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极坐标与参数方程知识点总结题型一、参数方程转化为普通方程例：已知圆 C 的圆心是直线与轴的交点，且圆 C 与直线相切，则圆 C 的方程为 1xttyt 为参数x30 xy【分析】这是一道利用圆与直线的位置关系求圆方程的填空题，其中一条直线的方程用参数方程给出。【解析】化直线为，圆 C 的圆心是，半径 1xttyt 为参数10 xy 1,0221 03211r 圆 C 的方程为2212xy【点睛】将直线的参数方程化为直角坐标方程是解决本题的一个关键点。【变式】：1、已知椭圆 E 的中心是坐标原点，一个焦点是直线与轴的交点，一个顶点在直线 1xttyt 为参数x上，则椭圆 E 的方程为 20 x22143xy2.北京 9直线ttytx(12为参数)与曲线(sin3cos3yx为参数)的交点个数为_。【解析】直线的普通方程01 yx，圆的普通方程为922 yx，可以直线圆相交，故有 2 个交点。【答案】23.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为几点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l上两点NM,的极坐标分别为)2,332(),0,2(，圆C的参数方程(sin23cos22yx为参数）。（）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（）判断直线l与圆C的位置关系。【解析】（）由题意知2 3(2,0),(0,)3MN，因为P是线段MN中点，则3(1,)3P因此OP直角坐标方程为：3.3yx（）因为直线l上两点2 3(2,0),(0,)3MNl垂直平分线方程为：332 30 xy，圆心(2,3)，半径2r.2 33 32 33239dr,故直线l和圆C相交.【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想。4.在平面直角坐标系xOy中，曲线1C和2C的参数方程分别为1:(xtCtyt是参数）和22cos:(2sinxCy是参数），它们的交点坐标为_.【解析】它们的交点坐标为_(1,1)22212:(0),:2Cyx yCxy 解得：交点坐标为(1,1)5.在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线4与曲线21,(1)xtyt（t 为参数）相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的直角坐标为 .考点分析：考点分析：本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.难易度难易度：解析：解析：4在直角坐标系下的一般方程为)(Rxxy，将参数方程21,(1)xtyt（t 为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为222)2()11()1(xxty表示一条抛物线，联立上面两个方程消去y有0452 xx，设BA、两点及其中点P的横坐标分别为0 xxxBA、，则有韦达定理2520BAxxx,又由于点P点在直线xy 上，因此AB的中点)25,25(P.题型二、极坐标与直角坐标的互化例：在极坐标系中，由三条直线，围成图形的面积是_.031sincos【分析】本题给出三条直线的极坐标方程，然后求围成的三角形的面积。【解析】化直线，为，三条直线的交031sincos0,30,10 xxyxy 点坐标分别为，围成图形的面积为 31 330,0,1,0,22133331224【点睛】解题的关键处是将三条直线的极坐标方程化为直角坐标方程。【变式】：1.在极坐标系中，直线与圆相交于 A、B 两点，C 为圆心，则三角形 ABC 的面积是sin14cos_.32.（安徽 13）在极坐标系中，圆4sin的圆心到直线()6R的距离是_ 3解：圆224sin(2)4xy的圆心(0,2)C直线:()306lRxy；点C到直线l的距离是02 3323.10 陕西 15.C（坐标系与参数方程）直线2 cos1与圆2cos相交的弦长为 3【解析】2 cos1是过点0,21且垂直于极轴的直线，2cos是以 0,1为圆心，1 为半径的圆，则弦长=321122.4 设点的极坐标为，直线 过点且与极轴所成的角为，则直线 的极坐标方程为 A2,6lA3l5或或或sin13cos164sin133 cossin206极坐标方程分别为4cos和8sin 的两个圆的圆心距为 52 解析：=4 2=4x x2+y2=4x(x-2)2+y2=4 同理：x2+(y+4)2=167已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆的极坐标方程为，则直线l与圆的位置2,14xtyt C2 2sinC关系为 相交 .8.在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是 1 .26sin3cos解析：圆可化为，直线化为，圆心到直线的距离2224xy6sin3cos360 xy，最短距离为006321 3d321题型三、参数方程与极坐标方程的应用例：以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标x方程为，它与曲线（为参数）相交于两点 A 和 B，则|AB|=_()4R12cos22sinxy x【分析】本题给出直线的极坐标方程和曲线的参数方程，然后求弦长|AB|【解析】直线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为0 xy22(1)(2)4xy圆心到直线的距离，1,20 xy 221 22211d 222|2 2()142AB【点睛】将极坐标方程、参数方程统一化为直角坐标方程，然后在直角坐标系中解题。【变式】：1.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方x程为，曲线的参数方程为（为参数），则曲线的中心（圆心）到直线的cossin123cos23sinxy 距离为_222.2.已知曲已知曲线线的极坐的极坐标标方程是方程是，以极点，以极点为为原点，极原点，极轴为轴为轴轴的正半的正半轴轴建立平面直角坐建立平面直角坐标标系，直系，直线线 的参数方程的参数方程C1xl.（）写出直）写出直线线 的普通方程与曲的普通方程与曲线线的直角坐的直角坐标标方程；方程；12()322txtyt 为参数lC（）设设曲曲线线经过经过伸伸缩变换缩变换得到曲得到曲线线，设设曲曲线线上任一点上任一点为为，求，求的最小的最小值值.C3xxyy CC(,)M x y2 3xy3在直接坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x-y+4=0，曲线 C 的参数方程为x3cosysin（为参数）（I）已知在极坐标（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P的极坐标为（4，），判断点 P 与直线 l 的位置关系；2（II）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值