大学高数试卷及答案.pdf

共共 1010 页页 第第 1 1 页页浙江农林大学浙江农林大学 20162016 -20172017 学年第学年第 一一 学期期中考试学期期中考试课程名称：高等数学高等数学 课程类别：必修必修 考试方式：闭卷闭卷注意事项：1、本试卷满分100 分。2、考试时间 120 分钟。一、单项选择题一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题 3 分，共 21 分）1下列各式正确的是：()A.B.sinlim1xxx0sinlim0 xxxC.D.1lim 1xxex 1lim 1xxex2.当时，与等价的无穷小量是：()0 xx A.B.C.D.11x1ln1xx1xe1 cosx3.设在的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：()()f xxaA.存在 B.存在1lim()()hh f af ah0(2)()limhf ahf ahh C.存在 D.存在0()()lim2hf ahf ahh0()()limhf af ahh题号题号一一二二三三四四五五六六七七八八得分得分得分得分评阅人评阅人学院：专业班级：姓名：学号：装 订 线 内 不 要 答 题 得分共共 1010 页页 第第 2 2 页页4.函数在区间上的最小值是：()33yxx0,1A.0 B.没有 C.2 D.295.函数在区间上应用罗尔定理时，所得到的中值 ()21yx 1,1 A.0B.1 C.D.216设函数处处可导，那么：()20()(1)0axexf xbxxA B C D1ab2,1ab 0,1ab1,0ab7.设为函数的极值点，则下列论述正确的是 ()xa()yf x A B C D以上都不对()0fa()0f a()0fa 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 21 分）分）1.极限=.232)sin(1coslimxxxxx2极限=.222222lim12nnnnn3.设函数 f(x)=在点 x=2 处连续，则 .2310222xxxxaxa 4.函数的间断点为 .()sinxf xx5.函数的单调减区间为 .22lnyxx6.设函数，则 .lntanyxdy 7椭圆曲线 在相应的点处的切线方程为 .cossinxatybt4t得分共共 1010 页页 第第 3 3 页页三、求下列极限（每小题三、求下列极限（每小题 6 分分,共共 18 分）分）1.求极限 11sin1lim20 xxexx2.求极限123lim6xxxx 3.求极限)tan11(lim20 xxxx得分共共 1010 页页 第第 4 4 页页四、计算下列导数或微分（每小题分四、计算下列导数或微分（每小题分 6,共共 18 分）分）1.设函数,求与.22(2)ln(1)xxyxeedydxdy2.设是由方程确定的隐函数，求.()yf x22arctanlnxxyy22ddyx3.计算函数的一阶导数.()1xxyx得分共共 1010 页页 第第 5 5 页页五、五、（本题（本题 6 分）分）求函数的凹凸区间与拐点.325()2yxx六、六、（本题（本题 6 分）分）设函数在上二阶可导，函数，试确定常数()f x(,)20()()0axbxcxg xf xx的值，使得函数在点二阶可导.,a b c()g x0 x 得分得分共共 1010 页页 第第 6 6 页页七、七、（本题（本题 5 分）分）证明：当时，0 x 221ln(1)1xxxx八、（本题八、（本题5 5分）分）设函数在上连续，在内可导，且()f x0,3(0,3)，.试证：必存在一点，使得(0)(1)(2)3fff(3)1f(0,3).()0f 得分得分共共 1010 页页 第第 7 7 页页浙江农林大学浙江农林大学 20162016 -20172017 学年第学年第 一一 学期期中考试学期期中考试参考答案参考答案一、一、单项选择题单项选择题D B D D A C D二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 21 分）分）1.1 22；3.7；4.；,0,1,2,kk 5.；6.；7.1(0,)2csc 2 xdxx20aybxab三、求下列极限（每小题三、求下列极限（每小题 6 分分,共共 18 分）分）1.求极限 11sin1lim20 xxexx解：原式=3 分20sin2limxxxx 4 分0sinlim2xxx 6 分122.求极限123lim6xxxx 解：原式=2 分123lim 16xxx=5 分6313 623lim 16xxxxx 6 分313lim622xxxee3.求极限)tan11(lim20 xxxx解：原式=2 分2300tantanlimlimtanxxxxxxxxx共共 1010 页页 第第 8 8 页页 =4 分222200sec11 coslimlim33xxxxxx =6 分02cos sin1lim63xxxx四、计算下列导数或微分（每小题分四、计算下列导数或微分（每小题分 6,共共 18 分）分）1.设函数,求与.22(2)ln(1)xxyxeedydxdy解：4 分22(2)1xxeyxe 6 分2 2(2)1xxedyxdxe 2.设是由方程确定的隐函数，求.()yf x22arctanlnxxyy22ddyx解：方程两边同时对变量求导并化简可得：x 从而得到：，2 分yxyxyyyxyyx上式继续对变量求导可得：4 分x1yyxyy yyy 化简上式并带入可得：6 分y2232()xyyyx3.计算函数的一阶导数.()1xxyx解：两边同时取对数得：(2 分)lnln()lnln(1)1xyxxxxx两边同时对求导得：(5 分)x111lnln(1)ln111yxxxxyxxxx从而得(6 分)11lnln()ln11111xxxyyxxxxxx五、五、（本题（本题 6 分）分）求函数的凹凸区间与拐点.325()2yxx解：函数的定义域为，(,)35(1)3xyx 345(21)9xyx共共 1010 页页 第第 9 9 页页，不存在。2 分1,02xy 0,xy3111(,)(,0)0(0,)222013(,2)22xyy 4 分可知函数在和上是凹的，在325()2yxx32(5)yxx1(,0)2(0,)内是凸的，拐点为.6 分1(,)2 313(,2)22六、六、（本题（本题 6 分）分）设函数在上二阶可导，函数，试确定常数()f x(,)20()()0axbxcxg xf xx的值，使得函数在点二阶可导.,a b c()g x0 x 解：因为在点二阶可导，所以，在点一阶可导、连续。()g x0 x()g x0 x 由在点连续可得：，从而2 分()g x0 x 00lim(0)(0)lim(0)xxgfgc(0)cf由在点可导可得：，从而()g x0 x 20(0)(0)(0)(0)lim0 xaxbxcfgfgbx 4 分(0)bf从而可知：20()()0axbxg xfxx又由在点二阶可导可得：，()g x0 x 02(0)(0)(0)(0)lim20 xaxbfgfgax从而 6 分2(0)af共共 1010 页页 第第 1010 页页七、七、（本题（本题 5 分）分）证明：当时，0 x 221ln(1)1xxxx证明：令，则 1 分22()1ln(1)1f xxxxx(0)0f因为，从而在时单调递增，3 分2()ln(1)0fxxx()f x0 x 从而，从而 5 分()(0)0f xf221ln(1)1xxxx八、（本题八、（本题5 5分）分）设函数在上连续，在内可导，且，.试()f x0,3(0,3)(0)(1)(2)3fff(3)1f证：必存在一点，使得.(0,3)()0f证明：因为函数在上连续，从而函数在上连续，()f x0,3()f x0,2故在上有最大值和最小值，分别设为，0,2,m M于是，2 分(0)(1)(2)3fffmM从而由介值定理可得，至少存在一点，0,2c使得，3 分(0)(1)(2)()13ffff c可验证在上满足罗尔定理的条件，()f x,3c故存在，使得.5 分,30,3c()0f