高三数学二项式定理(知识点和例题).pdf

二项式定理二项式定理1 知识精讲：知识精讲：（1）二项式定理：）二项式定理：（）nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110 Nn其通项是 （r=0,1,2,n），知 4 求 1，如：1rTrrnrnbaC555156baCTTnn亦可写成：1rTrnrnabaC)(（）nnnnrrnrnrnnnnnbCbaCbaCaCba11110 Nn特别地：（）nnnrnrnnnnnxCxCxCxCx101 Nn其中，二项式系数。而系数是字母前的常数。rnC例例 1等于 （）nnnnnnCCCC1321393A B。C。D.n4n43134n314 n解：解：设，于是：nnnnnnnCCCCS1321393=nnnnnnnCCCCS333333322113333332210nnnnnnnCCCCC故选 D例例 2（1）求的展开式的第四项的系数；7(12)x（2）求的展开式中的系数及二项式系数奎屯王新敞新疆91()xx3x解：解：（1）的展开式的第四项是，7(12)x3333 17(2)280TCxx的展开式的第四项的系数是7(12)x280（2）的展开式的通项是，91()xx99 21991()(1)rrrrrrrTC xC xx，923r3r 的系数，的二项式系数3x339(1)84C 3x3984C（2）二项展开式系数的性质：）二项展开式系数的性质：对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即,22110knnknnnnnnnnnnCCCCCCCC增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：n；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最 122maxnnnrnTCC大，即。1211212121maxnnnnnnrnTTCCC所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于即；n2nnnnnCCC210奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即131202nnnnnCCCC例例 3已知，求：7270127(12)xaa xa xa x（1）；（2）；（3）.127aaa1357aaaa017|aaa解：解：（1）当时，展开式右边为1x 77(1 2)(1 2)1x 0127aaaa，0127aaaa1 当时，0 x 01a 1271 12aaa （2）令，1x 0127aaaa1 令，1x 7012345673aaaaaaaa 得：，.713572()1 3aaaa 1357aaaa71 32（3）由展开式知：均为负，均为正，1357,a a a a0248,a a a a由（2）中+得：，702462()1 3aaaa ，702461 32aaaa 017|aaa01234567aaaaaaaa 奎屯王新敞新疆702461357()()3aaaaaaaa例例 4（1）如果在 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的nxx421有理项。（2）求的展开式的常数项。321xx解：解：（1）展开式中前三项的系数分别为 1，2n8)1(nn由题意得：2=1+得=8。2n8)1(nnn设第 r+1 项为有理项，则 r 是 4 的倍数，所以 r=0，4，8。43168121rrrrxcT有理项为。295412561,835,xTxTxT【思维点拨思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定 r。（2），其展开式的通项为321xx61xx 2266111rrrrrxxCT，令得 22661rrrrxC02r26r3r所以，常数项为204T【思维点拨思维点拨】密切注意通项公式的使用。密切注意通项公式的使用。（3 3）二项式定理的应用：）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：取Nnnnn,322的展开式中的四项即可。nn112例例 5、若为奇数，则被 9 除得的余数是 （）n777712211nnnnnnnCCCA0 B。2 C。7 D.8解：解：777712211nnnnnnnCCC11918nn=1191991111nnnnnnnCC因为为奇数，所以原式=n 291991111nnnnnnCC所以，其余数 为 9 2=7，选 C例例 6：当且1，求证Nnn3)11(2nn证明:2111111)11(1221nCnCnCnCnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn12321!1!321!212112 2112112122121212!1!31!212112nnn 从而.32131n3)11(2nn【思维点拨思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。2重点难点重点难点:二项式定理，和二项展开式的性质。3思维方式思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。4特别注意特别注意:二项式的展开式共有 n+1 项，是第 r+1 项。rrnrnbaC通项是 （r=0,1,2,n）中含有五个元素，只要知道其1rTrrnrnbaCrnbaTr,1中四个即可求第五个元素。注意二项式系数与某一项系数的异同。当 n 不是很大，|比较小时可以用展开式的前几项求的近似值。xnx)1(