高中数学三角函数知识点总结.pdf

.高中数学第四章高中数学第四章-三角函数三角函数1.与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：Zkk,360|终边在x轴上的角的集合：Zkk,180|终边在y轴上的角的集合：Zkk,90180|终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|终边在y=x轴上的角的集合：Zkk,45180|终边在轴上的角的集合：xyZkk,45180|若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：k360若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：180360 k若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360k2.角度与弧度的互换关系：360=2 180=1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad57.30=5718 10.01745（rad）1801803、弧长公式：.扇形面积公式：rl|211|22slrr扇形4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P 与原点的距离为 r，则 ；rysinrxcos；xytan；.yxcotxrsecyrcsc5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）、-+-+、oooxyxyxy6、三角函数线 正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT.7.三角函数的定义域：yxSINCOS三角函数值大小关系图sinxcosx1 2 3 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosxroxya的 的 的P、x,y)TMAOPxy(3)个 ox2,个 sinxx|cosx|cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxcosxsinx16.个 个 个 个 个 个:OOxyxy.三角函数 定义域sinx)(xfRxx|cosx)(xfRxx|tanx)(xfZkkxRxx,21|且cotx)(xfZkkxRxx,|且secx)(xfZkkxRxx,21|且cscx)(xfZkkxRxx,|且8、同角三角函数的基本关系式：tancossincotsincos 1cottan1sincsc1cossec 1cossin221tansec221cotcsc229、诱导公式：2k把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二公式组二 公式组三公式组三 xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公式组四公式组四 公式组五公式组五 公式组六公式组六 xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(（二）角与角之间的互换公式组一公式组一 公式组二公式组二 sinsincoscos)cos(cossin22sin sinsincoscos)cos(2222sin211cos2sincos2cos sincoscossin)sin(2tan1tan22tan sincoscossin)sin(2cos12sin公公式式组组一一sinxcscx=1tanx=xxcossinsin2x+cos2x=1cosxsecxx=xxsincos1+tan2x=sec2xtanxcotx=1 1+cot2x=csc2x=1.tantan1tantan)tan(2cos12cos tantan1tantan)tan(公式组三公式组三 公式组四公式组四 公式组五公式组五 2tan12tan2sin2 2tan12tan1cos22 2tan12tan2tan2,.42675cos15sin3275cot15tan3215cot75tan42615cos75sin10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、0）定义域RRR值域 1,1 1,1RRAA,周期性 222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶,0当奇函数,0coscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscossincos1cos1sincos1cos12tanZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysinsin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(.单调性22,22kk上为增函数；223,22kk上为减函数（）Zk 2,12kk；上为增函数12,2kk上为减函数（）Zk kk2,2上为增函数（）Zk 上为减函1,kk数（）Zk)(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(22AkAk上为减函数（）Zk 注意：与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若xysinxysinxycosxycos在上递增（减），则在上递减（增）.)(xfy,ba)(xfy,ba与的周期是.xysinxycos或（）的周期.)sin(xy)cos(xy02T的周期为 2（，如图，翻折无效）.2tanxy 2TT的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是)sin(xy2 kxZk 0,k)cos(xy（），对称中心（）；的对称中心（）.kx Zk 0,21k)tan(xy0,2kxxyxy2cos)2cos(2cos原点对称当；.tan,1tan)(2Zkktan,1tan)(2Zkk与是同一函数,而是偶函数，则xycoskxy22sin)(xy)cos()21sin()(xkxxy.函数在上为增函数.（）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，为xytanRxytan增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点)(xf对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）)()(xfxf)()(xfxf奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原xytan)31tan(xy点对称）Oyx.奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）x0)(xf0)0(fx0 xysin不是周期函数；为周期函数（）；xysinT是周期函数（如图）；为周期函数（）；xycosxycosT的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：212cosxy.Rkkxfxfy),(5)(有.abbabaycos)sin(sincos22yba2211、三角函数图象的作法：）、几何法：）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.）、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（x）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当 x02|T1|2fT;x时的相位）（当 A0，0 时以上公式可去绝对值符号），由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当 0|A|1）到原来的|A|倍，得到 yAsinx 的图象，叫做振幅变换振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换（用 y/A 替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短（|1）到原来的倍，得到 ysin x 的图象，叫做周期变换周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换(用 x 替换 x)1|由 ysinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动个单位，得到ysin（x）的图象，叫做相位变换相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x 替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动b个单位，得到ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移（用 y+(-b)替换 y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin（x）（A0，0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。4 4、反三角函数：、反三角函数：函数ysinx，的反函数叫做反正弦函数反正弦函数，记作yarcsinx，它的定义域是1，1，值域22，x是22，函数ycosx，（x0，）的反应函数叫做反余弦函数反余弦函数，记作yarccosx，它的定义域是1，1，值域是0，函数ytanx，的反函数叫做反正切函数反正切函数，记作yarctanx，它的定义域是（，），22，xyxy=cos|x|图象1/2yxy=|cos2x+1/2|图象.值域是22，函数yctgx，x（0，）的反函数叫做反余切函数反余切函数，记作yarcctgx，它的定义域是（，），值域是（0，）II.II.竞赛知识要点竞赛知识要点一、反三角函数一、反三角函数.1.反三角函数：反正弦函数是奇函数，故，（一定要注明xyarcsinxxarcsin)arcsin(1,1x定义域，若，没有与一一对应，故无反函数）,xxyxysin注：，.xx)sin(arcsin1,1x2,2arcsinx反余弦函数非奇非偶，但有，.xyarccoskxx2)arccos()arccos(1,1x注：，.xx)cos(arccos1,1x,0arccosx是偶函数，非奇非偶，而xysin和xyarcsin为奇函数.xycosxyarccos反正切函数：，定义域，值域（），是奇函数，xyarctan),(2,2xyarctan，.xxarctan)arctan(x),(注：，.xx)tan(arctanx),(反余切函数：，定义域，值域（），是非奇非偶.xarcycot),(2,2xarcycot，.kxarcxarc2)cot()cot(x),(注：，.xxarc)cotcot(x),(与互为奇函数，同理为奇而与非奇非偶但满xyarcsin)1arcsin(xyxyarctanxyarccosxarcycot足.1,1,2)cot(cot 1,1,2arccos)arccos(xkxarcxarcxkxx 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：的取值范围 解集 的取值范围 解集aa的解集的解集 的解集的解集ax sinax cos1 1 aa=1 =1 aZkakxx,arcsin2|aZkakxx,arccos2|1 1 a Zkakxxk,arcsin1|aZkakxx,arccos|.的解集：的解集：的解集：的解集：ax tanZkakxx,arctan|ax cotZkakxx,cotarc|二、三角恒等式二、三角恒等式.组一组一组二组二nknnnk12sin2sin2cos8cos4cos2cos2cosnkdndxdnndxdxxkdx0sin)cos()1sin()cos()cos(cos)cos(nkdndxdnndxdxxkdx0sin)sin()1sin()sin()sin(sin)sin(tantantantantantan1tantantantantantan)tan(组三组三 三角函数不等式三角函数不等式 在上是减函数xsinx)2,0(,tanxxxxxfsin)(),0(若，则CBACxyBxzAyzzyxcos2cos2cos2222cos3cos43cossin4sin33sin332222coscossinsinsinsinsin22sin2cos.4cos2coscos11nnn