,0 z 1=1 5z0,0 z1.或利用分布函数法F(z)=P(Z V z)=P(X+Y V z)=z0,U 2 dxdy,z 0,0 z1.0,z0,0 z1./(z)=F(z)=2z,0,0 zl,其它.zz六、（io分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标x和纵坐标丫相 互独立，且均服从N（o,22）分布.求（1）命中环形区域。=（九y）II X2+w 2的概率；（2）命中点到目标中心距离2=JX2+/2的数学期望.(1)PX,Y)eD=ii f(x,y)dxdyD=JJ-e 8 dxdy=J 2 J e s rdrdQ2兀 4 8兀 iD4 2_理 厂2 _巫 _1 _1e 8 d()=e 8 c 8 e 2；1 8(2)EZ=E(X2+Y2)=+4+Jx2+y 2丁dxdy=2兀J+8rerdrdB=-J+QQerdr8兀 o o 4 o七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位：cm)XN(ll,O2),今抽取容量为16的 样本，测得样本均值无二 1。，样本方差S2=0.16.(1)求日的置信度为0.9 5的置信 区间；(2)检验假设“：CT2 0.1(显著性水平为0.0 5).o(附注)t(16)=1.746,t(15)=1.753,t(15)=2.132,0.0 5 0.0 5 0.0 2 5殍(16)=26.29 6,殍(15)=24.9 9 6,殍(15)=27.488.0.0 5 0.0 5 0.0 2 5解：(1)日的置信度为1-。下的置信区间为(XT(n-1)=,X+t(n-1)=)a/2 而 a/2 诉X=10,=0.4,16,a=0.0 5,t(15)=2.1320.0 2 5所以N的置信度为0.9 5的置信区间为(9.7868,10.2132)(2)H:。20.1 的拒绝域为 为2%2(-1).0 a1 5V 2%2=15x1.6=24,Z2(15)=24.9 9 60.1。5因为 2=24 24.9 9 6=%2(15),所以接受H.0.0 5 0概率论与数理统计期末试题(3)与解答一、填空题(每小题3分，共15分)(1)设事件A与5相互独立，事件6与。互不相容，事件A与。互不相容，且P(A)=P(5)=0.5,尸(C)=0.2,则事件A、B、C中仅C发生或仅。不发生的概率为.(2)甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为_.(3)设随机变量X的概率密度为f(x)=0 x q)=0.0 1,则 1 2 17a=.(注:/(17)=33.4,/2(17)=35.7,心(16)=32.0,殍(16)=34.2)0.0 1_ _ 0.0 0 5 _ 0:01 0.0 0 5解：(1)P(五Rc+ABC)=P(ARC)+P(ABC)因为 A与。不相容，5与。不相容，所以故a C=C同理 ABC=AB.PABC+ABC=P(C)+P(AB)=0.2+0.5 x 0.5=0.45.(2)设4=四个球是同一颜色的B=四个球都是白球，1则 A=B+B1 2.所求概率为P(B 冬2 P(MP(B)=2-S=,P(B)=1 C2 c2 10 0 2，5 5所以 P(B IA)=1 z 2B 二四个球都是黑球 2P(B)一 P(B)+P(B)1 2C2 C2 3 s-a-=-。2。2 1005 5(3)丫 b(4,p),其中 p=P(X4 0.5)EY-1-4X4-=J 0 5I xdx=兀2甘=J-,o o 4,13 34x x=,4 4 42=+(/=1+1=4 4E X=0.6+2x0.4=1.4,7=0.5故 co v(X,7)=EXY-EXEY=0.8 0.7=0.1.(5)P(52 a)=4a=0.0 1-4即%2(16)=4a,亦即 4a 32 =8.0.0 1二、单项选择题(每小题3分，共15分)(1)设A、B、。为三个事件，P(AB)0 P(CiAB)=l,则有(A)P(C)P(A)+(B)P(C)P(A)+P(B)-1.(D)P(C)P(AU B).()(2)设随机变量X的概率密度为|3一)2/(x)=-=e 4,-co x P(AB)P(C)P(AB)=P(A)+P(B)-P(A U B)P(A)+P(B)-1应选C.(2)即1 1/(%)=i=e 4=-=-=e2 阮X N(-2,y/21 2)1 一2 l故当 a=-j=,b=x/2 时 丫=a X+b N(0,1)应选B.(3)p(x=y)=p(x=0,y=o)+p(x=1,y=1)=0.4 x 0.4+0.6x 0.6=0.52应选C.(4)EE(EX)=EX应选C.(5)因为方差已知，所以日的置信区间为(X u,X+u=)a/2/a/2 而应选D.三、(8分)装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的 箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。解：设4=从箱中任取2件都是一等品B=丢失，等号 i=U 2,3.i则 P(A)=P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)+P(B)P(A I B)1 1 2 2 3 31 C2 3c2 1。2 2 A+5+-5=:2 C2 10 C2 5 C2 99 9 9所求概率为P（R M）=P(B)P(AIB)3-i-i-二P(A)8.四、（10分）设随机变量X的概率密度为/(%)=ax+1,0,0 x2,其它.求(1)常数。；(2)X的分布函数方(无)；(3)P(1X 3).解：(1)1=J+/心=J 2(QX+I)dx=(3x2+x)2=2+2-00 0 2 o(2)X的分布函数为 0,F(x)=J*f(u)du=v J x(l-)du,-00 0 21,0,x 0,=x-,0 x 2.（3）P（l x3）=f 3 f（x）dx=f i五、（12分）设（x,y）的概率密度为x 0,0 x 2.2(_ 1IO 一 f(x,y)=6一%,0,0 y x,其它.（2）p（x+ri）；求（I）边缘概率密度x+y0,xz2 x,f(x,z-x)=0,其它.(z)=0(z)=J ze-xdx=e z20,z 0.2 -z六、（10 分）（1）y。且x与y独立，求石ixy i；设X N(0,l),yN（O,1）且x与y独立，求石IXV I.（2）设 X。0,1,（2）因x,y相互独立，所以z=xyn（o,2）三二 x-丫 n（o 1）EX-Y,所以引xyi=奈.七、（10分）设总体的概率密度为/(x；e)=0 xO-i,0 x 0)试用来自总体的样本、心,广求未知参数。的矩估计和极大似然估计.解：先求矩估计口=EX=i iQxdx=0e 0 T10=故0的矩估计为演=i日 1i-x再求极大似然估计L(x,L,x;0)=Fl Oxe-i=L x)o-i 1 n i 1 ni=llnL=nlnB+(0-1)In a:i-ldlnL n V=-+Zjl n x 0dO 0 z Z=1所以。的极大似然估计为($_ 1-In J n i概率论与数理统计期末试题(4)与解答一、填空题(每小题3分，共15分)(1)设尸(A)=0.5,P(B)=0.6,Pm=0.8,则A,B至少发生一个的概率为(2)设X服从泊松分布，若EX2=6,则尸(X1)=.i(x+l),0 x 1)=1 P(X V l)=l P(X=0)P(X=1)=1 e-2 2e-2=1 3e-2(3)y B(8,p),其中夕=P(X 1)=J 2!(犬+1)公=?i 4 oDY=8x 2x 3=8 8 8.(4)设第，件元件的寿命为X.,则X.&与)，i=l,2,3,4,5.系统的寿命为丫，所 i i 100求概率为p(y 100)=p(x 100,x ioo,l,x 10 0)1 2 5=P(X 10 0)5=11+e-15=e-5.1(5)日的置信度1-a下的置信区间为q _ q(X-t(n-1)X-t(n-1)=)a/2 而 a/2 X=0.5,S2=-Lt X2-1 6X2 =2,S=1.4142,n=1 615 ii=lt(15)=2.1315.0.0 2 5所以N的置信区间为(0 2535,1.2535).二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（）中，每小题3分，共15分)(1)A 5,C是任意事件，在下列各式中，不成立的是(A)(A-B)U B=AU B.(B)(A U B)-A=B.(C)(AU B)-AB=ABU AB,(D)(AU B)t=(A C)U(B C).()2）设X,X 是随机变量，其分布函数分别为方（%）,F（%）,为使1 2 1 2尸（无）=。尸（%）+尸（X）是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值 1 2中应取 3 7 2(A)=.1 7 3(C)=一不 b.2 22 2(B)a=二,b=二.3 31 7 3(D).()2 2(3)设随机变量X的分布函数为尸(%)，则y=3-5X的分布函数为尸(y)=X Y(A)F(5y 3).(B)5F(y)-3.X X(C)F(Z12).(D)l 尸(W).()x 5 x 5X.-1 0 1(4)设随机变量x,X的概率分布为 一1，=1,2.1 2 P _ _ _4 2 4且满足P(X X=0)=1,则x,x的相关系数为P=1 2 1 2 v v1 1(A)0.(B)(C)(D)-1.()4 2(5)设随机变量X。0,6,y6(12,且X,y相互独立，根据切比雪夫不等式有P(X-3y X+3)(A)0.75.(D)()1 2 1 2解：(1)(A)：成立，(B)：(A U B)-A=B-AB(2)(3)厂(+QO)=1=+/7.F(y)=P(Yy)=P(3-5X(3-y)/5)Y.=i-p=2x)=i-g(F(X,x)的分布为应选应选应选(4)EX=0,i于是PEX=0,2=0.EXiX=0,所以co v(X,X)=0,2 1 2X，2(5)P(x-3 y X+3)=P(l y-X l 3)(B)(C)(D)应选（A）9 21E(Y-X)=EY-EX=0。(丫一 X)=Qy+QX=3+_=一 4 4由切比雪夫不等式21-Ap(ir-x ii-A=2_9 12应选（D）三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为大的泊松分布，而进入 超市的每一个人购买A种商品的概率为P,若顾客购买商品是相互独立的，求一天中恰有上个顾客购买A种商品的概率。解:设6=一天中恰有左个顾客购买A种商品k=0,1,L则 P(B)一天中有个顾客进入超市 n=k,k+l,LXp(C B)=Ep(C)P(5 I C)n nn=k n=k 竺_九。左pkQ p)n-k n nn=k(P 九/-e一卜.k(Q!n=K(1Cn左二0,1,L.4四、(10分)设考生的外语成绩(百分制)X服从正态分布，平均成绩(即参 数目之值)为72分，96以上的人占考生总数的2.3%,今任取100个考生的成绩，以丫表示成绩在60分至84分之间的人数，求(1)丫的分布列.(2)/y和。y.(0(2)=0.9 77,=0.8413)84-72解：(1)Y-5(100,p),其中=P(60 9 6)=1-0(-)=1-(一)o o24 24 12得 0()=0.9 77,即一=2,故一=1所以.=2(1)1=0.6826.故 Y 的分布列为尸(丫=k)=Ck(0.6826)k(0.3174)wo-100(2)丫=10 0 x0.6826=68.26五、(io分)设(x,y)在由直线犬=1,上服从均匀分布，(1)求边缘密度4(%)和4(丁)，(2Wp(X+K2).K解:V曲型刎s=卜小)办=00二V,DY=68.26x0.3174=21.6657.,x=e2,）=。及曲线y=1所围成的区域 X并说明x与y是否独立.反=l n x 1=2（x,y）的概率密度为一一其它.1 111 xdy,1 x e2,o 20,其它.，1 V x V e2,0,其它.ff.21,J ax,1 y e-2,i 2(y)=J+-fy)dx=j y dX,e-2 y 1,Y-00i 2、0，其它I),1 y e-21 _ 1e-y 12y 2、，其它(2)因/(九 y)。/(%)/(y),所以 x,y 不独立.X Y(3)P(X+Y 22)=1尸(X+Y2)=1 H 于(x,y)dxdy=i-LLi.L2 2 43-=0.75.4六、（8分）二维随机变量（x,y）在以（-1,0）,（0,1）,（1,0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求2=乂+丫的概率密度。当 zl时/(z)=0Z当 一111 时/(z)=J 2 dy=z+1FZ0所以Z的密度为fz=z+1 I20,其它.解2：分布函数法，设Z的分布函数为5，则F(z)=P(Zz)=P(X+Yz)=U/(x,y)dxdy z%+yWz故Z的密度为0,n dxdy,Z-11 Z 1=V0,(Z+1)24z V-1,-1Z11z 1.z+1f(z)二/(z)=2zz0,l zl 0,a 0,/(%)=23阮 0,x 0,P(B)0,证明A、5互不相容与A、B相互独立不能同时 成立.四、(15分)某地抽样结果表明，考生的外语成绩X(百分制)近似服从正态分布，平均 成绩(即参数日之值)为72分，96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成 绩在60分至84分之间的概率。分布表如下x 0 1 1.5 2 2.5 3(x)0.5 0.841 0.9 33 0.9 77 0.9 9 4 0.9 9 9五、(15分)设(x,y)的概率密度为e-(x+y)7 xo,y o,f(x,y)=1I 0,其他问x,y是否独立？六、(20分)设随机变量服从几何分布，其分布列为p(x=k)=(1 p)k-i p,0 pl,k=,2,L求E X与。X七、(15分)设总体X服从指数分布/(羽。)=0,0,其他.试利用样本X/X咒,求参数。的极大似然估计.八概率论与数理统计试题(5)评分标准一(1)X；(2)V；(3)X；(4)V；(5)Xo二 解(1)设4=他们的生日都不相同则(2)设5=至少有两个人的生日在同一个月则八/八、F2+。2。2+。3P2+。41r(B)一4_修T-4_n-4-3-2=;124 96或_ P4 41P(5)=l-P(5)=l-=-10 分124 96三证 若A、6互不相容，则AB=。，于是。(AB)=0 wP(A)P(B)0所以 A、5不相互独立.-5分若A、5相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)0,于是即A、5不是互不相容的.-5分四解9 6-72 240.0 23=尸(X 9 6)=1-0(-)=1-(一)o o24 0()=0.9 77,o24 0 12 =2,o o-3分7分五所求概率为 C八不力4 72、不/60 72、不J2、不,12、P(60 X 84)=0(-)-0(-)=0()-()-12 分o o o o二2(1)-1=2X0,841-1=0.682-15 分解边际密度为f+8/(%y)d y=X-oo J0,+8-dy,x 0;0,%0.o0,y 0.因为/(九,y)=/Mf(y),所以x,y独立.X Y-10分15分六 解EX=Ek(l p)k-ip=pkqk-i=p(xk)，=Pk=l其中 q=l-p由函数的幕级数展开有y i乙 Xk=-,1-xk=0k-Xk=x=q(y 乙Xk1=1 Jx=q一8分所以因为所以EX=p1=P-(一)2x=qEX 2=Ek2 pqik=lXk)fx=q=Px=qX(一)2x=q2-P p212分16分DX=EX2-(EX)2=L-=-Lp2 p2 p220分解 L(X 1,X;9)=rT e-(x-e)=e f=11 ni-1+n0 x 0,i=1,2,L,n.i=ldlnL 八de由极大似然估计的定义，。的极大似然估计为f=*)-15分占-11P七I nL=渣 一XX8分概率论与数理统计试题（6）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“V”，错误打“X”）（1）设A、B是。中的随机事件，则A B U A（）对任意事件A与B,则有P（AU B）=P（A）+P（B）（）若X服从二项分布b（k;n,p）,则E X=npq （）XN（N,。2）,X1,X2,X。是 X 的样本，则X n（P,O 2）（）X为随机变量，则DX=Co v（X,X）-（）二、（10分）一袋中装有机枚正品硬币，枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋 中任取一枚，已知将它投掷厂次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？.三、（15分）在平面上画出等距离（0）的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长/（/co nco试证是。的相合（一致）估计量。八、（10分）某种零件的尺寸标准差为。=5.2,对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据（毫米）：I=26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是 26毫米（a=0.0 5）.正态分布表如下x 0 1.56 1.9 6 2.33 3.1(x)0.5 0.9 41 0.9 75 0.9 9 0.9 9 9概率论与数理统计试题（6）评分标准(1)V；(2)X；(3)X；(4)X；(5)V o二解 设A=任取一枚硬币掷一次得一个国徽，任取一枚硬币是正品，则A=BA+BA,-5 分所求概率为P(B I A)=PP(A I B)P(B)P(A i 5)+P(5)P(A i B)KTm+ny2 J _ mm pV n m+n-2 r m+n2)m+n-10分三解 设4=针与某平行线相交，针落在平面上的情况不外乎图中的几种,设X为针的中点到最近的一条平行线的距离。中为针与平行线的夹角，则0 x|,。中兀，不等式确定了平面上的一个区域S.-6分a _2 LS x=sin(p.0 71(PA发生=xV q sin(p不等式确定S的子域A-10分1 t 2r故 P(A)=-J 兀-sincpdcp 二o 2 an71 u 215分2 2 3四解X“分布律为左=。，1，23即X0 12 3p27 54 36 8-5 分125 125 125 125x的分布函数为0,x 0,27,0 x l,125尸=81 1 01V%2,-有所不同-10分H7 c。-,2V x 3.“54 72 24 150 6EX-[phone]分五.解(x,y)的密度为,X2+V2 厂2,/(x,y)=兀 2-3 分0,其他.(1)EX=JJ x-dxdy=27If r pco sO-prfprfO 兀2 0 o 兀厂2x2+y2r2=sin0|271 r p2 dp=00/2兀 0EXY=JJ xy-dxdy=ij 27Isin20(i0 j rp3dp xrz 2兀 ox2+y2r2=1-co s 201271 f r p3dp=0 4兀/2 0 o故乂,丫的相关系数=0.-9分(2)关于X的边缘密度为 4(x)=J+0 0f(x,y)dy=1 I xl r,关于y的边缘密度的2.2 一 y271r20,yr.2)因为所以x,y不独立.-15分六 证：由契贝晓夫不等式，对任意的。有、D(-Xx)-1d(Xx)pjl Xx-IXeX e|0IXx-IXeX s X)=0l imP。有-0 k|s)s)l im I=0 即 依概率收敛于。，故是。的相合估计。-io分八 解 问题是在。2已知的条件下检验假设“：h=26 o 0查正态分布表，1-5=0.9 75,H 口1.9 6-5分lul=1.00）和例。）=0）匕 x0，铀S=o）0,r 0 0.y）=匕君（24）=36.415宕“（24）=42.9 8 点黑24）=40.6强以/（24）=46928）十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在10 0 ml的水中 溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：温度Xj0410152129365168重量M66.771.076.380.685.79 2.99 9.4113.6125.1从经验和理论知X与项之间有关系式M=*+阴+与J=LJ?且各无 独立同分布于L 试用最小二乘法估计a,b.概率论与数理统计模拟试题A解答一、单项选择题1.(B);2.(B);3.(D)二、填空题189 9 x8x7x6l.P(B)P(AB);2.0.3174;3.256；4.10，=0.30 24三、解：因了)，故可取 历不其中uN(0,1),/值)，且U与y相互独立。从而，/与y也相互独立。又由于/一代门)T=M=Sfi于是 y忱 y m四、的分布律如下表：12345Pk52_255 5 5 5W 了4/10 x l l x 2 2x33 x 44 0,0其他L 改J。ve R=Q-e XI-e)(1)P(A)=-3尸 r-g/_初+)一/一%尸(3)=j dxf e 3 d/=(1-e 3)(2)。o?(3)尸(D=尸(力=1-P(A)=丁吟+/即-/刎 1,破生七、证一：设事件A在一次试验中发生的概率为p，又设随机变量 1，/不发则=0 =1-p,=1)=P咐明一产(尸十+;ma x Z)0=故 4D=pg 1九、要检验的假设为%.=7,5 兄：=7.52 92 焉 25x9.52宽=1=7 5?=4在二二 005 时，x2=40.11 36.415=x0(24)=x 2-1)故在 a二 0 05时，拒绝认为新产品的强力的标准差较原来的有显著增大。当。二0.01 时，=40.11 才=改为区：于也可1 9n=_ 2L 为=2i 十、饴7二 8二9。14，92泌=24628.6二乂 一嗝，cm 人-a b=n za-R Q.87,a=y-bx 刊 67.312 一戒gX a-=10 W42：=76218.17 j.i模拟试题C(A.B.D)一.填空题(每小题3分，共15分)户口)二尸(B)=P(C)=-fP(AB)=P(BC)=0,产(HC)二 L1.设A,&C是随机事件，4 S则A,B,C三个事件恰好出现一个的概率为_o1 Q 以0方/)2.设X,y是两个相互独立同服从正态分布 J2 的随机变量,则E(x-Y)=o3.是总体X服从正态分布N(，2)，而，丫X、L储5是来自总体X的简单随机样本,Y=X；十十舄则随机变量 2(工：】+工3)服从,参数为。3x2,0 x 1=苴加4.设随机变量X的密度函数 乩丹TE,丫表示对X的5次独立观察终事.r，五公-,件I 2出现的次数，则。y=oJ-川5.设总体X的密度函数为 是来自X的简单随机样 本，则X的最大似然估计量存=O二.选择题(每小题3分，共15分)、儿0尸(为)1,00(月)二凡凡/75.设二维随机变量（x,r）服从二维正态分布，则随机变量。二+/与二工一厂不相关的充分必要条件为（）o（A）S（X）=E（Y）（5）或 X）或）f=即？门一欧y）（C）E（X2）=E（Y2）（*（2）+矶与/=/y+wy）2三、（本题满分10分）假设有两箱同种零件，第一箱内装50件，其中10件一等品，第二箱 内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零 件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。四、（本题满分10分）假设在单位时间内分子运动速度X的分布密度为Y求该单位时间内分子运动的动能 2 的分布密度，平均动能和方差。五、（本题满分10分）设随机变量X与Y独立，同服从0,1上的均匀分布。试求：Z=|X-Y I的分布函数与密度函数；（2）P|Z-E Z|2 DZ）.六、（本题满分10分）某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80件、10件、10 了 1,若抽到工等品i.j=13,3）件，现从中随机抽取，记 1其它，试求：（1）随机变量 又与应的联合分布；（2）随机变量 药与应的相关系数。1 _凶-Q ,一8五 4400,，天a，X七、（本题满分15分）设总体X的密度函数为是来自X的简单随机样本，试求：醺最大似然估计（2）旗否是的有效估计，为什么？（3）旄否是瞅相和估计，为什么？八、（本题满分15分）某化工厂为了提高某种化学药品的得率，提出了两种工艺方案，为了研究哪一种方案好，分别对两种工艺各进行了 10次试验，计算得工甲二 65.96君；=3.35 L 惠=69.433：=2.246,假设得率均服从正态分布，问方案乙是否能比方案甲显著提高得率（口二。01）?附：$0式9,9）二6乂综01（9,9）=5.35,4加式18）=2,878,（18）=2.5524自加式19）=2.860 9,/0/01（19）=2.539 5概率论与数理统计模拟试题C解答一、）（2）胆 F C10,5）C4）DY=皿区2 飞冗 64 国金二、D（2）A H（4）3 B三、设其=被挑出的是第湘3=L2,4=渐次取出的零件是一等品，片1,2,那么由题设知1 1 3产阳）=?（匕）=/（A I%）=丁?（41%）=二由全概率公式得1113 2尸（4）=尸阳）尸（4必）+巴生*（41/）=/5+丁号=5c 一尸6M）尸因（工Ml/）十玖玛（工Ml凡）户I*=-=1x（乂2+上乂）x-=0.485572 50 49 30 29 2四、Jy Cy)=Jj?(-)()=m m6匹a-隹;庐)-意一(1一曲,o g wm 丫吻2丫 液 m m y m 2EY=/.6忒1 一/dx=3/a3-(1-DY=EY2-(EY)2=Qf 6#.(1-z)Jx-()4 J。203-,1 1 9也“3掰9 疝 37松-x-=-=-2 6 7 400 R4 400 28000,z 0五、外(璜二1 2工一 M,0 x 1/=2(1-A),0 A 1h其它(2)EZ=-9DZ=3 18(/一i 3+4a/2PZ-EZ 2V Zj=J。3 2(-x)dx=-六、(I)设事件4=抽到售品 G=123),由题意知4 M，4两两互不 相容，尸=08产=产=0.1,则(务,。联合分布律为 P(Xx=0,2=0)=P(4)=0.1 pxx=o,2=i)=p(4)=0.1产(Xi=1,&=0)二产(4)=0.8KX=1,莅=1)二尸(0二0%=0.&践=0DXx=0.8x0,2=0.16,DX2=0,1x0,9=0,0 9=0 x0 x0.l+0 xl x0.1+l x Ox0.8+l xl x0=0(7平苞,占)二国;应占)-%=-0 8x0,1=-0.0 8_ _-0.08 _ _2p 71 dx2_70 16x0 09-3七、似然函数为1 In(8)=win 2 Ln 8-|e i-i令粤g二?十A士自二o,得於最大似然估计为 dG ff Q 2-1a 1 ne=一l wlWiJ(2)E8=EX=需:xedX=xedxe 即提劭无偏估计。EX2=工厂33.=_!x Fx=28 Lg e J。_ X-笈万丁 戌8 2 x”dx=2d?i*o2DX=2)一a=e2De=-YD=y 2t a/(X)2=4+4=二班工一0y=4 L 26 L 2 6 64 )e2因为-=0(8)/，所以魏的有效估计.因屐=0,0=史一。产-8,所以旄知相合估计。八、检验假设外：闻=用,凡：用H优,因为1 si 3 3516-F=g=y =L51 绘。5但9）=6.546.54 s,2.2246所以要接受假设%；%=另。（2）检购假设以。：出甲之幺乙，&:口甲 乙一 手一私 心网的十场.2）16469如-1）4十（勺一 i）4 V 勺+町查一分布表得.05（18）=2.5524,因。o）=?（丫 o）=-2.设X和Y为两个随机变量，且 7 7,则尸似虱了）0=o3.设随机变量X与Y独立，X讥2,加 9,则产（尤+/=1）=O4.设是来自正态总体N（0,1）的简单随机样本，令 匕二口（工1+凡+凡）+久莺z+凡尸 F(月)+FIB)-1尸(C)=口)尸。”尸U2.设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min（X,2）的分布函数（）。（A）是连续函数；（B）至少有两个间断点；（C）是阶