高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结.pdf

恒成立问题中含参范围的求解策略恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。一、分离参数一、分离参数最值化最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：af(x)恒成立,只须求出,()则 a;若 af(x)恒成立,只须求出,则 a转化为函数求最值.()()()例 1 已知函数 f(x)=,若任意 x2,+)恒有 f(x)0,试确定 a 的取值范围.ln(+2)解:根据题意得,x+21 在 x2,+)上恒成立,即 a+3x 在 x2,+)上恒成立.设 f(x)=-2+3x.则 f(x)=+,当 x=2 时,=2,所以 a22(32)294()2 在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若 f(a)g(x)恒成立,只须求出 g(x)最大值,则 f(a).然后解不等式求出参数 a 的取值()范围;:若 f(a)g(x)恒成立,只须求出 g(x)最小值,则 f(a).然后解不等式求出参数 a 的()取值范围.问题还是转化为函数求最值.例 2 已知 x(,1时,不等式 1+(a)0 恒成立,求 a 的取值范围.224解 令=t,x(,1 t(0,2.所以原不等式可化为,要使上式在 t(0 22 +12,2上恒成立,只须求出 f(t)=在 t(0,2上的最小值即可.+12f(t)=+=又 t(0,2 )=f(2)=+12(1)21(1+12)214112,+()34 ,a2 341232例 3 设且恒成立，求实数 m 的取值范围。cbacamcb1ba1 解析：由于，所以，于是恒成立，因ca 0cacb1ba1)ca(m 2cbbabacb11cb1ba1)cb()ba(cb1ba1)ca(.4cbbabacb2 （当且仅当时取等号），故。bacb4m 二、数形结合二、数形结合直观化直观化对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结合的思想，直观地反应出参数的变化范围。例 4 设，对于任意正整数 k，直线与)1k2,1k2(I,Ix()k2x()x(fkk2表示区间axy 恒有两个不同的交点，求实数 a 的取值范围。)x(f 解析：作出在区间上的图像，由图像知，直线只能绕原点 O2)k2x()x(f 1k2,1k2(axy 从 x 正半轴旋转到过点的范围，直线 AO 的斜率为于是实数 a 的取值范)1,1k2(A,1k2101k201围是.1k21a0例 5、当 x(1,2)时，不等式(x-1)2logax 恒成立，求 a 的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。解：设 y1=(x-1)2,y2=logax,则 y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切 x(1,2),y11,并且必须也只需当x=2 时 y2的函数值大于等于 y1的函数值。故 loga21,a1,1 2+分析:在不等式出现了两个字母 x 及 p,关键在于把哪个字母看成一个变量.另一个作为常数.显然可将 p 视作自变量,则上述问题可转化为在-2,2内关于 p 的一次函数大于 0 恒成立问题.解:原不等式可化为(x1)p+2x+10.设 f(p)=(x1)p+2x+1,则 f(p)在2,2 上恒大于220,故有 即 解得 (2)0(2)0?2 4+3 02 1 0?3或 1或 1?例 8 对于，不等式恒成立，求实数 x 的取值范围。1,1a1ax2axx21212xyo12y1=(x-1)2y2=logax 解析：不等式不等式即对于1ax2axx212121ax2axx2)1x(a)1x(2恒成立。1,1a 记，则问题转化为一次函数（或常数函数）在区间1，1内恒为正的2)1x()1x(a)a(fx 应满足的条件。由得 或0)1(f0)1(f0 x0)1x()1x(0)1x()1x(22.2x 故实数 x 的取值范围是 ).,2()0,(恒成立问题中含参范围的求解策略较多，但主要有以上三种常见方法，其实质是一种等价转化的思想，可见，只要我们在解题中善于归纳和总结，就一定会积累更多的经验和方法，从而更好地提高我们的解题能力。四、判别式法四、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有),0()(2Rxacbxaxxf1对恒成立;2对恒成立 0)(xfRx00a0)(xfRx.00a例 9已知函数的定义域为 R，求实数的取值范围。)1(lg22axaxya解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有0)1(22axaxRx解得。所以实数的取值范围为。04)1(22aa311aa或a),31()1,(若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。x例 10设，当时，恒成立，求实数的取值范围。22)(2mxxxf),1xmxf)(m解：设，则当时，恒成立mmxxxF22)(2),1x0)(xF当时，显然成立；120)2)(1(4mmm即0)(xF当时，如图，恒成立的充要条件为：00)(xF解得。1220)1(0mF23m综上可得实数的取值范围为。m)1,3五、分类讨论五、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例 3、若时，不等式恒成立，求的取值范围。2,2x 23xaxaa解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。23f xxaxa 2,2x f x（1）当即：时，又所以不存在；22a 4a min2730f xfa73a4a a（2）当即：时，又222a 44a 2min3024aaf xfa62a 44a 42a Oxyx-1（3）当 即：时，又22a4a min270f xfa7a 4a 74a 综上所得：72a 六、利用集合与集合间的关系六、利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：，则且，不等式的解即为实数的取值范围。,m nf ag a f am g ana例 5、当时，恒成立，求实数的取值范围。1,33xlog1ax a解：1log1ax（1）当时，则问题转化为 1a 1xaa11,3,3aa3113aa3a（2）当时，则问题转化为01a1axa11,3,3aa1313aa103a 综上所得：或103a3a 易混题易混题、能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；Dx AxfD maxf xA若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.Dx BxfD minf xB例 1、已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围_（答：axx34Ra）1a 例 2、若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 x32aaxxa第二个填空是不等式能成立的问题.设.则关于的不等式的解集 aaxxxf2x32aaxx不是空集在上能成立,3xf,3minxf即解得或,3442minaaxf6a 2a 例 3、已知函数，.若，且存在单调 xxfln bxaxxg2210a2b xgxfxh递减区间，求a的取值范围；分析及解只研究第（I）问.，xaxxxhb221ln)(,22 时则.1221)(2xxaxaxxxh因为函数存在单调递减区间，所以有解.h x()0h x由题设可知,的定义域是,xh,0而在上有解,就等价于在区间能成立,0 xh,0 0 xh,0即,成立,进而等价于成立,其中.xxa212,0 x xuamin xxxu212由得,.于是,xxxu2121112x 1minxu1a由题设,所以a的取值范围是0a,00,1例 4、不等式有解，求的取值范围。220kxkk解：不等式有解有解有解，220kxk2(1)2k x221kx2max221kx所以。(2)k，例 5、对于不等式，存在实数，使此不等式成立的实数的集合是；对于任意21xxaxaM，使此不等式恒成立的实数的集合为，求集合0 5x，aNMN，解：由21(1)()213(12)21(2).xxf xxxxxx，又有解，所以()af xmin()3af x3Ma a令恒成立()g x210 5()xxxag x，max()(5)9ag xg所以9Na a、恰好成立例 6、已知当的值域是,试求实数的值.（最值法最值法）,22xaxxxf xfx,1,0a.第(问是一个恰成立问题,这相当于的解集是.022xaxxxf,1x当时,由于时,0a1x,与其值域是矛盾,3222xaxxaxxxf,0当时,是上的增函数,0a 222xaxxaxxxf,1所以,的最小值为,xf1f令,即01 f.3,021aa例 7、已知两函数 f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中 k 为实数。（1）对任意 x-3，3，都有 f（x)g(x)成立，求 k 的取值范围；（2）存在 x-3，3，使 f（x)g(x)成立，求 k 的取值范围；（3）对任意 x1、x2-3，3，都有 f（x1)g(x2)，求 k 的取值范围。解析：（最值法最值法）（1）设 h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k，问题转化为 x-3，3时，h(x)0 恒成立，故 h(x)0.令 h(x)=6x2-6x-12=0，得 x=-1 或 2。min由 h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故 h(x)=-45+k，由 k-450，得 k45.min（2）据题意：存在 x-3，3，使 f（x)g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)0 在 x-3，3有解，故 h(x)0，由（1）知 h（x）=k+7，于是得 k-7。maxmax（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意 x1，x2-3，3，都有 f（x1)g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在-3，3上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：，由 g(x)=6x2+10 x+4=0，得 x=-或-1，易得3,3,)()(minmaxxxgxf32，又 f(x)=8(x+1)2-8-k，.故令 120-21)3()(min gxg3,3x.120)3()(maxkfxfk-21，得 k141。点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。