2021年实数知识点总结.doc

实数
平方根关于概念
夯实基本
一． 算术平方根
名称
定义
表达办法
举例
算术平方根
普通地，如果一种正数平方等于，即，那么这个正数叫做算术平方根。规定0算术平方根是0
非负数算术平方根记作“”，读作“根号”，其中叫做被开方数
如，那么5叫做25算术平方根（或者说25算术平方根是5）
温馨提示
①一种正数平方根有两个，分别为和，咱们把正平方根叫做算术平方根。
②一种正数算术平方根是一种正数；零算术平方根仍为零；负数没算术平方根。
例1：写出下列各数算术平方根。
（1）0.0009；（2）；（3）。
二． 平方根
1. 定义：如果一种数平方等于，这个数就叫做平方根（或二次方根）。即如果，那么就叫做平方根。如：，因此4平方根是；，因此平方根是；，因此0平方根是0。
2. 表达办法
一种数正平方根，用符号“”表达，叫做被开方数，2叫做根指数，负平方根用“”表达，根指数是2时，普通省略不写。如记作，读作“根号”，记作，读作“正、负根号”。
温馨提示
①任何数平方都不能为负数，因此负数没有平方根。
②“5是25平方根”这种说法是对的，反过来说“25平方根是5”就错了，由于“正数有两个平方根”，因此必要说“25平方根是±5”。
③求一种数平方根就是把平方后等于这个数所有数都求出来，而判断一种数是不是另一种数平方根，只要把这个数平方，看其与否等于另一种数即可。
3. 平方根性质
（1） 一种正数有两个平方根，它们互为相反数，记作。
（2） 零平方根是零。
（3） 负数没有平方根。
温馨提示
①时，表达算术平方根，表达平方根。
②由于负数没有平方根，因此被开方数。如中隐含着，即这一条件。
③，
例2：判断下列说法与否对的，并阐明理由。
（1） 平方根是36；（2）1平方根是1；（3）-9平方根是；（4）；
（5） 是算术平方根。
三． 平方根与算术平方根区别与联系

算术平方根
平方根
区别
概念
如果一种正数平方等于，即，那么这个正数叫做算术平方根
如果一种数平方等于，即，那么这个数叫做平方根或二次方根
表达办法

性质
正数只有一种算术平方根，且恒正；规定；负数没有算术平方根
正数有两个平方根，且互为相反数；0平方根是0；负数没有平方根
求法
开平方后取非负平方根
开平方
联系
（1） 取值范畴相似，均为；
（2） 平方根中包括了算术平方根，即算术平方根是平方根中一种，平方根中非负
那一种即为算术平方根。
掌握办法
一． 开平方办法
求一种数平方根运算，叫做开平方。
开平方运算与平方运算互为逆运算。
表达非负数平方根，表达非负数算术平方根，表达非负数负平方根。
例1：下列各式中对的是（ ）
A. B.
C. D.
二． 平方根性质应用办法
要判断一种数有无平方根或平方根有几种，核心是拟定这个数是正数、负数还是0。如果是正数平方根，那么有或；但如果正数平方根是，那么只能有。
例2：如果一种数平方根是与，那么这个数是多少？
三．运用平方根概念解方程办法
一种正数有两个平方根，它们互为相反数，0只有一种平方根，负数没有平方根。在解方程时，运用平方根定义进行开方，从而求出未知数值。
例3：求下列各式中值。
（1） ；（2）；
（3） ；（4）。

实数
立方根关于概念
夯实基本
一． 立方根
1. 立方根
名称
定义
表达办法
举例
立方根
普通地，如果一种数立方等于，即，那么叫做立方根或三次方根
数立方根记作“”，读作“三次根号”，其中叫做被开方数
如，那么叫做立方根
温馨提示
①负数没有平方根，但有立方根。
②依照立方根概念可知：“5是125立方根”，反过来说“125立方根是5”也对的。
③判断一种数是不是某数立方根，就看是不是等于。
例1：求下列各数立方根：
（1） ；（2）；（3）。
2. 立方根性质
（1） 正数只有一种正立方根；
（2） 负数只有一种负立方根；
（3） 零立方根为零。
温馨提示
①一种数立方根是唯一。
②正数奇次方根时正数，负数奇次方根是负数，零任何正整多次方根均为0。
③、、，公式中可取任意数。
④当两个数相等时，这两个数立方根相等，反过来，当两个数立方根相等时，这两个数也相等。即若，则；若，则。
例2：下列说法中错误有（ ）
①任何一种数均有立方根；
②14立方根是；
③3是27立方根；
④正数平方根有两个，立方根也有两个。
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二． 开立方
求一种数立方根运算叫做开立方。
例如：8立方根为。
温馨提示
①被开方数数可以是正数、负数和0。
②开立方运算与立方运算是互为逆运算关系，负数（在实数范畴内）不能开平方但可以进行开立方运算。
③求一种负数立方根，可以先求出这个负数绝对值立方根，然后取它相反数，即
。
④求一种带分数立方根时，必要把带分数化成假分数，再求它立方根。
例3：求下列各式值。
（1） ；（2）；（3）；（4）。
三． 立方根与平方根区别和联系
1. 立方根与平方根不同点：
（1） 定义不同：平方根概念强调“平方”二字，立方根概念强调“立方”二字，即平方根逆运算是平方，立方根逆运算是立方。
（2） 表达办法不同：平方根用“”表达，根指数2可以省略，写成“”；立方根用“”表达，根指数3不能省略，更不能写成“”。
（3） 性质不同：一种正数平方根有两个，它们互为相反数；而任何一种数立方根却只有一种，正数立方根是正数，负数立方根是负数，零立方根是零。
（4） 取值范畴不同：平方根中取值范畴必要是非负数，而立方根中取值为任何数，即正数、负数、零均可。
2. 立方根与平方根相似点：
（1） 都是求根：平方根与立方根定义都是建立在乘方概念基本上。在指数式中，当时，求值就是求平方根；当时，求值就是求立方根。这就表白无论是求平方根还是求立方根，都是已知指数和幂，求底数。
（2） 都与乘方知识关于：无论是求平方根还是求立方根，都属于开方运算。开方是乘方逆运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算。
（3） 零平方根与立方根都是零。
（4） 都可以归结为非负数非负方根来研究：平方根重要是通过算术平方根来研究；而负数立方根也可以通过转化为整数立方根来研究。
掌握办法
一． 立方根性质应用办法
（1） 正数、0、负数均有立方根，且只有一种立方根，一种数立方根符号与这个数符号是一致；
（2） 一种数立方立方根、一种数立方根立方都等于其自身；
（3） 互为相反数立方根仍互为相反数，互为相反数立方仍互为相反数。
例1：若，求值。
二． 运用立方根概念解方程办法
正数立方根是一种正数；负数立方根是一种负数；0立方根是0。在解方程时，运用立方根定义进行开立方，从而求出未知数值，在求立方根时，常需转化为形式，也经常将中看作一种整体。
例2：求下列各式中值：
（1） ；（2）；
（3）；（4）。
三．方根中小数点移动规律应用
在开方运算中，被开方数小数点移动时，其方根小数点相应地移动是有规律：（1）在开平方运算中，被开方数小数点向左（右）移动两位时，其平方根小数点向左（右）移动一位；（2）在开立方运算中，被开方数小数点向左（右）移动三位时，其立方根小数点向左（右）移动一位。
例3：填空：
（1） 已知，则= ，= 。
（2） 已知，则= ，= 。
实数
实数
夯实基本
一． 无理数
无限不循环小数叫做无理数。
温馨提示
①无限小数涉及无限循环小数和无限不循环小数，而无理数是指无限不循环小数。
②常遇到无理数有三类：开放开不尽数方根，如，等；特定构造数，如0.303 003 0003…；特定意义数，如。
③许多带根号数是无理数，如、等，但带根号并不是无理数本质特性，由于像，，，等都是有理数。
④有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此都是有理数；而无限不循环小数不能化为分数，是无理数。
⑤无理数与有理数和、差一定是无理数。
⑥无理数乘或除以一种不为0有理数，成果一定是无理数。
二． 实数及其分类
有理数和无理数统称为实数。
1. 按定义分类

2. 按性质分类

例1：把下列各数填入相应集合内：
，，，，，，，，，
（每两个之间依次各种），，。
整数集合{ …}；
正无理数集合{ …}；
负分数集合{ …}；
负实数集合{ …}。
三． 实数性质
（1） 实数相反数
实数相反数意义和有理数相反数意义是同样。只有符号不同两个数互为相反数，即实数相反数是。实数与互为相反数，则，反之也成立。
（2） 实数绝对值
实数绝对值和有理数绝对值意义相似，一种正实数绝对值等于它自身；一种负实数绝对值等于它相反数；0绝对值是0。
一种实数绝对值：
（3） 实数倒数
实数倒数和有理数倒数同样，如果表达一种非零实数，那么与互为倒数。实数与互为倒数，则，反之也成立。
（4） 实数与数轴上点是一一相应关系，数轴上每一种点都表达一种实数；反过来，每一种实数都可以用数轴上一种点来表达。在数轴上，右边点相应实数比左边点相应实数大；正实数不不大于一切负实数，0不不大于一切负实数，正实数都不不大于0。任意两个实数间均有无数个有理数和无理数。
（5） 实数和有理数同样，可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算；有理数范畴内运算律、运算法则在实数范畴内仍合用。
互换律：，；
结合律：，；
分派律：。
例2：求下列各数相反数和绝对值。
（1） ；（2）；（3）；（4）。
掌握办法
一． 无理数辨认办法
判断一种数是不是无理数，核心就看它能不能写成无限不循环小数形式，而把无理数写成无限不循环小数形式不但很麻烦，并且还是咱们运用既有知识无法解决难题。初中常用无理数有三种类型：（1）开方开不尽数方根，但切不可以为带根号数都是无理数；（2）化简后含；（3）不循环无限小数。掌握常用无理数类型有助于辨认无理数。
例1：把下列各数分别填入相应括号内。
，，，，，，。
二． 无理数预计办法
对于无理数估算问题，要理解算术平方根、立方根意义。求一种数算术平方根与哪个整数最接近，就要看被开方数值在哪两个相邻正整数平方之间，与被开方数差值较小那个正整数算术平方根即为与其最接近整数。求一种数立方根与哪个整数最接近，办法和求一种数算术平方根与哪个整数最接近相似，只要拟定被开方数值在哪两个相邻整数立方之间，再拟定和被开方数差值最小那个整数立方根即可。
例2：若，则值所在范畴是（ ）
A. B. C. D.
三． 实数与数轴上点相应关系应用办法
每一种实数都可以用数轴上一种点表达；数轴上每一种点都表达一种实数，即数轴上点与实数是一一相应关系。
例3：如图所示，数轴上表达，点分别为，点到点距离与点到点距离相等，设点所示数为。
（1） 写出实数值；
（2） 求值。
四． 实数大小比较办法
比较实数大小办法较多，常用有作差法、作商法、倒数法、平办法、估算法。这里重要简介一下平办法。用平办法比较实数大小根据是对任意正实数，有。
例4：比较下面几组数大小：
（1） 与；（2）与；（3）与；（4）
五． 非负数性质应用办法
（1） 在实数范畴内，正数和零统称为非负数。常用非负数：
①任意实数绝对值是非负数，即；
②任意实数平方（偶次方）是非负数，即（，为正整数）；
③任意非负数算术平方根是非负数，即。
（2） 非负数性质：
①若两个非负数和为0，那么这两个数一定都为0，常用一下几种形式：
若，则；反之亦然。若，则；反之亦然。若，；反之亦然。可推广为个非负数之和为0，则这个非负数一定都为0。
②非负数有最小值，最小值是0。
③有限个非负数之和依然是非负数。
例5：若为实数，且，则值是（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.±1
六． 无理数小数某些拟定办法
拟定一种非完全平方数算术平方根小数某些办法：把这个无理数夹在相邻两个整数之间，则较小整数就是这个数整数某些，用这个数减去整数某些就得到它小数某些。
例6：已知分别是整数某些与小数某些，则 。