初中数学中考复习函数知识点总结.pdf

1初中数学中考复习初中数学中考复习 函数知识点总结函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像掌握函数的定义、性质和图像)函数的基本知识：函数的基本知识：基本概念基本概念1 1、变量：、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。2 2、函数：、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。*判断 A 是否为 B 的函数，只要看 B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定的值与之对应3 3、确定函数定义域的方法：、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。4 4、函数的图像、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象5.5.函数解析式：函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。6 6、描点法画函数图形的一般步骤、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。7 7、函数的表示方法、函数的表示方法:列表法、解析式法、图象法2一次函数图象和性质一次函数图象和性质【知识梳理】一、一次函数的基础知识一、一次函数的基础知识1 1、定义、定义：一般地，形如 y=kxb(k,b 是常数，k0)，那么 y 叫做 x 的一次函数当 b=0 时，y=kxb 即 y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的一般形式：y=kx+b(k0)说明：k 不为零 x 指数为 1 b 取任意实数2 2、解析式、解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k0)3 3、图像：、图像：一次函数 y=kx+b 的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线 y=kx+b,kb4 4、增减性（单调性）、增减性（单调性）：k0，y 随 x 的增大而增大（单调增）（单调增）；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时直线与 y 轴交于原点上方（即 y 轴的正半轴）；当 b0b0b=0（正比例函数）经过：第一、二、三象限不经过：第四象限经过：第一、三、四象限不经过：第二象限经过：第一、三象限不经过：第二、四象限4 12、两直线之间的位置关系（平行或相交）、两直线之间的位置关系（平行或相交）：（）若直线：3111222lyk xblyk xb平行：当时，；当时，与 交于，点。kkllbbbllb121212120/()增减性（单调性）：增减性（单调性）：图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大，单调增经过第一、二、四象限不经过：第三象限经过第二、三、四象限不经过：第一象限经过第二、四象限不经过：第一、三象限k0，y 随 x 的增大而减小（单调减）（单调减）；k0，y 随 x 增大而增大（单调增）（单调增）4 4、反反比例函数的图象：双曲线比例函数的图象：双曲线（1 1）图像的画法画法：描点法列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线）6（）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线和212()()yxyx（3 3）反比例函数（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开xky k0k0 x0y的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。（）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内 随 的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内 随 的增大而增大300kyxkyx（4 4）比例系数的几何含义（右图）：反比例函数 y(k0)中比例系数 k 的kkx几何意义，即过双曲线 y(k0)上任意一点 P 作 x 轴、y 轴垂线，设垂足分kx别为 A、B，则所得矩形 OAPB 的面积(阴影面积)为 .k（由 y变形可得：k=xy 因为面积为正数，所以 k 取绝对值。）kx5 5、反比例函数性质如下表：、反比例函数性质如下表：7二次函数图象和性质二次函数图象和性质【知识梳理】一、二次函数的基础知识：一、二次函数的基础知识：1定义定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。2yaxbxcabc，0a 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零0a bc，二次函数的定义域（x 的取值范围）：全体实数，R2.解析式（表达式）解析式（表达式）：一般式：（，是常数）：2yaxbxc0a abc，说明：等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是 2xxk 的符号k0k0图像的大致位置经过象限第 象限第 象限增减性（单调性：单增减性（单调性：单调区间内讨论）调区间内讨论）在每一象限内，从左到右看，y随 x 的增大而减小 ；（-，0）U（0，+）区间内，单调减 在每一象限内,从左到右看y 随 x 的增大而增大 （-，0）U（0，+）区间内，单调增 图像的对称性图像的对称性中心称图形，对称中心是原点；同时，也是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和直线 y=-xo8 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项abc，abc222244,-2424bacbbacbyaxbxcaaaa对于二次函数，经过配方变形为顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，）补充：补充：二次函数解析式的表示方法（三种）一般式：（，为常数，）；2yaxbxcabc0a 顶点式：（，为常数，）；抛物线的顶点 P（h，k）2()ya xhkahk0a 222244,-2424bacbbacbyaxbxcaaaa对于二次函数，经过配方变形顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，）两根式（交点式）：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.12()()ya xxxx0a 1x2xx仅限于与 x 轴有两个交点 A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线，即0 其中(即一元二次方程求根公式)221244,22bbacbbacxxaa 注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系:22212444h=-,2422bacbbbacbbacxxaaaa k=注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式x240bac可以互化.二次函数与的比较2ya xhk2yaxbxc从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2ya xhk2yaxbxc，其中22424bacbya xaa2424bacbhkaa，3、二次函数解析式的确定：、二次函数解析式的确定：9根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式4、二次函数、二次函数图象的画法图象的画法2yaxbxc五点绘图法：五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标;2yaxbxc2()ya xhk 然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及y0c，关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于0c，2hc，x10 x，20 x，x对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.xy3、二次函数的图像：抛物线二次函数的图像：抛物线（1）对称性）对称性：抛物线是轴对称图形。对称轴：直线对称轴：直线,对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。特别2xba对称轴：直线=-地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴（即直线 x=0）（2）抛物线有一个顶点 P，24-24bacbaa坐标为P（，）当=0 时，P 在 y 轴上；当=0 时，P 在 x 轴上-2ba24bac4.a.b.c 与抛物线的关系（与抛物线的关系（是二次项系数，是一次项系数，是常数项）abc（1）a 决定抛物线的开口方向和大小：开口方向：a 为正(a0)，开口朝上，有最小值；10a 为负(a0)，开口朝下，有最大值；开口大小：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（2）a、b 共同决定x2ba对称轴：直线=-的符号决定对称轴的位置，分两种情况：ababx2当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左侧；当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右侧。概括的说就是“左同右异”（3）常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。抛物线与 y 轴交于（0，c），分三种情况：当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c yxy 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c yy0 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负0c yxy 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的abc，6、抛物线与、抛物线与 x 轴交点个数轴交点个数=0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。A（x1,0）和 B（x2,0）24bac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。顶点 P24bac)0,2(ab=0 时，抛物线与 x 轴没有交点。24bac配图：开口向上(开口向下，情况类似)117、类比一元二次方程的根的情况：、类比一元二次方程的根的情况：特别地，二次函数（以下称函数）2yaxbxc当 y=0 时，二次函数为关于 x 的一元二次方程（以下称方程），即20axbxc此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。8、二次函数、二次函数的图像和性质的图像和性质22424bacbya xaa0a0a图 象开 口对 称 轴顶点坐标最 值当 x 时，y 有最 值，y当 x 时，y 有最 值，y增减性在对称轴左侧y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 12在对称轴右侧y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 9.应用应用：（1）最大面积；（2）最大利润；（3）其它10、二次函数图象的平移、二次函数图象的平移 1.平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；2ya xhkhk，保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移？2yaxhk，2.平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”hk概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成cbxaxy2ymcbxaxy2（或）mcbxaxy2mcbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成cbxaxy2mcbxaxy2（或）cmxbmxay)()(2cmxbmxay)()(2