新北师大初三三角函数知识点总结及中考真题汇总有答案.pdf

1锐角三角函数知识点总结锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。abc222cba2、如下图，在 RtABC 中，C 为直角，则A 的锐角三角函数为(A 可换成B)：定 义表达式取值范围关关 系系正弦斜边的对边AAsincaA sin 1sin0A(A 为锐角)余弦斜边的邻边AAcoscbA cos 1cos0A(A 为锐角)BAcossinBAsincos1cossin22AA正切的邻边的对边AtanAAbaA tan0tanA(A 为锐角)余切的对边的邻边AAAcotabA cot0cotA(A 为锐角)BAcottan BAtancot(倒数)AAcot1tan1cottan AA3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。BAcossinBAsincos)90cos(sinAA)90sin(cosAA4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。BAcottanBAtancot)90cot(tanAA)90tan(cotAA5、00、3030、4545、6060、9090特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值(重要)三角函数三角函数003030454560609090sin0 02122231 1cos1 12322210 0tan0 0331 13-cot-31 1330 0 6、正弦、余弦的增减性：当 090时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当 090时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。A90B90得由BA对边邻边斜边ACBbac A90B90得由BA28、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据：边的关系：；角的关系：A+B=90；边角关系：三角函数的定222cba义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9 9、应用举例：、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰 仰仰 仰 仰仰 仰 仰仰 仰仰 仰仰 仰 :ih lhl(2)坡面的铅直高度和水平宽度 的比叫做坡度(坡比)。用字母 表示，即。坡度一般hlihil写成的形式，如等。1:m1:5i 把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。tanhil3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45、135、225。4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东 30（东北方向），南偏东 45（东南方向），南偏西 60（西南方向），北偏西 60（西北方向）。3要点一：锐角三角函数的基本概念要点一：锐角三角函数的基本概念一、选择题一、选择题1.（2009漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（tan）A B C D35433445【解析】选 C.tan43角的邻边角的对边2.（2008威海中考）在ABC中，C90，tanA，则 sinB（）13A B C D 101023343 1010【解析】选 D.,设 BC=k,则 AC=3k,由勾股定理得31tanABBCA,10)3(2222kkkBCACAB3 10sin10ACBAB3.（2009齐齐哈尔中考）如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，若O的半径为32，2AC，则sin B的值是（）A23 B32 C34 D43【解析】选 A.连接 CD,由O的半径为32.得 AD=3.sin B=.32sinADACD4.（2009湖州中考）如图，在中，RtABCACBRt1BC 2AB 4则下列结论正确的是（）AB C D3sin2A 1tan2A 3cos2B tan3B【解析】选 D 在直角三角形 ABC 中，所以 AC；所以1BC 2AB 3，；，；1sin2A3cos2A3tan3A 3sin2B1cos2Btan3B 5.（2008温州中考）如图，在中，是斜边上的中线，已知RtABCCDAB，则的值是（）2CD 3AC sin BA B C D23323443【解析】选 C.由是斜边上的中线，得 AB=2CD=4.CDRtABCABsin B43ABAC6.（2007泰安中考）如图，在中，于，若ABC90ACBCDABD，则的值为（）2 3AC 3 2AB tanBCDACBD（A）（B）（C）（D）2226333答案：B二、填空题二、填空题57.（2009梧州中考）在ABC中，C90，BC6 cm，53sinA，则AB的长是 cm【解析】解得AB=10cm,536sinABABBCA答案：108.（2009孝感中考）如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则 sin 【解析】因为P（3，4），所以 OP5，所以；4sin5答案：；459.（2009庆阳中考）如图，菱形ABCD的边长为 10cm，DEAB，3sin5A，则这个菱形的面积=cm2【解析】解得 DE=6cm.cm2.5310sinDEADDEA10 660LINGSABDE答案：60三、解答题三、解答题10.(2009河北中考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CDAB，且CD=24 m，OECD于点E已测得sinDOE=1213（1）求半径OD；AOBECD6（2）根据需要，水面要以每小时 0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【解析】（1）OECD于点E，CD=24（m），ED=12CD=12（m）在 RtDOE中，sinDOE=EDOD=1213，OD=13（m）（2）OE=22ODED=2213125=（m）将水排干需：50.5=10（小时）11.（2009綦江中考）如图，在矩形中，是边上的点，ABCDEBCAEBC，垂足为，连接DFAEFDE（1）求证：；ABEDFA（2）如果，求的值10ADAB，=6sinEDF【解析】（1）在矩形中，ABCD 90BCADADBCB，DAFAEB DFAEAEBC，90AFDB=AEAD ABEDFA（2）由（1）知ABEDFA6ABDF在直角中，ADF22221068AFADDF2EFAEAFADAF7在直角中，DFE2222622 10DEDFEF210sin102 10EFEDFDE12.（2008宁夏中考）如图，在ABC中，C=90，sinA=54，AB=15，求ABC的周长和 tanA的值【解析】在RtABC中,C=90,AB=15Asin=ABBC=54,12BC 912152222BCABAC周长为 36,BC124tanA.AC9313.（2008肇庆中考）在 RtABC中，C=90，a=3，c=5，求 sinA和tanA的值.【解析】在 Rt ABC中，c=5，a=3 22acb2235 4 53sincaA 43tanbaA14.（2007芜湖中考）如图，在ABC中，AD是BC上的高，tancosBDAC(1)求证：AC=BD；(2)若，BC=12，求AD的长12sin13C 8【解析】(1)AD是BC上的高，ADBCADB=90，ADC=90 在 RtABD和 RtADC中，=，=tan BADBDcosDACADAC又已知tancosBDAC=AC=BD ADBDADAC(2)在 RtADC中，故可设AD=12k，AC=13k12sin13C 22DCACAD5kADADBD13ktanBcosDACBC13k5k122k,AD8.3要点二、特殊角的三角函数值要点二、特殊角的三角函数值一、选择题一、选择题1.（2009钦州中考）sin30的值为（）A32B22C12D33答案：C2.（2009长春中考）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOCOC，则点B的坐标为（）A(21)，B(12)，C(211)，D(121)，答案：C3.(2009定西中考)某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A8 米 B8 3米 C8 33米 D4 33米9答案：C4.（2008宿迁中考）已知为锐角，且，则等于（）23)10sin(50607080答案：5.（2008毕节中考）A（cos60，tan30）关于原点对称的点A1的坐标是（）A1323，B3323，C1323，D1322，答案：A6.（2007襄樊中考）计算：等于（）2cos 45tan60 cos30A（A）（B）（C）（D）1223答案：C二、填空二、填空7.（2009荆门中考）104cos30 sin60(2)(20092008)=_【解析】104cos30 sin60(2)(20092008)3314()122213()1232 答案：238.（2009百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点C的距离为 4 米，钢缆与地面的夹角为 60，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是 米（结果保留根号）10答案：4 3 9.（2008江西中考）计算：（1）1sin60 cos302A 【解析】1sin60 cos302A.412143212323答案：1410.（2007济宁中考）计算的值是 。sin60tan45cos30答案：0三、解答题三、解答题11.（2009黄石中考）计算：31+(21)033tan30tan45【解析】31+(21)033tan30tan45111133012.（2009崇左中考）计算：0200912sin603tan30(1)3【解析】原式=33231 123 =013.（2008义乌中考）计算：33sin602cos458【解析】=2.5 33sin602cos4583232222要点三、解直角三角形在实际问题中的运用要点三、解直角三角形在实际问题中的运用一、选择题一、选择题1.（2009白银中考）某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）11A8 米 B8 3米 C8 33米 D4 33米【解析】选 C.梯子的长至少为（米）.33860sin402.（2009衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角 的正切值是（）A14 B4 C117 D417答案：A3.（2009益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5 米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A.cos5 B.cos5 C.sin5 D.sin5答案：B4.（2009兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m如果在坡度为 0.75 的山坡上种树，也要求株距为 4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A5m B6m C7m D8m5米AB12【解析】选 A 由坡度为 0.75 知，相邻两树间的水平距离为 4m，相邻两树间的垂直距离为 h，则，则 h3m，所以坡面距离为 5m；0.754h5.(2009潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得30BAD，在C点测得60BCD，又测得50AC 米，则小岛B到公路l的距离为（）米A25 B25 3 C100 33 D2525 3【解析】选 B 过点 B 作 BEAD 于点 E，在直角三角形 BAE 中，0tan30,BEAE则在直角三角形 BCE 中，则。0,tan30BEAE 0tan60,BECE0tan60BECE 所以 AE-CE=AC=50,即解得 BE；0050,tan30tan60BEBE25 3二、填空题二、填空题6.（2009沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高AB6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为 35m【解析】因为 sinACB=,所以 AC=10536ACACAB答案：10.7.（2009衡阳中考）某人沿着有一定坡度的坡面前进了 10 米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为_.答案：1:28.（2009南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40 2海13里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为 _海里（结果保留根号）【解析】,402224045sin0APPCAC340334030tan0PCBC40340ACBCAB答案：40 3409(2009安徽中考)长为 4m 的梯子搭在墙上与地面成 45角，作业时调整为 60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m【解析】当梯子与地面夹角为时，梯子顶端高为；04504sin452 2()m当梯子与地面夹角为时，梯子顶端高为，06004sin602 3()m所以梯子顶端升高了2(32);m答案：；2(32)10.(2008庆阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离=3 米，AC，则梯子长 AB=米.3cos4BAC14答案：411.（2007湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以 15的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为 75，如果拖把的总长为 1.80m，则小明拓宽了行路通道_m（结果保留三个有效数字，参考数据：sin1526，cos150.97）答案：1.28三、解答题三、解答题12.（2009庆阳中考）如图（1），一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定如（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若AOB=45，OAB=30，OA=60cm，求点B到OA边的距离（31.7，结果精确到整数）【解析】如图，过点B作BCOA于点C AOB=45，CBO=45，BC=OC 设BC=OC=x，OAB=30，AC=BCtan60=3x15 OC+CA=OA，x+3x=60，x=316022（cm）即点B到OA 边的距离是 22 cm13.（2009郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为 1.5 米，测得仰角为30，点B到电灯杆底端N的距离BN为 10 米，求路灯的高度MN是多少米？（取2=1.414，3=1.732，结果保留两位小数）【解析】在直角三角形MPA中，10AP=米30MP=10tan300 =105.773 米33因为1.5AB=米所以 MN=1.5+5.77=7.27 米 答：路灯的高度为 7.27 米14.（2009眉山中考）海船以 5 海里/小时的速度向正东方向行驶，在 A 处看见灯塔 B 在海船的北偏东 60方向，2 小时后船行驶到 C 处，发现此时灯塔 B 在海船的北偏西 45 方向，求此时灯塔 B 到 C 处的距离。【解析】如图，过 B 点作 BDAC 于 D16DAB906030，DCB904545设 BDx，在 RtABD 中，ADtan30 x3x在 RtBDC 中，BDDCx BC2x又 AC5210 ，得，310 xx5(31)x （海里）2 5(31)5(62)BC 答：灯塔 B 距 C 处海里5(62)15.（2009常德中考）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为 30o，向前走 200 米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为 i=10.5，求山的高度（不计测角仪的高度，31.73，结果保留整数）【解析】设山高BC=x，则AB=12x，tan3012002BCxBDx，得(2 31)400 x，解得400400(2 31)162112 31x米16.（2008广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由 45 降为 30，已知原滑滑板AB的长为 5 米，点D、B、C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到 0.01）（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方17有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。(参考数据：)21.414,31.732,62.449【解析】（1）在中，RtABC5sin452(m)2ACABA5cos452(m)2BCABA中RtADC5 2(m)sin30ACAD 56(m)tan302ACCD 2.07(m)ADAB改善后的滑滑板会加长 2.07m（2）这样改造能行因为，而2.59(m)CDBC632.59