排列组合方法归类大全.pdf

1排列组合的常见题型及其解法排列组合的常见题型及其解法一.特殊元素（位置）用优先法 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。例 1.6 人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。解法 1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的 5 人站在其他 5 个位置上，有种站法，A41A55故站法共有：480（种）AA4155 解法 2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的 5 个人中任选两人站在左右两端，有种；第二步再让剩余的 4 个人（含甲）站在中间 4 个位置，有A52种，故站法共有：（种）A44AA5244480二.相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。例 2.5 个男生和 3 个女生排成一排，3 个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把 3 个女生视为一个元素，与 5 个男生进行排列，共有种，然后女生内部再A66进行排列，有种，所以排法共有：（种）A33AA66334320三.相离问题用插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。例 3.7 人排成一排，甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种排法？解：先将其余 4 人排成一排，有种，再往 4 人之间及两端的 5 个空位中让甲、乙、A44丙插入，有种，所以排法共有：（种）A53AA44531440四.定序问题用除法 对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将 n 个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求 m 个元素次序一定，因此Annm mn()Amm只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若 n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，则有种排列方法。AAnnmm 例 4.由数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？解：不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字一定，所AA5155以所求的六位数有：（个）AAA515522300五.分排问题用直排法 对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。例 5.9 个人坐成三排，第一排 2 人，第二排 3 人，第三排 4 人，则不同的坐法共有多少种？解：9 个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。A99六.复杂问题用排除法2 对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。例 6.四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点，取其中 4 个不共面的点，则不同的取法共有（）A.150 种B.147 种C.144 种D.141 种 解：从 10 个点中任取 4 个点有种取法，其中 4 点共面的情况有三类。第一类，取C104出的 4 个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的 3 个点及该棱464C对棱的中点，这 4 点共面，有 6 种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的 4 个点共面，有 3 种。以上三类情况不合要求应减掉七.多元问题用分类法 按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。例 7.已知直线中的 a，b，c 是取自集合3，2，1，0，1，2，3axbyc 0中的 3 个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。解：设倾斜角为，由为锐角，得，即 a，b 异号。tan ab0 （1）若 c0，a，b 各有 3 种取法，排除 2 个重复（，330 xy220 xy），故有：3327（条）。xy 0 （2）若，a 有 3 种取法，b 有 3 种取法，而同时 c 还有 4 种取法，且其中任意两c 0条直线均不相同，故这样的直线有：33436（条）。从而符合要求的直线共有：73643（条）八.排列、组合综合问题用先选后排的策略 处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。例 8.将 4 名教师分派到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分派方案共有多少种？解：可分两步进行：第一步先将 4 名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：（种），第二步将这三组教师分派到 3 种中学任教CCCA422111226有种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：（种）。因A33CCCAA422111223336此共有 36 种方案。九.隔板模型法 常用于解决整数分解型排列、组合的问题。例 9.有 10 个三好学生名额，分配到 6 个班，每班至少 1 个名额，共有多少种不同的分配方案？解：6 个班，可用 5 个隔板，将 10 个名额并排成一排，名额之间有 9 个空，将 5 个隔板插入 9 个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：（种）C95126-已阅