实数知识点总结.pdf

实数实数平方根的有关概念平方根的有关概念夯实基础夯实基础1算术平方根算术平方根名称名称定义定义表示方法表示方法举例举例算术平方根一般地，如果一个正数的平方等于，xa即，那么这ax 2个正数叫做的算xa术平方根。规定 0 的算术平方根是 0非负数的算术平方a根记作“”，读a作“根号”，其中a叫做被开方数a如，那么 52552叫做 25 的算术平方根（或者说 25 的算术平方根是 5）温馨提示一个正数的平方根有两个，分别为和，我们把正的aaa平方根叫做的算术平方根。aa一个正数的算术平方根是一个正数；零的算术平方根仍为零；负数没算术平方根。例 1：写出下列各数的算术平方根。（1）0.0009；（2）；（3）。4981252平方根平方根1.定义：如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根（或二次方根）。即如果aa，那么就叫做的平方根。如：，所以 4 的平方根是；ax 2xa4222，所以的平方根是；，所以 0 的平方根是 0。259532259530022.表示方法 一个数的正的平方根，用符号“”表示，叫做被开方数，2 叫做根指数，的a2aaa负平方根用“”表示，根指数是 2 时，通常省略不写。如记作，读作“根号2a2aa”，记作，读作“正、负根号”。a2aaa 温馨提示温馨提示任何数的平方都不能为负数，所以负数没有平方根。“5 是 25 的平方根”这种说法是正确的，反过来说“25 的平方根是 5”就错了，因为“正数有两个平方根”，所以必须说“25 的平方根是5”。求一个数的平方根就是把平方后等于这个数的所有数都求出来，而判断一个数是不是另一个数的平方根，只要把这个数平方，看其是否等于另一个数即可。3.平方根的性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数，记作。aa（2）零的平方根是零。（3）负数没有平方根。温馨提示温馨提示时，表示的算术平方根，表示的平方根。0aaaaa因为负数没有平方根，所以被开方数。如中隐含着，即这0a3x03 x3x一条件。，02aaa.0,0,2aaaaa例 2：判断下列说法是否正确，并说明理由。（1）的平方根是 36；（2）1 的平方根是 1；（3）-9 的平方根是；63（4）；19361（5）是的算术平方根。9293平方根与算术平方根的区别与联系平方根与算术平方根的区别与联系算术平方根算术平方根平方根平方根概念如果一个正数的平方等于，即xa，那么这个正数叫做的算ax 2a术平方根如果一个数的平方等于，即xa，那么这个数叫做的平方ax 2a根或二次方根表示方法aa区别性质正数只有一个算术平方根，且恒正；正数有两个平方根，且互为相反数；规定；负数没有算术平方根00 0 的平方根是 0；负数没有平方根求法开平方后取非负的平方根开平方联系（1）的取值范围相同，均为；a0a（2）平方根中包含了算术平方根，即算术平方根是平方根中的一个，平方根中非负的 那一个即为算术平方根。掌握方法掌握方法1开平方的方法开平方的方法求一个数的平方根的运算，叫做开平方。a开平方运算与平方运算互为逆运算。表示非负数的平方根，表示非负数的算术平方根，表示非负数aaaaa的负的平方根。a例 1：下列各式中正确的是（）A.B.332332 C.D.3323322平方根的性质的应用方法平方根的性质的应用方法要判断一个数有无平方根或平方根有几个，关键是确定这个数是正数、负数还是 0。如果是正数的平方根，那么有或；但如果正数平方根是，nm,anm 0 nmanm,那么只能有。0 nm例 2：如果一个数的平方根是与，那么这个数是多少？3x152 x三利用平方根的概念解方程的方法三利用平方根的概念解方程的方法一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0 只有一个平方根，负数没有平方根。在解方程时，利用平方根的定义进行开方，从而求出未知数的值。例 3：求下列各式中的的值。x（1）；（2）；3612x049812x（3）；（4）。501492x22513x实数实数立方根的有关概念立方根的有关概念夯实基础夯实基础1立方根立方根1.立方根名称名称定义定义表示方法表示方法举例举例立方根一般地，如果一个数的立方等于，即xa，那么叫做ax 3x的立方根或三次方根a数的立方根记作“a”，读作“三次根3a号”，其中叫做被aa开方数如，12553那么叫做5的立方根125温馨提示负数没有平方根，但有立方根。根据立方根的概念可知：“5 是 125 的立方根”，反过来说“125的立方根是 5”也正确。判断一个数是不是某数的立方根，就看是不是等于。xa3xa例 1：求下列各数的立方根：（1）；（2）；（3）。642727216.02.立方根的性质（1）正数只有一个正的立方根；（2）负数只有一个负的立方根；（3）零的立方根为零。温馨提示温馨提示一个数的立方根是唯一的。正数的奇次方根时正数，负数的奇次方根是负数，零的任何正整数次方根均为 0。、，公式中的可取任意数。33aaaa33aa33a当两个数相等时，这两个数的立方根相等，反过来，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等。即若，则；若，则。ba 33ba 33ba ba 例 2：下列说法中错误的有（）任何一个数都有立方根；14 的立方根是；3143 是 27 的立方根；正数的平方根有两个，立方根也有两个。A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个2开立方开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方。a例如：8 的立方根为。283 温馨提示温馨提示被开方数的数可以是正数、负数和 0。开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系，负数（在实数范围内）不能开平方但可以进行开立方运算。求一个负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，然后取它的相反数，即。33aa0a求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。例 3：求下列各式的值。（1）；（2）；（3）；（4）。3271 333352710328713立方根与平方根的区别和联系立方根与平方根的区别和联系1.立方根与平方根的不同点：（1）定义不同：平方根的概念强调“平方”二字，立方根的概念强调“立方”二字，即平方根的逆运算是平方，立方根的逆运算是立方。（2）表示方法不同：平方根用“”表示，根指数 2 可以省略，写成“”；立方2根用“”表示，根指数 3 不能省略，更不能写成“”。33（3）性质不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；而任何一个数的立方根却只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零。（4）的取值范围不同：平方根中的取值范围必须是非负数，而立方根中aaa3a的取值为任何数，即正数、负数、零均可。a2.立方根与平方根的相同点：（1）都是求根：平方根与立方根的定义都是建立在乘方概念的基础上。在指数式中，当时，求的值就是求的平方根；当时，求的值就是求的axn2nxa3nxa立方根。这就表明无论是求平方根还是求立方根，都是已知指数和幂，求底数。（2）都与乘方知识有关：不论是求平方根还是求立方根，都属于开方运算。开方是乘方的逆运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算。（3）零的平方根与立方根都是零。（4）都可以归结为非负数的非负方根来研究：平方根主要是通过算术平方根来研究；而负数的立方根也可以通过转化为整数的立方根来研究。33aa0a掌握方法掌握方法1立方根性质的应用方法立方根性质的应用方法（1）正数、0、负数都有立方根，且只有一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号是一致的；（2）一个数的立方的立方根、一个数的立方根的立方都等于其本身；（3）互为相反数的立方根仍互为相反数，互为相反数的立方仍互为相反数。例 1：若，求的值。338512aa2015a2利用立方根的概念解方程的方法利用立方根的概念解方程的方法正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0 的立方根是 0。在解方程时，利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值，在求立方根时，常需转化为的形式，也常常将中的看作一个整体。ax 33ax ax 例 2：求下列各式中的值：x（1）；（2）；02783x6413x（3）；（4）。271643x024333x三方根中小数点移动规律的应用三方根中小数点移动规律的应用在开方运算中，被开方数的小数点移动时，其方根的小数点相应地移动是有规律的：（1）在开平方运算中，被开方数的小数点向左（右）移动两位时，其平方根的小数点向左（右）移动一位；（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向左（右）移动三位时，其立方根的小数点向左（右）移动一位。例 3：填空：（1）已知，则=，=。621633216.03216000（2）已知，则=，=。11133133331.131331000实数实数实数实数夯实基础夯实基础1无理数无理数无限不循环小数叫做无理数。温馨提示温馨提示无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，而无理数是指无限不循环小数。常遇到的无理数有三类：开放开不尽的数的方根，如，等；特定结构的数，如3350.303 003 0003；特定意义的数，如。许多带根号的数是无理数，如、等，但带根号并不是无理数的本质特征，因为像57，等都是有理数。49383271有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以都是有理数；而无限不循环小数不能化为分数，是无理数。无理数与有理数的和、差一定是无理数。无理数乘或除以一个不为 0 的有理数，结果一定是无理数。2实数及其分类实数及其分类有理数和无理数统称为实数。1.按定义分类负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数2.按性质分类负无理数负分数负整数负有理数负实数零正无理数正分数正整数正有理数正实数实数例 1：把下列各数填入相应的集合内：，55.0382063133458.49（每两个 之间依次多 个），。232232223.031254321.675整数集合 ；正无理数集合 ；负分数集合 ；负实数集合 。3实数的性质实数的性质（1）实数的相反数实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义是一样的。只有符号不同的两个数互为相反数，即实数的相反数是。实数与互为相反数，则，反之也成立。aaab0ba（2）实数的绝对值实数的绝对值和有理数的绝对值的意义相同，一个正实数的绝对值等于它本身；一个负实数的绝对值等于它的相反数；0 的绝对值是 0。一个实数的绝对值：a.0,00,0aaaaaa（3）实数的倒数实数的倒数和有理数的倒数一样，如果表示一个非零的实数，那么与互为倒数。aaa1实数与互为倒数，则，反之也成立。ab1ab（4）实数与数轴上的点是一一对应的关系，数轴上每一个点都表示一个实数；反过来，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。在数轴上，右边点对应的实数比左边点对应的实数大；正实数大于一切负实数，0 大于一切负实数，正实数都大于 0。任意两个实数间都有无数个有理数和无理数。（5）实数和有理数一样，可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算；有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用。交换律：，；abbabaab 结合律：，；cbacba bcacab 分配律：。acabcba例 2：求下列各数的相反数和绝对值。（1）；（2）；（3）；（4）。739221掌握方法掌握方法1无理数的识别方法无理数的识别方法判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写成无限不循环小数的形式，而把无理数写成无限不循环小数的形式不但很麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。初中常见的无理数有三种类型：（1）开方开不尽的数的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数；（2）化简后含；（3）不循环的无限小数。掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。例 1：把下列各数分别填入相应的括号内。，。05789.1163.0000022020020002.0373322无理数的估计方法无理数的估计方法对于无理数的估算问题，要理解算术平方根、立方根的意义。求一个数的算术平方根与哪个整数最接近，就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间，与被开方数的差值较小的那个正整数的算术平方根即为与其最接近的整数。求一个数的立方根与哪个整数最接近，方法和求一个数的算术平方根与哪个整数最接近相同，只要确定被开方数的值在哪两个相邻整数的立方之间，再确定和被开方数差值最小的那个整数的立方根即可。例 2：若，则的值所在范围是（）440 mm A.B.C.D.21 m32 m43 m54 m3实数与数轴上点的对应关系的应用方法每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应的关系。例 3：如图所示，数轴上表示，的点分别为，点到点的距离与点12BA,BA到点的距离相等，设点所表示的数为。COCx（1）写出实数的值；x（2）求的值。22x4实数大小的比较方法实数大小的比较方法比较实数大小的方法较多，常见的有作差法、作商法、倒数法、平方法、估算法。这里主要介绍一下平方法。用平方法比较实数大小的依据是对任意正实数，有ba,。baba22例 4：比较下面几组数的大小：（1）与；（2）与；（3）与；（4）310732.135.1215 31,1,1015非负数的性质的应用方法非负数的性质的应用方法（1）在实数范围内，正数和零统称为非负数。常见的非负数：任意实数的绝对值是非负数，即；a0a任意实数的平方（偶次方）是非负数，即（，为正整数）；a02a02nan任意非负数的算术平方根是非负数，即。a0a（2）非负数的性质：若两个非负数的和为 0，那么这两个数一定都为 0，常见一下几种形式：若，则；反之亦然。若，则；反之亦然。若022ba00ba0 ba00ba，；反之亦然。可推广为个非负数之和为 0，则这个非负数一定0ba00bann都为 0。非负数有最小值，最小值是 0。有限个非负数之和仍然是非负数。OCAB012例 5：若为实数，且，则的值是（）ba,011ba 2015ab A.0 B.1 C.-1 D.16无理数的小数部分的确定方法无理数的小数部分的确定方法确定一个非完全平方数的算术平方根的小数部分的方法：把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减去整数部分就得到它的小数部分。例 6：已知分别是的整数部分与小数部分，则 ba,136ba2。