大学高数期末考试题及答案.doc

第一学期高等数学期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分），
1．求极限．
解：

．
2．设时，与是等价无穷小，与等价无穷小，求常数与．
解：
由于当时，与等价无穷小，所以．而

所以，．因此，．
3．如果不定积分中不含有对数函数，求常数与应满足的条件．
解：
将化为部分分式，有
，
因此不定积分中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数
．
即．
所以，有．
比较上式两端的系数，有．所以，得．
5．计算定积分．
解：

．
所以，．
5．设曲线的极坐标方程为，求曲线的全长．
解：
曲线一周的定义域为，即．因此曲线的全长为
．
二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），
6．求出函数的所有间断点，并指出这些间断点的类型．
解：
．
因此与是函数的间断点．
，，因此是函数的第一类可去型间断点．
，，因此是函数的第一类可去型间断点．
7．设是函数在区间上使用Lagrange（拉格朗日）中值定理中的“中值”，求极限．
解：
在区间上应用Lagrange中值定理，知存在，使得
．
所以，．因此，

令，则有

所以，．
8．设，求．
解：

在方程中，令，得
．
再在方程两端对求导，得，
因此，
．
9．研究方程在区间内实根的个数．
解：
设函数，．
令，得函数的驻点．
由于，所以
，
．
因此，得函数的性态

⑴ 若，即时，函数在、、内各有一个零点，即方程在内有3个实根．
⑵ 若，即时，函数在、内各有一个零点，即方程在内有2个实根．
⑶ 若，即时，函数在有一个零点，即方程在内有1个实根．
10．设函数可导，且满足
，．
试求函数的极值．
解：
在方程中令，得，即
．
在方程组中消去，得
．
积分，注意，得．即
．
由得函数的驻点．而．所以，
，．
所以，是函数极小值；是函数极大值．
三．应用题与证明题（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分），
11．求曲线的一条切线，使得该曲线与切线及直线和所围成的图形绕轴旋转的旋转体的体积为最小．
解：
设切点坐标为，由，可知曲线在处的切线方程为
，或．
因此所求旋转体的体积为

所以，．得驻点，舍去．由于
，因而函数在处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切线方程为．
12．设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且
，．
证明：至少存在一点，使得．
解：
因为在闭区间上连续，所以由积分中值定理，知存在，使得
．
由于，所以，．再由，得
．
作函数，则函数在区间上连续，在区间内可导．所以由Rolle中值定理，存在，使得．而
．
所以存在，使得
．
由于，所以，即．

一个处处像别人表明自己优秀的，恰恰证明了他（她）并不优秀，或者说缺什么，便炫耀什么。
　　真正的优秀，并不是指一个人完美无缺，偶像般的光芒四射。而是要真实地活着，真实地爱着。
　　对生活饱有热情，满足与一些小确幸，也要经得起诱惑，耐得住寂寞，内心始终如孩童般的纯真。
　　要知道，你走的每一步，都是为了遇见更好的自己，都是为了不辜负所有的好年华。
　　一个真实的人，一定也是个有担当的。
　　不论身处何地，居于何种逆境，他（她）们都不会畏惧坎坷和暴风雨的袭击。因为知道活着的意义，就是真实的直面风浪。
　　生而为人，我们可以失败，却不能败的没有风骨，甚至连挑战的资格都不敢有。
　　人当如玉，无骨不去其身。生于尘，立于世，便该有一颗宽厚仁德之心，便有一份容天下之事的气度。
　　一个真实的人，但是又不会过于执着。
　　因为懂得，水至清则无鱼，人至察则无徒的道理。完美主义者最大的悲哀，就是活得不真实，不知道审时度势，适可而止。
　　一扇窗，推开是艳阳天，关闭，也要安暖向阳。不烦不忧，该来的就用心珍惜，坦然以对；要走的就随它去，无怨无悔。
　　人活着，就是在修行，最大的乐趣，就是从痛苦中寻找快乐。以积极的状态，过好每一天，生活不完美，我们也要向美而生。
　　一个真实的人，一定是懂爱的。
　　时光的旅途中，大多数都是匆匆擦肩的过客。只有那么微乎其微的人，才可以相遇，结伴同行。而这样的结伴一定又是基于志趣相投，心性相近的品性。
　　最好的爱，不是在于共富贵，而是可以共患难，就像一对翅膀，只有相互拥抱着才能飞翔。爱似琉璃，正是因为纯粹干净，不沾染俗世的美。
　　懂爱的人，一定是真实的人。正是因为懂得真爱的不易，所以更是以真面目面对彼此，十指紧扣，甘愿与爱的人把世间各种风景都看透，无论风雨，安暖相伴。
　　一个真实的人，定然是有着大智慧的。
　　人生在世，什么都追求好，追求完美，虽然这是一种积极的思想，却会很累，不仅自己累，身边人也会因为你而累。到最后就会在疲于奔命中，丧失自我。
　　“兰居幽谷，虽孤独亦芬芳；梅开偏隅，虽寂静亦流香，”这便是一份淡泊和沉稳。一些事尽力了就好，无愧别人，无愧己心，认真地活着，便是不辜负。
　　因为懂得，人生的风景，最终是回归到心灵的本源。和谐共生，平等友爱，才是对生命的尊重和对自己的珍视。