1、.高中数学第四章高中数学第四章-三角函数三角函数1.与(0360)终边相同的角的集合(角与角的终边重合):Zkk,360|终边在x轴上的角的集合:Zkk,180|终边在y轴上的角的集合:Zkk,90180|终边在坐标轴上的角的集合:Zkk,90|终边在y=x轴上的角的集合:Zkk,45180|终边在轴上的角的集合:xyZkk,45180|若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:k360若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系:180360 k若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:k180角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:90360k2.角度与弧度的互换关系:360=2 180=
2、1=0.01745 1=57.30=5718注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式:1rad57.30=5718 10.01745(rad)1801803、弧长公式:.扇形面积公式:rl|211|22slrr扇形4、三角函数:设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P 与原点的距离为 r,则 ;rysinrxcos;xytan;.yxcotxrsecyrcsc5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)、-+-+、oooxyxyxy6、三角函数线 正弦线:MP;余弦线:OM;正切线:AT.7.三角函数的定义域:yxSI
3、NCOS三角函数值大小关系图sinxcosx1 2 3 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosxroxya的 的 的P、x,y)TMAOPxy(3)个 ox2,个 sinxx|cosx|cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxcosxsinx16.个 个 个 个 个 个:OOxyxy.三角函数 定义域sinx)(xfRxx|cosx)(xfRxx|tanx)(xfZkkxRxx,21|且cotx)(xfZkkxRxx,|且secx)(xfZkkxRxx,21|且cscx)(xfZkkxRxx,|且
4、8、同角三角函数的基本关系式:tancossincotsincos 1cottan1sincsc1cossec 1cossin221tansec221cotcsc229、诱导公式:2k把的三角函数化为的三角函数,概括为:“奇变偶不变,符号看象限”三角函数的公式:(一)基本关系 公式组二公式组二 公式组三公式组三 xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公式组四公式组四 公式组五公式组五 公式组六公式组六 xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)
5、cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin((二)角与角之间的互换公式组一公式组一 公式组二公式组二 sinsincoscos)cos(cossin22sin sinsincoscos)cos(2222sin211cos2sincos2cos sincoscossin)sin(2tan1tan22tan sincoscossin)sin(2cos12sin公公式式组组一一sinxcscx=1tanx=xxcossinsin2x+cos2x=1cos
6、xsecxx=xxsincos1+tan2x=sec2xtanxcotx=1 1+cot2x=csc2x=1.tantan1tantan)tan(2cos12cos tantan1tantan)tan(公式组三公式组三 公式组四公式组四 公式组五公式组五 2tan12tan2sin2 2tan12tan1cos22 2tan12tan2tan2,.42675cos15sin3275cot15tan3215cot75tan42615cos75sin10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:xAysin(A、0)定义域RRR值域 1,1 1,1RRAA,周期性 222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇
7、函数当非奇非偶,0当奇函数,0coscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscossincos1cos1sincos1cos12tanZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysinsin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(.单调性22,22kk上为增函数;223,22kk上为减函数()Zk 2,12kk
8、;上为增函数12,2kk上为减函数()Zk kk2,2上为增函数()Zk 上为减函1,kk数()Zk)(212),(22AkAk上为增函数;)(232),(22AkAk上为减函数()Zk 注意:与的单调性正好相反;与的单调性也同样相反.一般地,若xysinxysinxycosxycos在上递增(减),则在上递减(增).)(xfy,ba)(xfy,ba与的周期是.xysinxycos或()的周期.)sin(xy)cos(xy02T的周期为 2(,如图,翻折无效).2tanxy 2TT的对称轴方程是(),对称中心();的对称轴方程是)sin(xy2 kxZk 0,k)cos(xy(),对称中心()
9、;的对称中心().kx Zk 0,21k)tan(xy0,2kxxyxy2cos)2cos(2cos原点对称当;.tan,1tan)(2Zkktan,1tan)(2Zkk与是同一函数,而是偶函数,则xycoskxy22sin)(xy)cos()21sin()(xkxxy.函数在上为增函数.()只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域,为xytanRxytan增函数,同样也是错误的.定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点)(xf对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:,奇函数:))()(xfxf)()(xfxf奇偶性的单调性:奇同偶反.例如
10、:是奇函数,是非奇非偶.(定义域不关于原xytan)31tan(xy点对称)Oyx.奇函数特有性质:若的定义域,则一定有.(的定义域,则无此性质)x0)(xf0)0(fx0 xysin不是周期函数;为周期函数();xysinT是周期函数(如图);为周期函数();xycosxycosT的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:212cosxy.Rkkxfxfy),(5)(有.abbabaycos)sin(sincos22yba2211、三角函数图象的作法:)、几何法:)、描点法及其特例五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).)、利用图象变换作三角函数图象三角函数
11、的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin(x)的振幅|A|,周期,频率,相位初相(即当 x02|T1|2fT;x时的相位)(当 A0,0 时以上公式可去绝对值符号),由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|1)或缩短(当 0|A|1)到原来的|A|倍,得到 yAsinx 的图象,叫做振幅变换振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换(用 y/A 替换 y)由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0|1)或缩短(|1)到原来的倍,得到 ysin x 的图象,叫做周期变换周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换(用 x 替换 x)1|由 ysinx 的
12、图象上所有的点向左(当 0)或向右(当 0)平行移动个单位,得到ysin(x)的图象,叫做相位变换相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x 替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向上(当 b0)或向下(当 b0)平行移动b个单位,得到ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移(用 y+(-b)替换 y)由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin(x)(A0,0)(xR)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区别。4 4、反三角函数:、反三角函数:函数ysinx,的反函数叫做反正弦函数反正弦函数,记作yarcsinx,它的定义域是1
13、,1,值域22,x是22,函数ycosx,(x0,)的反应函数叫做反余弦函数反余弦函数,记作yarccosx,它的定义域是1,1,值域是0,函数ytanx,的反函数叫做反正切函数反正切函数,记作yarctanx,它的定义域是(,),22,xyxy=cos|x|图象1/2yxy=|cos2x+1/2|图象.值域是22,函数yctgx,x(0,)的反函数叫做反余切函数反余切函数,记作yarcctgx,它的定义域是(,),值域是(0,)II.II.竞赛知识要点竞赛知识要点一、反三角函数一、反三角函数.1.反三角函数:反正弦函数是奇函数,故,(一定要注明xyarcsinxxarcsin)arcsin(
14、1,1x定义域,若,没有与一一对应,故无反函数),xxyxysin注:,.xx)sin(arcsin1,1x2,2arcsinx反余弦函数非奇非偶,但有,.xyarccoskxx2)arccos()arccos(1,1x注:,.xx)cos(arccos1,1x,0arccosx是偶函数,非奇非偶,而xysin和xyarcsin为奇函数.xycosxyarccos反正切函数:,定义域,值域(),是奇函数,xyarctan),(2,2xyarctan,.xxarctan)arctan(x),(注:,.xx)tan(arctanx),(反余切函数:,定义域,值域(),是非奇非偶.xarcycot)
15、,(2,2xarcycot,.kxarcxarc2)cot()cot(x),(注:,.xxarc)cotcot(x),(与互为奇函数,同理为奇而与非奇非偶但满xyarcsin)1arcsin(xyxyarctanxyarccosxarcycot足.1,1,2)cot(cot 1,1,2arccos)arccos(xkxarcxarcxkxx 正弦、余弦、正切、余切函数的解集:的取值范围 解集 的取值范围 解集aa的解集的解集 的解集的解集ax sinax cos1 1 aa=1 =1 aZkakxx,arcsin2|aZkakxx,arccos2|1 1 a Zkakxxk,arcsin1|a
16、Zkakxx,arccos|.的解集:的解集:的解集:的解集:ax tanZkakxx,arctan|ax cotZkakxx,cotarc|二、三角恒等式二、三角恒等式.组一组一组二组二nknnnk12sin2sin2cos8cos4cos2cos2cosnkdndxdnndxdxxkdx0sin)cos()1sin()cos()cos(cos)cos(nkdndxdnndxdxxkdx0sin)sin()1sin()sin()sin(sin)sin(tantantantantantan1tantantantantantan)tan(组三组三 三角函数不等式三角函数不等式 在上是减函数xsinx)2,0(,tanxxxxxfsin)(),0(若,则CBACxyBxzAyzzyxcos2cos2cos2222cos3cos43cossin4sin33sin332222coscossinsinsinsinsin22sin2cos.4cos2coscos11nnn