统计概率知识点.pdf

1第二章：统计第二章：统计1、抽样方法：简单随机抽样（总体个数较少）系统抽样（总体个数较多）分层抽样（总体中差异明显）注意：在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为。Nn2、总体分布的估计：一表二图：频率分布表数据详实频率分布直方图分布直观频率分布折线图便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：平均数：；nxxxxxn321取值为的频率分别为，则其平均数为；nxxx,21nppp,21nnpxpxpx2211注意：频率分布表计算平均数要取组中值。方差与标准差：一组样本数据nxxx,21方差：；212)(1niixxns标准差：21)(1niixxns注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。线性回归方程变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；制作散点图，判断线性相关关系线性回归方程：（最小二乘法）abxy1221niiiniix ynxybxnxaybx 注意：线性回归直线经过定点。),(yx第三章：概率21、随机事件及其概率：事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；必然事件、不可能事件、随机事件的特点；随机事件 A 的概率：.1)(0,)(APnmAP2、古典概型：基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有 n 个，事件 A 包含了其中的 m 个基本事件，则事件 A发生的概率.nmAP)(3、几何概型：几何概型的特点：所有的基本事件是无限个；每个基本事件都是等可能发生。几何概型概率计算公式：；的测度的测度DdAP)(其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。4、互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；如果事件任意两个都是互斥事件，则称事件彼此互斥。nAAA,21nAAA,21如果事件 A，B 互斥，那么事件 A+B 发生的概率，等于事件 A，B 发生的概率的和，即：)()()(BPAPBAP如果事件彼此互斥，则有：nAAA,21)()()()(2121nnAPAPAPAAAP对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。事件的对立事件记作AA)(1)(,1)()(APAPAPAP对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。专题六：排列组合与二项式定理专题六：排列组合与二项式定理1、基本计数原理 分类加法计数原理：(分类相加分类相加)做一件事情，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法n1m2m在第类办法中有种不同的方法.那么完成这件事情共有种不同的方法.nnmnmmmN21 分步乘法计数原理：(分步相乘分步相乘)做一件事情，完成它需要个步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同的方法做n1m2m第个步骤有种不同的方法.那么完成这件事情共有种不同的方法.nnmnmmmN212、排列与组合排列定义：一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同的nnmmn3元素中任取个元素的一个排列.m组合定义：一般地，从个不同的元素中任取个元素并成一组，叫做从个不同的元素中任取个元nnmmnm素的一个组合.排列数：从个不同的元素中任取个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素中任取个元素nnmmnm的排列数，记作.mnA组合数：从个不同的元素中任取个元素的所有组合的个数，叫做从个不同的元素中任取个元素nnmmnm的组合数，记作.mnC排列数公式：121mnnnnAmn；!mnnAmn！，规定.!nAnn1!0 组合数公式：或；!121mmnnnnCmn!mnmnCmn！，规定.mnnmnCC10nC排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序排列有顺序，组合无顺序.排列与组合的联系：，即排列就是先组合再全排列.mmmnmnACA排列与组合的两个性质性质(1)(1)!()(1)2 1!mmnnmmAnnnmnCmnAmmm nm 排列；组合.11mnmnmnmAAA11mnmnmnCCC解排列组合问题的方法特殊元素、特殊位置优先法特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.间接法间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.相邻问题捆绑法相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）.不相邻不相邻(相间相间)问题插空法问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）.有序问题组合法有序问题组合法.选取问题先选后排法选取问题先选后排法.至多至少问题间接法至多至少问题间接法.相同元素分组可采用隔板法相同元素分组可采用隔板法.4分组问题分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成平均分成 n n 组问题别忘除以组问题别忘除以 n n！.3、二项式定理二项展开公式：.011222nnnnrn rrnnnnabC aC abC abC abnnnC bnN二项展开式的通项公式：.主要用途是求指定的项.NnNrnrbaCTrrnrnr,01项的系数与二项式系数项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为 1 时，系数就是二项式系数.如在在的展开式中，第的展开式中，第项的二项式系数为项的二项式系数为，第，第项的系数为项的系数为；而；而的展开式的展开式()naxb1r rnC1r rn rrnC ab1()nxx中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定为正中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定为正.的展开式：，nx10221101xCxCxCxCxnnnnnnnnn若令，则有1x.nnnnnnnCCCC210211二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即131202 nnnnnCCCC二项式系数的性质：（1）对称性对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；mnnmnCC（2）增减性与最大值增减性与最大值：当时，二项式系数 C 的值逐渐增大，当时,C 的值逐渐减小，且在12nrrn12nrrn中间取得最大值。当 n 为偶数时，中间一项（第1 项）的二项式系数取得最大值.当 n 为奇数时，中间两2n2nnC项（第和1 项）的二项式系数相等并同时取最大值.21n21n1122nnnnCC系数最大项的求法设第项的系数最大，由不等式组rrA11rrrrAAAA可确定.r赋值法若2012().,nnnaxbaa xa xa x则设 有：()().nf xaxb0(0);af012.(1);naaaaf0123.(1)(1);nnaaaaaf 0246(1)(1).;2ffaaaa1357(1)(1).2ffaaaa5专题七：随机变量及其分布专题七：随机变量及其分布1、基本概念互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件，其中任何两个都是互斥事件，则说事件彼此互斥.ABC、ABC、当是互斥事件时，那么事件发生（即中有一个发生）的概率，等于事件分别发生的AB、ABAB、AB、概率的和，即.()()()P ABP AP B对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件的对立事件通常记着.AA对立事件的概率和等于 1.()1()P AP A 特别提醒：特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.相互独立事件：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生即其中一个事件是否发生ABBA对另一个事件发生的概率没有影响对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.当是相互独立事件时，那么事件发生（即同时发生）的概率，等于事件分别发生的AB、A BAB、AB、概率的积.即 .()()()P A BP AP B若 A、B 两事件相互独立，则 A 与B、A与 B、A与B也都是相互独立的.独立重复试验独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验.nn独立重复试验的概率公式如果在 1 次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个试验恰好发生次的概率pnk()(1)0,1 2,.,kkn knnPknkC pp条件概率：条件概率：对任意事件 A 和事件 B，在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，叫做条件概率.记作 P(B|A)，读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.知识结构知识结构6公式：()(),()0.()P ABP B AP AP A2 2、离散型随机变量、离散型随机变量 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量奎屯王新敞新疆 随机变量常用字母等表示.,X Y 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.若是随机变量，是常数）则也是随机变量奎屯王新敞新疆 并且不改变其属性（离散型、连续型）.X(,YaXb a bY3 3、离散型随机变量的分布列概率分布（分布列）设离散型随机变量可能取的不同值为，X12,x xixnx的每一个值（）的概率，则称表Xix1,2,in()iiP XxpX1x2xixnxP1p2pipnp为随机变量的概率分布，简称的分布列.XX性质：性质：0,1,2,.;ipin11.niip两点分布如果随机变量的分布列为X 则称服从两点分布两点分布，并称为成功概率.X(1)pP X二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是()(1).kkn knP XkC pp其中，于是得到随机变量的概率分布如下：0,1,2,.,1knqp XX01knP00nnC p q111nnC p qkkn knC p q0nnnC p q我们称这样的随机变量服从二项分布二项分布，记作，并称 p 为成功概率.XpnBX,X01P1pp7判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：对立性：对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；重复性：重复性：即试验是独立重复地进行了次;n等概率性：等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.注：二项分布的模型是有放回抽样；二项分布的模型是有放回抽样；二项分布中的参数是,.p k n超几何分布一般地,在含有件次品的件产品中，任取件,其中恰有件次品数,则事件发生的概率为MNnX Xk,于是得到随机变量的概率分布如下：()(0,1,2,)kn kMNMnNC CP XkkmC X其中,.min,mM n*,nN MN n M NN 我们称这样的随机变量的分布列为超几何分布列,且称X随机变量服从超几何分布超几何分布.X注:超几何分布的模型是不放回抽样；超几何分布的模型是不放回抽样；超几何分布中的参数是超几何分布中的参数是其意义分别是,.M N n总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量.4 4、离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量的分布列为XX1x2xixnxP1p2pipnp则称为离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型它反映了离散型 1122iinnE Xx px px px pX随机变量取值的随机变量取值的平均水平平均水平.性质：()().E aXbaE Xb 若服从两点分布，则X().E Xp若，则pnBX,().E Xnp离散型随机变量的方差一般地，若离散型随机变量的分布列为XX1x2xixnxP1p2pipnp则称X01mP00nMN MnNC CC11nMN MnNC CCmn mMN MnNC CC8为离散型随机变量的方差，方差，并称其算术平方根为为随机变量的标准差标准差.它它21()()niiiD XxE XpX()D XX反映了离散型随机变量取值的反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散稳定与波动，集中与离散的程度的程度.越小，的稳定性越高，波动越小，取值越集中；越大，的稳定性越差，波动越大，取值越()D XX()D XX分散.性质：2()().D aXba D X 若服从两点分布，则X()(1).D XpP若，则pnBX,()(1).D XnpP5 5、正态分布正态变量概率密度曲线函数表达式：，其中是参数，且 Rxexfx,21222,.记作如下图：,02(,).N 专题八：统计案例专题八：统计案例1、回归分析回归直线方程，bxay其中1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnxaybx 相关系数：12211niiinniiiixxyyrxxyy1222211niiinniiiix ynxyxnxyny92、独立性检验假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的值域分另为x1,x2和y1,y2，其样本频数 22 列联表为：y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d 若要推断的论述为 H1：“X 与 Y 有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.具体的做法是，由表中的数据算出随机变量的值，其中2K22()()()()()n adbcKab cd ac bd为样本容量，K2的值越大，说明“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大.nabcd 随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。2K时，时，X X 与与 Y Y 无关；无关；时，时，X X 与与 Y Y 有有 95%95%可能性有关；可能性有关；时时 X X 与与 Y Y 有有 99%99%可能性可能性23.841K 23.841K 26.635K 有关有关.