初中数学分式章节知识点及典型例题解析[1].pdf

初中数学视频教学集中地初中数学视频教学集中地 http:/ 15239ayxba254322ba a2m165xyx121212x、中分式的个数为（）（A）2 （B）3 （C）4 (D)xy3yx 3ma15练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .275xx；123x；25aa；22xx；22bb；222xyxy.（2）下列式子，哪些是分式？5a；234x；3yy；78x；2xxyxy；145b.2、分式有，无意义，总有意义：（1）使分式有意义：令分母0 按解方程的方法去求解；（2）使分式无意义：令分母=0 按解方程的方法去求解；注意：（0）12x例 1：当 x 时，分式有意义；例 2：分式中，当时，分式没有意义51xxx212_x例 3：当 x 时，分式有意义。例 4：当 x 时，分式有意义112x12xx例 5：，满足关系 时，分式无意义；xyxyxy例 6：无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（）A B.C.D.122xx12 xx133xx25xx例 7：使分式2xx 有意义的 x 的取值范围为（）A2xB2xC2xD2x例 8：要是分式没有意义，则 x 的值为（）A.2 B.-1 或-3 C.-1 D.3)3)(1(2xxx同步练习题：初中数学视频教学集中地初中数学视频教学集中地 http:/ 且分母0，注意：当分子等于 0 使，看看是否使分母=0 了，如果使分母=0 了，那么要舍去。例 1：当 x 时，分式的值为 0 例 2：当 x 时，分式的值为 0121aa112xx例 3：如果分式的值为为零,则 a 的值为()A.B.2 C.D.以上全不对22aa22例 4：能使分式的值为零的所有的值是（）122xxxxA B C 或 D或0 x1x0 x1x0 x1x例 5：要使分式的值为 0，则 x 的值为（）A.3 或-3 B.3 C.-3 D 265922xxx例 6：若,则 a 是()A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数01aa4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。例 1：；如果成立,则 a 的取值范围是_；abyaxyzyzyzyx2)(3)(675)13(7)13(5aa例 2：)(1332baab)(cbacb 例 3：如果把分式中的 a 和 b 都扩大 10 倍，那么分式的值（）baba 2A、扩大 10 倍 B、缩小 10 倍 C、是原来的 20 倍 D、不变例 4：如果把分式中的 x，y 都扩大 10 倍，则分式的值（）yxx10 A扩大 100 倍 B扩大 10 倍 C不变 D缩小到原来的101例 5：如果把分式中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（）yxxyCBCABACBCABA0C初中数学视频教学集中地初中数学视频教学集中地 http:/ 2 倍；B、扩大 4 倍；C、不变；D 缩小 2 倍例 6：如果把分式中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（）yxyxA、扩大 2 倍；B、扩大 4 倍；C、不变；D 缩小 2 倍例 7：如果把分式中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（）xyyx A、扩大 2 倍；B、扩大 4 倍；C、不变；D 缩小倍21例 8：若把分式的 x、y 同时缩小 12 倍，则分式的值（）xyx23A扩大 12 倍B缩小 12 倍C不变D缩小 6 倍例 9：若 x、y 的值均扩大为原来的 2 倍，则下列分式的值保持不变的是（）A、B、C、D、yx23223yxyx2322323yx例 10：根据分式的基本性质，分式可变形为（）baaA B C D baabaabaabaa例 11：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，；05.0012.02.0 xx例 12：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，=。211xxx5、分式的约分及最简分式：约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分分式约分的依据：分式的基本性质分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。例 1：下列式子（1）；（2）；（3）；（4）yxyxyx122cabaacab1baab中正确的是（）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个yxyxyxyx例 2：下列约分正确的是（）A、；B、；C、；D、326xxx0yxyxxxyxyx12214222yxxy例 3：下列式子正确的是()初中数学视频教学集中地初中数学视频教学集中地 http:/ B.C.D.022yxyx1yayaxzyxzxy0adcdcadcadc例 4：下列运算正确的是（）A、B、C、D、aaabab 2412xx22aabb1112mmm例 5：下列式子正确的是（）A B C D22abab0baba1babababababa232.03.01.0例 6：化简的结果是（）A、B、C、D、2293mmm3mm3mm3mmmm3例 7：约分：；=；。2264xyyx932xxxyxy132yxyxyx536.03151例 8：约分：；22444aaayxxy2164)()(babbaa2)(yxyx ；22yxayax1681622xxx6292xx23314_21a bca bc_。29_3mmbaab220596922xxx例 9：分式，中，最简分式有()3a2a222baba)ba(12a42x1A1 个 B2 个 C3 个 D4 个6、分式的乘，除，乘方：分式的乘法：乘法法测：badc=bdac.分式的除法：除法法则：badc=bacd=bcad分式的乘方：求 n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(ba)n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：(ba)n=nnba(n 为正整数)例题：初中数学视频教学集中地初中数学视频教学集中地 http:/ 22121441aaaaaa计算：（13）（14）1112421222aaaaaa633446222aaaaaaa求值题：（1）已知：，求的值。43yxxyxyxyyxyxyx2222222 （2）已知：，求的值。xyyx392222yxyx （3）已知：，求的值。311yxyxyxyxyx2232例题：计算：（1）（2）=（3）=232()3yx52ba32323 xy计算：（4）=（5）3222ab4322ababba （6）22221111aaaaaaa求值题：（1）已知：求的值。432zyx222zyxxzyzxy（2）已知：求的值。0325102yxxyxyxx222例题：计算的结果是（）A B C D yxxxyxyx222)(yxx22yx 2y1初中数学视频教学集中地初中数学视频教学集中地 http:/ B.xy C.D.xyxx1xyyx计算：（1）；（2）（3）(a21)22221aaa122aa422448223xxxxxx12211222xxxxx7、分式的通分及最简公分母：通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。例如：最简公分母就是。222xxx22xx“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。例如：最简公分母就是4222xxx2242xxx“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。例如：最简公分母是：2222xxxx22xx这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。例 1：分式的最简公分母是（）nmnmnm2,1,122A B C D)(22nmnm222)(nm)()(2nmnm22nm 例 2：对分式，通分时，最简公分母是（）2yx23xy14xyAx2y B例 3：下面各分式：,，其中最简分式有（）个。221xxx22xyxy11xx 2222xyxyA.4B.3C.2D.1初中数学视频教学集中地初中数学视频教学集中地 http:/ 4：分式412a，42 aa的最简公分母是 .例 5：分式 a 与的最简公分母为_；1b例 6：分式的最简公分母为 。xyxyx2221,18、分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。例 1：=例 2：=mnm22141322222aaaa例 3：=例 4：=xyxyxy22222222yxxxyyyxyx计算：（1）4133mmm （2）（3）abbbaa2222)()(abbbaa（4）2253a bab2235a bab228a bab.例 5：化简+等于（）A B C D1x12x13x12x32x116x56x例 6：例 7：例 8：cabcab22142aaaxxxx3)3(32例 9：例 10：2212aaa224aa 例 11：xxxxxx1363211aaa例 12：211xxx练习题：（1）（2）（3）2129a+23a.22ababbabxxxx2144212初中数学视频教学集中地初中数学视频教学集中地 http:/ （4）（5）bab-ab22xyxyyx例 13：计算的结果是（）A B C D 11aaa11a11a112aaa1a例 14：请先化简：，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值.21224xxx例 15：已知：求的值。0342 xx442122xxxxx9、分式的混合运算：例 1：例 2：4421642xxxx34121311222xxxxxxx例 3：例 4：222)2222(xxxxxxx1342xxx例 5：例 6：1111xxx22224421yxyxyxyxyx例 722112()2yxyxyxxyy 例 8：xxxxxxx112122例 9：xxxxxxxx4)44122(22练习题：10、分式求值问题：例 1：已知 x 为整数，且23x+23x+22189xx为整数，求所有符合条件的 x 值的和.例 2：已知 x2，y12，求222424()()xyxy11xyxy的值.例 3：已知实数 x 满足 4x2-4x+l=O，则代数式 2x+x21的值为_例 4：已知实数 a 满足 a22a8=0，求34121311222aaaaaaa的值.初中数学视频教学集中地初中数学视频教学集中地 http:/ 输输入入 n 计计算算n（n+1）n 50 Yes No 输输出出结结果果 m 例 5：若13xx 求1242 xxx的值是（）A81 B101 C21 D41例 6：已知113xy，求代数式21422xxyyxxyy的值例 7：先化简，再对a取一个合适的数，代入求值221369324aaaaaaa练习题：（1），其中 x=5.（2）,其中 a=5 （3）,其中 a=-168422xxxx1616822aaa2222babaaba3，b=2（4）；其中 a=85；（5），其中 x=-12144122aaaaaxxxxxxxx4)44122(22（6）先化简，再求值：324xx(x+252x).其中 x2.（7）3,32,1)()2(222222babaabaababaabaa其中（8）先化简，再选择一个你喜欢的数代入求值2111xxx11、分式其他类型试题：例 1：观察下面一列有规律的数：，根据其规律可知第个数应3283154245356487是（n为正整数）例 2：观察下面一列分式：根据你的发现，它的第 8 项是 ，第 n 项2345124816,.,x xxxx是 。例 3：按图示的程序计算，若开始输入的 n 值为 4，则最后输出的结果 m 是 （）A 10 B 20 C 55 D 50例 4：当 x=_时,分式与互为相反数.x51x3210例 5：在正数范围内定义一种运算，其规则为，根据这个规则的解为abba11x23)1(x初中数学视频教学集中地初中数学视频教学集中地 http:/ 1D或32x1x32x32x1例 6：已知，则；4)4(422xCBxxAxx_,_,CBA例7：已知37(1)(2)12yAByyyy，则（）A10,13AB B10,13AB C10,13AB D10,13AB 例 8：已知，求的值；yx3222222yxyyxxy例 9：设,则的值是()A.B.0 C.1 D.mnnmnm11mn11例 10：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式24 42 242 2例 11：先填空后计算：=。=。=。（3 分）111nn2111nn3121nn（本小题 4 分）计算：)2008)(2007(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1nnnnnnnn解：)2008)(2007(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1nnnnnnnn=12、化为一元一次的分式方程：（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。（3）解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根例 1：如果分式的值为1，则 x 的值是 ；121xx例 2：要使的值相等，则x=_。2415xx与例 3：当 m=_时，方程=2 的根为.21mxmx12初中数学视频教学集中地初中数学视频教学集中地 http:/ 4：如果方程 的解是 x5，则 a 。3)1(2xa例 5：(1)(2)132xx13132xxx例 6:解方程：22416222xxxxx例 7：已知：关于 x 的方程无解，求 a 的值。xxxa3431例 8：已知关于 x 的方程的根是正数，求 a 的取值范围。12xax例 9：若分式与的 2 倍互为相反数，则所列方程为_；21x32xx例 10：当 m 为何值时间？关于的方程的解为负数？x21122xxxxxxm例 11：解关于的方程x)0(2aabxaxb例 12：解关于 x 的方程:)0(21122abaabaxbax例 13：当 a 为何值时,的解是负数?)1)(2(21221xxaxxxxx例 14：先化简,再求值:,其中 x,y 满足方程组222)(222yxxyxyxyxx232yxyx例 15 知关于 x 的方程的解为负值，求 m 的取值范围。)1)(2(121xxmxxxx练习题：(1)(2)(3)164412xx0)1(213xxxxXXX1513112(4)(5)(6)625xxxx2163524245xxxx11112xx(7)(8）（9）xxx2132121212339xxx311223xx13、分式方程的增根问题：（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为 0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。（2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。例 1：分式方程+1=有增根，则 m=3xx3xm例 2：当 k 的值等于 时，关于 x 的方程不会产生增根；3423xxxk初中数学视频教学集中地初中数学视频教学集中地 http:/ 3：若解关于 x 的分式方程234222xxmxx会产生增根，求 m 的值。例 4：取 时，方程会产生增根；m323xmxx例 5：若关于 x 的分式方程无解，则m的值为_。3232xmxx例 6：当 k 取什么值时？分式方程有增根.0111xkxxxx例 7：若方程有增根，则 m 的值是（）A4 B3 C-3 D1441xmxx例 8：若方程有增根，则增根可能为（）342(2)axxx xA、0 B、2 C、0 或 2 D、114、分式的求值问题：例 1：已知，分式的值为 ；31bababa52 例 2：若 ab=1，则的值为 。1111ba例 3：已知，那么_；13aa221aa例 4：已知，则的值为（）A B C D 311yxyxyxyxyx5527277272例 5：已知，求的值；yx3222222yxyyxxy例 6：如果=2，则=ba2222bababa例 7：已知与的和等于，则 a=,b=。2xa2xb442xx例 8：若，则分式（）A、B、C、1 D、10yxxyxy11xy1xy 例 9：有一道题“先化简，再求值：，其中。”小玲做题时把“22241244xxxxx（）3x ”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？3x 3x 例 10：有这样一道数学题:“己知:a=2005,求代数式 a(1+)的值”,王东在计算时错把a1112aa“a=2005”抄成了“a=2050”，但他的计算结果仍然正确，请你说说这是怎么回事。初中数学视频教学集中地初中数学视频教学集中地 http:/ 11：有这样一道题：“计算：的值，其中”，某同学把错2222111xxxxxxx2007x 2007x 抄成，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？2008x 例题：已知，求的值。31xx1242 xxx15、分式的应用题：（1）列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答（2）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：a.行程问题：基本公式：路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题b.数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法c.工程问题：基本公式：工作量=工时工效d.顺水逆水问题:v顺水=v静水+v水 v逆水=v静水-v水工程问题：例 1：一项工程，甲需x小时完成，乙需y小时完成，则两人一起完成这项工程需要_ 小时。例 2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打 6 个字，小明打 120 个字所用的时间和小张打 180 个字所用的时间相等。设小明打字速度为 x 个/分钟，则列方程正确的是（）A B C D xx1806120 xx18061206180120 xx6180120 xx例 3：某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独做,恰好如期完成;如果乙工作队独做,则超过规定日期 3 天,现在甲、乙两队合作 2 天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完成,求规定日期.如果设规定日期为 x 天,下面所列方程中错误的是()A.;B.;C.;D.213xxx233xx1122133xxxx 113xxx例 4：一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数ab是（）（A）（B）（C）（D）ba ba11ba 1baab例 5：赵强同学借了一本书，共 280 页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21 页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读 x 页,则下列方程中,正确的是（）A、B、B、D、1421140140 xx1421280280 xx1211010 xx1421140140 xx例 6：某煤厂原计划天生产 120 吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产 3 吨，因此提前 2 天完成任务，x列出方程为（）A B C D 31202120 xx32120120 xx31202120 xx32120120 xx例 7：某工地调来 72 人参加挖土和运土工作，已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走，问怎样调配劳动初中数学视频教学集中地初中数学视频教学集中地 http:/ 8：八（1）、八（2）两班同学参加绿化祖国植树活动，已知八（1）班每小时比八（2）班多种 2 棵树，八（1）班种 66 棵树所用时间与八（2）班种 60 棵树所用时间相同，求：八（1）、八（2）两班每小时各种几棵树？例 9：某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期 3 天，现在甲、乙两人合做 2 天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？例 10：服装厂接到加工 720 件衣服的订单，预计每天做 48 件，正好可以按时完成，后因客户要求提前 5天交货，则每天应比原计划多做多少件？例 11：为加快西部大开发的步伐，决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好可以按期完成；如果乙工程队单独施工就要超过 6 个月才能完成。现在甲、乙两队先共同施工 4 个月，剩下的由乙队单独施工，则也刚好可以按期完成。问师宗县原来规定修好这条公路需多长时间？例 12：某工程由甲、乙两队合做 6 天完成，厂家需付甲、乙两队共 4350 元；乙、丙两队合做 10 天完成，厂家需付乙、丙两队共 4750 元；甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共 275032元。（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超过 20 天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。价格价钱问题：例 1：“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为 180 元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了 3 元钱车费，设参加游览的同学共 x 人，则所列方程为（）A B C D32180180 xx31802180 xx32180180 xx31802180 xx例 2：用价值 100 元的甲种涂料与价值 240 元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克售价比甲种涂料每千克售价少 3 元，比乙种涂料每千克的售价多 1 元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？若设这种新涂料每千克的售价为 x 元，则根据题意可列方程为_例 3：某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人 150 人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为 600 元和1000 元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的 2 倍，问甲、乙同种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？例 4：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为 4800元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款？例 5：随着 IT 技术的普及，越来越多的学校开设了微机课.某初中计划拿出 72 万元购买电脑，由于团体购买，结果每台电脑的价格比计划降低了 500 元，因此实际支出了 64 万元.学校共买了多少台电脑？若初中数学视频教学集中地初中数学视频教学集中地 http:/ 4 节课，这些电脑每天最多可供多少学生上微机课？(该校上微机课时规定为单人单机)例 6：光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动，联系了甲、乙两家旅游公司，甲公司提供的优惠条件是：1 名教师收行业统一规定的全票，其余的人按折收费，乙公司则是：所有人全部按7.58 折收费经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜，那么参加活动的学生人数是多少人？132例 7：北京奥运“祥云”火炬 2008 年 5 月 7 日在羊城传递，熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递和平、友谊、进步的“和平之旅”，广州市民万众喜迎奥运。某商厦用 8 万元购进奥运纪念运动休闲衫，面市后供不应求，商厦又用 17.6 万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但单价贵了 4 元，商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是 58 元，最后剩下的 150 件按八折销售，很快售完，请问在这两笔生意中，商厦共赢利多少元？顺水逆水问题：例 1：A、B 两地相距 48 千米，一艘轮船从 A 地顺流航行至 B 地，又立即从 B 地逆流返回 A 地，共用去 9小时，已知水流速度为 4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）A、B、C、D、9448448xx9448448xx9448x9496496xx例 2：一只船顺流航行 90km 与逆流航行 60km 所用的时间相等，若水流速度是 2km/h，求船在静水中的速度，设船在静水中速度为 xkm/h，则可列方程（）A、290 x=260 x B、290 x=260 x C、x90+3=x60 D、x60+3=x90例 3：轮船顺流航行 66 千米所需时间和逆流航行 48 千米所需时间相同，已知水流速度是每小时 3 千米，求轮船在静水中的速度。行程问题：例 1：在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（）A、千米 B、千米 C、千米 D、无法确定221vv 2121vvvv21212vvvv例 2：甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则小时相遇；若同向而行，则小时甲追上ab乙那么甲的速度是乙的速度的（）倍 倍 倍 倍abbbabbabababa例 3：八年级 A、B 两班学生去距学校 4.5 千米的石湖公园游玩，A 班学生步行出发半小时后，B 班学生骑自行车开始出发，结果两班学生同时到达石湖公园，如果骑自行车的速度是步行速度的 3 倍，求步行和骑自行车的速度各是多少千米/小时？例 4：A、B 两地的距离是 80 公里，一辆公共汽车从 A 地驶出 3 小时后，一辆小汽车也从 A 地出发，它的速度是公共汽车的 3 倍，已知小汽车比公共汽车迟 20 分钟到达 B 地，求两车的速度。初中数学视频教学集中地初中数学视频教学集中地 http:/ 5：甲、乙两火车站相距 1280 千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的 3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了 11 小时，求列车提速后的速度。数字问题：例 1：一个分数的分子比分母小 6,如果分子分母都加 1,则这个分数等于,求这个分数.41例 2：一个两位数，个位数字是 2，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新的两位数与原来的两位数之比是 7：4，求原来的两位数。例 3：一个分数的分母加上 5，分子加上 4，其结果仍是原来的分数，求这个分数。例 4：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小 2，个位上的数字加上 8 以后去除这个两位数时，所得到的商是 2，求这个两位数。16、公式变形问题：例 1：一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为 U 像距为 V，凸透镜的焦距为 F，且满足，则用FVU111U、V 表示 F 应是（）（A）（B）（C）（D）UVVU VUUVVUUV例 2：已知公式12111RRR（12RR），则表示1R的公式是（）A212RRRRR B212RRRRR C1212()R RRRR D212RRRRR例 3：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距 u，像距 v 和凸透镜的焦距 f 满足关系式：.若 f6 厘米，v8 厘米，则物距 u 厘米.1u1v1f例 4：已知梯形面积S、a、b、h 都大于零，下列变形错误是（）,)(21hbaSA B.C.D.baSh2bhSa2ahSb2)(2baSh例 5：已知,则 M 与 N 的关系为()bbaaNbaMab11,1111,1A.MN B.M=N C.MN D.不能确定.