直线与方程知识点总结.pdf

直线与方程知识点总结直线与方程知识点总结一、直线基本知识一、直线基本知识1 1、直线的倾斜角与斜率、直线的倾斜角与斜率（1 1）直线的倾斜角）直线的倾斜角1关于倾斜角的概念要抓住三点：.与 x 轴相交;.x 轴正向;.直线向上方向.2直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00.3倾斜角的范围000180.4；0,900k0,18090k（2 2）直线的斜率）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。经过两点（）的直线的斜率公式是（）),(),(222111yxPyxP21xx 1212xxyyk21xx 每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。2 2、两条直线平行与垂直的判定、两条直线平行与垂直的判定（1 1）两条直线平行）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l，其斜率分别为12,k k，则有1212/llkk。特别地，当直线12,l l的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行。（2 2）两条直线垂直）两条直线垂直如果两条直线12,l l斜率存在，设为12,k k，则12121llk k A注：两条直线12,l l垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时，12ll与互相垂直。二、直线的方程二、直线的方程1 1、直线方程的几种形式、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式)(11xxkyy为直线上一定点，),(11yx为斜率k不包括垂直于 x轴的直线斜截式bkxy为斜率，是直线在 ykb轴上的截距不包括垂直于 x轴的直线两点式121121xxxxyyyy),(2121yyxx其中是直线上),(),(2211yxyx两定点不包括垂直于 x轴和 y 轴的直线截距式1byax是直线在 x 轴上的非零a截距，是直线在 y 轴上b的非零截距不包括垂直于 x轴和 y 轴或过原点的直线一般式0CByAx）不同时为其中0,(BA，为系数ABC无限制，可表示任何位置的直线注：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。),(),(222111yxPyxP（1）若，直线垂直于 x 轴，方程为；2121yyxx且1xx（2）若，直线垂直于 y 轴，方程为；2121yyxx且1yy（3）（3）若，直线方程可用两点式表示）2121yyxx且2 2、线段的中点坐标公式、线段的中点坐标公式若两点，且线段的中点的坐标为，则),(),(222111yxPyxP21,PPM),(yx222121yyyxxx 3.3.过定点的直线系过定点的直线系斜率为且过定点的直线系方程为；k),(00yx)(00 xxkyy过两条直线,的交点的直线系方程为0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl（为参数），其中直线l2不在直线系中.0)(222111CyBxACyBxA三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式1.1.两条直线的交点两条直线的交点设两条直线的方程是,两条直线的交点坐标0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl就是方程组的解，00222111CyBxACyBxA若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。2.2.几种距离几种距离（1 1）两点间的距离）两点间的距离平面上的两点间的距离公式),(),(222111yxPyxP21221221)()(yyxxPP特别地，原点与任一点的距离)0,0(O),(yxP22yxOP（2 2）点到直线的距离）点到直线的距离点到直线的距离),(00yxP0:CByAxl2200BACByAxd（3 3）两条平行线间的距离）两条平行线间的距离 两条平行线,间的距离0:11CByAxl0:22CByAxl2212BACCd（注意：1求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；2求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。）补充：补充：1 1、直线的倾斜角与斜率、直线的倾斜角与斜率（1 1）直线的倾斜角）直线的倾斜角（2）已知斜率 k 的范围，求倾斜角的范围时，若 k 为正数，则的范围为(0,)2的子集，且 k=tan为增函数；若 k 为负数，则的范围为(,)2的子集，且k=tan为增函数。若 k 的范围有正有负，则可所范围按大于等于 0 或小于 0 分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。2 2、利用斜率证明三点共线的方法：、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x yB xyC xy若123ABACxxxkk或，则有 A、B、C 三点共线。注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。3.3.两条直线位置关系的判定：两条直线位置关系的判定：已知,，则：0:11CByAxl0:22CByAxl（1）0212121BBAAll （2）;0,0-/1221122121CACABABAll （3）;0,0-1221122121CACABABAll重合与（4）与相交1l2l01221BABA如果时，则：2220A B C(1)1221121BABAll(2)；21/ll）不为0,(222212121CBACCBBAA(3)与重合1l2l）不为0,(222212121CBACCBBAA(4)与相交1l2l）不为0,(222121BABBAA4.4.有关对称问题有关对称问题常见的对称问题：常见的对称问题：（1 1）中心对称）中心对称若点及关于对称，则由中点坐标公式得),(11yxM),(22yxN),(baP1122ybyxax直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直线方程。21/ll（2 2）轴对称）轴对称点关于直线的对称若两点与关于直线对称，则线段的中点在对),(111yxP),(222yxP0:CByAxl21PP称轴 上，而且连接的直线垂直于对称轴 上，由方程组l21PPl1)(0)2()2(12122121BAxxyyCyyBxxA22yx可得到点关于 对称的点的坐标（其中）1Pl2P),(22yx21,0 xxA直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。注：曲线、直线关于一直线对称的解法：换，换.例：曲线bxyyxxy关于直线对称曲线方程是0),(yxf2 xy0)2,2(xyf 曲线关于点的对称曲线方程是0),(:yxfC),(ba0)2,2(ybxaf5.5.两条直线的交角两条直线的交角直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋1l2l1l2l1l转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.2l),0(9021121tankkkk两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成1l2l1l2l1l2l的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则1l2l2,090有.21121tankkkk6.6.直线直线 上一动点上一动点 P P 到两个定点到两个定点 A A、B B 的距离的距离“最值问题最值问题”：l(1)在直线 上求一点 P，使取得最小值，lPBPA 1若点位于直线 的同侧时，作点（或点）关于 的对称点或,BA、lABl/A/B.)(/即为所求点，则点于交或连接PPlABBA2若点位于直线的异侧时，连接交于 点，则为所求点。BA、ABlPP可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（2）在直线 上求一点使取得最大值，lPPBPA 方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”1若点位于直线 的同侧时，连接交于 点，则为所求点。BA、lABlPP2若点位于直线的异侧时，作点（或点）关于 的对称点或,BA、ABl/A/B.)(/即为所求点，则点于交或连接PPlABBA(3)的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。22PBPA 7.7.直线过定点问题：直线过定点问题：11含有一个未知参数，含有一个未知参数，（1 1）12)1(axay1)2(xxay令令，202xx将将，从而该直线过定点3)1(2yx式，得代入)3,2(22含有两个未知参数含有两个未知参数 0)2()3(nynmxnm0)12()3(yxnyxm令 1203yxyx7371yx从而该直线必过定点)73,71(8.8.点到几种特殊直线的距离点到几种特殊直线的距离（1）点00(,)P xy到 x 轴的距离0|dy。（2）点00(,)P xy到 y 轴的距离0|dx.（3）点00(,)P xy到与 x 轴平行的直线 y=a 的距离0|dya。（4）点00(,)P xy到与 y 轴平行的直线 x=b 的距离0|dxa.9.9.与已知直线平行的直线系有：与已知直线平行的直线系有：（1）平行于直线)(00/CCCByAxCByAx的直线可表示为（2）平行于直线)(/bbbkxybkxy的所有直线为10.10.易错辨析：易错辨析：（1）讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：1 斜率不存在时，是否满足题意；2 斜率存在时，斜率会有怎样关系。（2）注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）（3）直线到两定点距离相等，有两种情况：1 直线与两定点所在直线平行；2 直线过两定点的中点。（求解过某一定点的直线方程时，较为常见。）（4）过点，平行于轴的直线方程为),(00yxAx0yy 过点，平行于轴的直线方程为),(00yxAy0 xx