石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(6).pdf

2011201120122012 学年第一学期学年第一学期高等数学高等数学期末试卷期末试卷 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2012 年 1 月 3 日 页 号一二三四五六本页满分30181218157总分本页得分阅卷人注意事项：1请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3本试卷共五道大题，满分 100 分；4试卷本请勿撕开，否则作废；5本试卷正文共 6 页。一、一、填空题（共填空题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1函数23422xxxy的可去间断点是_.2曲线21xye 的下凸区间是_.3设(ln)lnfxxx，则()f x _C.4.211d1xx=_.5.221cosyyxxx的通解是_二、选择题（共二、选择题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1.设函数0,00,1sin)(2xxxxxf，则()f x在点0 x 处（）A极限不存在；B极限存在但不连续；C.连续但不可导；D可导.2.已知0 x 时，30()3sincos dxf xxt t与kcx是等价无穷小，则（）A1,4kc；B1,4kc；C.3,4kc；D3,4kc.3设)(xf 连续，(0)0,(0)2ff，则20(1)limxxf exx（）A2；B；C.1；D12.4函数()yf x在1x 处有连续导数，21)(lim1xxfx，则1x 处取得（）.A.拐点；B.极大值；C.极小值；D.都不是.5微分方程xxyyee的特解形式为（）A()xxa ee；B()xxax ee；C2()xxxaebe；D()xxx aebe.本页满分本页满分 30 分分本本页页得得分分三、计算题（共三、计算题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 3030 分）分）1.求极限41cos0ln dlim1xxxtt te.2方程ttyduututxtarctan)(102确定y为x的函数，求dydx及22d ydx.3求极限40sinsin(sin)sinlimxxxxx.本页满分本页满分 18 分分本本页页得得分分4求定积分1220arcsind1xxxx.5设0sin()xtf xdtt,求0()f x dx.本页满分本页满分 12 分分本本页页得得分分四、应用题（共四、应用题（共 3 3 小题，共小题，共 2424 分）分）1（本题 6 分）求曲线1()ln(1)xf xex的渐近线.2（本题 12 分）设由曲线xye与过点(1,)e的切线及y轴所围平面图形为 D.（1）求 D 的面积 A；（2）求 D 绕y轴旋转一周所得旋转体的体积 V.3（本题 6 分）有半径为 R 的半球形容器如图，设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最少应为多少?本页满分本页满分 18 分分本本页页得得分分本页满分本页满分 15 分分本本页页得得分分五、证明题（五、证明题（1616 分）分）1（本题 9 分）设0 x，证明：xxxx)1ln(1.2（本题 7 分）设函数()f x在0,5上连续，在(0,5)内存在二阶导数，且20()d2(3)(4)(5)f xxfff，证明：（1）存在0,3)，使()(3);ff（2）存在(0,5)，使()0f.本页满分本页满分 7 分分本本页页得得分分 答案答案一、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，共计 15 分）1 x=2；2 11(,)22；3()f x xxxeeC；4 45 21(sin)2yxxC 二、填空题共（5 小题，每小题 3 分，共计 15 分）1（D）；2（C）；3（C）；4（C ）；5（D）.三、计算题（本题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）1求极限41cos0ln dlim1xxxtt te解：原式1cos40ln dlimxxtt tx30cos ln(cos)(sin)lim4xxxxx20ln(cos)lim4xxx0sin1coslim88xxxx 2方程20d1()arctanttuxutuytt 确定y为x的函数，求dydx及22d ydx。解：令tuv，则0220(-d)d11ttvvxvvvv，21dxtdtt；221dytdtt，dytdx，又()1ddydt dx，2221d ytdxt3求极限40sinsin(sin)sinlimxxxxx解：40sinsin(sin)sinlimxxxxx30sinsin(sin)limxxxx20coscos(sin)coslim3xxxxx20cos(1 cos(sin)lim3xxxx201 cos(sin)lim3xxx0sin(sin)coslim6xxxx0sinlim6xxx164求积分1220arcsind1xxxx。解：法一：令sinxt，则原式60sin.coscost ttdtt60sinttdt60costdt 6600coscostttdt 603cos12tdt 60313sin12212t 法二：1220arcsind1xxxx1220arcsin d 1xx 1122222001arcsin d 11d1xxxxx 316 22 5设0sin()xtf xdtt,求0()f x dx.解：0sinsin(0)0,(),().txffdt fxtx000()()()f x dxxf xxfx dx0sin()xfxdxx00sinsintxdtxdxtx0()sinxxdxx0sin2.xdx四、应用题（共 2 小题，共计 24 分）1（本题 6 分）求1()ln(1)xf xex的渐近线。解：0lim()xf x 0 x是曲线的垂直渐近线。lim()0.xf x曲线有水平渐近线0y。又()limxf xax21ln(1)lim1xxexx，lim()xbf xx1limln(1)xxexx1lim ln()0 xxxeeyx是曲线的一条斜渐近线。2（本题 12 分）设由曲线xye与过点(1,)e的切线及y轴所围平面图形为 D。（1）求 D 的面积 A；（2）求 D 绕y轴旋转一周所得旋转体的体积 V。解：（1）11xxxyee，过(1,)e的切线方程为(1)yee x，即yex。10()dxAeexx12e（2）22111(ln)d3eVeyy 211(ln)2ln d3 eeeyyy y112 lnd 3 eeeeyyy2(1)3e 3（本题 6 分）有半径为 R 的半球形容器如图，设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最少应为多少?解:过球心的纵截面建立坐标系如图.则半圆方程为222Rxy。取 x 为积分变量，对应于,d x xx薄层所需的功元素2223dg()dg()dWRxx xR xxx 故所求功为2340g()dg4RWR xxxR 。五、证明题（1616 分分）1（本题 9 分）设0 x，证明：xxxx)1ln(1.证明：设ttfln)(，则)(tf在(0,)内连续，可导。对)(tf在 1,1 x上应用Lagrange 中值定理，得xx1ln)1ln(。x11,1111x，即xxxx1,即xxxx)1ln(1。2（本题 7 分）设函数()f x在0,5上连续，在(0,5)内存在二阶导数，且20()d2(3)(4)(5)f xxfff，证明：（1）存在0,3)，使()(3);ff（2）存在(0,5)，使()0f。oyxxR证明：（1）()f x在0,5上连续，0,20,3)，使202(3)()d()(20)ff xxf，即()(3)ff（2）()f x在4,50,5上连续，由最值定理知()f x在4,5取到最大值 M和最小值 m.(4)(5)2ffmM，由连通性定理知14,5，使1(4)(5)()2fff，即1()(3)ff。因为()f x在(0,5)内存在二阶导数，满足罗尔定理的条件，所以2(,3)，使2()0,f 31(3,)，使3()0,f 进而23(,)(0,5)使()0f