新北师大初三数学下册圆知识点汇总.pdf

第 1 页 圆圆一一.点与圆的位置关系及其数量特征：点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则 点在圆上 d=r;点在圆内 dr;点在圆外 dr.二二.圆的对称性圆的对称性:1.与圆相关的概念：同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三三.圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系:1.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.2.圆周角定理；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；四四.确定圆的条件确定圆的条件:1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2.定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.五五.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系1.设O 的半径为 r，圆心 O 到直线的距离为 d；dr 直线 L 和O 相交.第 2 页d=r 直线 L 和O 相切.dr 直线 L 和O 相离.2.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.3.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.垂直于切线;过切点;过圆心.4.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.5.三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线:连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.六六.圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系.1.两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 dR+r(2)两圆外切 d=R+r(3)两圆相交 R-rdR+r(Rr)(4)两圆内切 d=R-r(Rr)(5)两圆内含 dr)2.相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.3.相交两圆的性质；相交两圆的连心线垂直平分公共弦.七七.弧长及扇形的面积弧长及扇形的面积1.圆周长公式:圆周长 C=2R(R 表示圆的半径)2.弧长公式:弧长(R 表示圆的半径,n 表示弧所对的圆心角的度数)180Rnl3.圆的面积公式.圆的面积(R 表示圆的半径)2RS4.扇形的面积公式:扇形的面积(R 表示圆的半径,n 表示弧所对的圆心角的度数)3602RnS扇形八八.圆锥的有关概念圆锥的有关概念:1.圆锥的侧面展开图与侧面积计算:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.如果设圆锥底面半径为 r,侧面母线长(扇形半径)是 l,底面圆周长(扇形弧长)为 c,那么它的侧面积是:rlrlclS22121侧)(2lrrrrlSSS底面侧表第 3 页九九.与圆有关的辅助线与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.十十.圆内接四边形圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征:圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.十一十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理北师版数学未出现的有关圆的性质定理1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。如图 6，PA，PB 分别切O 于 A、BPA=PB，PO 平分APB2弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。如图 7，CD 切O 于 C，则，ACD=B 3和圆有关的比例线段：相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。如图 8，APPB=CPPD如图 9，若 CDAB 于 P，AB 为O 直径，则 CP2=APPB4切割线定理切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。如图 10，PT 切O 于 T，PA 是割线，点 A、B 是它与O 的交点，则 PT2=PAPBPA、PC 是O 的两条割线，则 PDPC=PBPA5两圆连心线的性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。如图 11，O1与O2交于 A、B 两点，则连心线 O1O2AB 且 AC=BC。6两圆的公切线两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。如图 12，AB 分别切O1与O2于 A、B，连结 O1A，O2B，过 O2作 O2CO1A 于C，公切线长为 l，两圆的圆心距为 d，半径分别为 R，r 则外公切线长：_图 6_ P_ O_ B_ A第 4 页22)(rRdL如图 13，AB 分别切O1与O2于 A、B，O2CAB，O2CO1C 于 C，O1半径为 R，O2半径为 r，则内公切线长：22)(rRdL_ O_ B_ D_ P_ A_ C图 8_图 9_ P_ A_ B_ C_ D_ O_图 10_ B_ D_ C_ O_ A_ T_ P_图 11_ B_ C_ A_ O_ 2_ O_ 1_ O_ 2_ d_ C_ R_ r_ A_ B_ O_ 1_图 13_ O_ C_ D_ A_ B_图 7