高三数学第一轮复习—数列(知识点很全).pdf

海豚教育海豚教育1高三数学第一轮复习高三数学第一轮复习数列数列一、知识梳理一、知识梳理 数列概念数列概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的 na通项公式，即)(nfan.3.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项na与它的前一项1na（或前几 na项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1nnafa或),(21nnnaafa，那么这个式子叫做数列的递推公式.如数列中，12,11nnaaa，其中12nnaa是数列的递推 na na na公式.4.数列的前n项和与通项的公式nnaaaS21；)2()1(11nSSnSannn.5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.递增数列:对于任何Nn,均有nnaa1.递减数列:对于任何Nn,均有nnaa1.摆动数列:例如:.,1,1,1,1,1常数数列:例如:6,6,6,6,.有界数列:存在正数M使NnMan,.无界数列:对于任何正数M,总有项使得Man.na 等差数列等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的公差.2.通项公式与前n项和公式通项公式dnaan)1(1，1a为首项，d为公差.前n项和公式2)(1nnaanS或dnnnaSn)1(211.3.等差中项如果bAa,成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即：A是a与b的等差中项baA2a，A，b成等差数列.4.等差数列的判定方法定义法：daann1（Nn，d是常数）是等差数列；na中项法：212nnnaaa(Nn)是等差数列.na5.等差数列的常用性质数列是等差数列，则数列pan、npa（p是常数）都是等差数列；na在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即,32knknknnaaaa为等 na差数列，公差为kd.dmnaamn)(；banan(a,b是常数)；bnanSn2(a,b是常数，0a)若),(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；海豚教育海豚教育2若等差数列的前n项和nS，则nSn是等差数列；na当项数为)(2Nnn，则nnaaSSndSS1,奇偶奇偶；当项数为)(12Nnn，则nnSSaSSn1,奇偶偶奇.等比数列等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(qq，这个数列叫做等比数列，常数q称为等比数列的公比.2.通项公式与前n项和公式通项公式：11nnqaa，1a为首项，q为公比.前n项和公式：当1q时，1naSn当1q时，qqaaqqaSnnn11)1(11.3.等比中项如果bGa,成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等差中项a，A，b成等差数列baG2.4.等比数列的判定方法定义法：qaann1（Nn，0q是常数）是等比数列；na中项法：221nnnaaa(Nn)且0na是等比数列.na5.等比数列的常用性质数列是等比数列，则数列npa、npa（0q是常数）都是等比数列；na在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即,32knknknnaaaa为等 na比数列，公比为kq.),(Nmnqaamnmn若),(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；若等比数列的前n项和nS，则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34是等比数列.na二、典型例题二、典型例题A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知nS为等差数列的前n项和，63,6,994nSaa，求n；na2、等差数列 na中，410a 且3610aaa，成等比数列，求数列 na前 20 项的和20S3、设是公比为正数的等比数列，若16,151aa，求数列前 7 项的和.na na海豚教育海豚教育34、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知nS为等差数列的前n项和，1006a，则11S ；na2、设nS、nT分别是等差数列、的前n项和，327nnTSnn，则55ba .na na3、设nS是等差数列 na的前 n 项和，若5935,95SSaa则（）4、等差数列na,nb的前n项和分别为nS,nT,若231nnSnTn,则nnab=（）5、已知nS为等差数列的前n项和，)(,mnnSmSmn，则nmS .na6、在正项等比数列 na中，153537225a aa aa a，则35aa_。7、已知数列 na是等差数列，若 471017aaa,45612131477aaaaaa且13ka,则k _。8、已知nS为等比数列前n项和，54nS，602nS，则nS3 .na9、在等差数列 na中，若4,184SS，则20191817aaaa的值为（）10、在等比数列中，已知910(0)aaa a，1920aab，则99100aa .11、已知为等差数列，20,86015aa，则75a na12、等差数列中，已知 na848161,.3SSSS求B、求数列通项公式、求数列通项公式1）给出前几项，求通项公式1,0,1,0,21,15,10,6,3,13 3，-33,333-33,333，-3333,33333-3333,333332）给出前 n 项和求通项公式1、nnSn322；13 nnS.海豚教育海豚教育42、设数列满足，求数列的通项公式 na2*12333()3nnaaaanNn-1+3 na3）给出递推公式求通项公式a a、已知关系式已知关系式)(1nfaann，可利用迭加法或迭代法；，可利用迭加法或迭代法；11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn例：已知数列中，)2(12,211nnaaann，求数列的通项公式；na nab b、已知关系式、已知关系式)(1nfaann，可利用迭乘法，可利用迭乘法.1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn例、已知数列满足：，求求数列的通项公式；na111(2),21nnannaan nac c、构造新数列、构造新数列1递推关系形如“qpaann1”，利用待定系数法求解例、已知数列中，32,111nnaaa，求数列的通项公式.na na2递推关系形如“，两边同除或待定系数法求解1np例、nnnaaa32,111，求数列的通项公式.na3递推已知数列中，关系形如“nnnaqapa12”，利用待定系数法求解 na例、已知数列中，nnnaaaaa23,2,11221，求数列的通项公式.na na4递推关系形如,两边同除以11nnnnapaqa a（p,q0)1nna a例 1、已知数列中，求数列的通项公式.na1122nnnnaaa a1（n2),a na例 2、数列 na中，)(42,211Nnaaaannn，求数列 na的通项公式.海豚教育海豚教育5d、给出关于、给出关于和和的关系的关系nSma例 1、设数列的前n项和为nS，已知)(3,11NnSaaannn，设 nannnSb3，求数列 nb的通项公式例 2、设nS是数列 na的前n项和，11a，)2(212nSaSnnn.求 na的通项；设12 nSbnn，求数列 nb的前n项和nT.C、证明数列是等差或等比数列、证明数列是等差或等比数列1)证明数列等差例 1、已知nS为等差数列的前n项和，)(NnnSbnn.求证：数列 nb是等差数 na列.例 2、已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an+2SnSn1=0（n2），a1=.21 求证：是等差数列；nS12）证明数列等比海豚教育海豚教育6例 1、设an是等差数列，bn，求证：数列bn是等比数列；na21例 2、数列an的前 n 项和为 Sn，数列bn中，若 an+Sn=n.设 cn=an1，求证：数列cn是等比数列；例 3、已知nS为数列的前n项和，11a，24nnaS.na设数列 nb中，nnnaab21，求证：nb是等比数列；设数列 nc中，nnnac2，求证：nc是等差数列；求数列的通项公式及 na前n项和.例 4、设nS为数列的前n项和，已知21nnnbabS na证明：当2b 时，12nnan是等比数列；求 na的通项公式例 5、已知数列 na满足*12211,3,32().nnnaaaaa nN海豚教育海豚教育7证明：数列1nnaa是等比数列；求数列 na的通项公式；若数列 nb满足12111*44.4(1)(),nnbbbbnanN证明 nb是等差数列.D、求数列的前、求数列的前 n 项和项和基本方法：1）公式法，2）拆解求和法.例 1、求数列的前n项和nS.n223n例 2、求数列，)21(813412211nn 的前n项和nS.例 3、求和：25+36+47+n（n+3）2）裂项相消法，数列的常见拆项有：；11 11()()n nkk nnknnnn111；例 1、求和：S=1+n32113211211例 3、求和：nn11341231121.3）倒序相加法，海豚教育海豚教育8例、设221)(xxxf，求：)4()3()2()()()(213141ffffff；).2010()2009()2()()()()(21312009120101fffffff4）错位相减法，例、若数列 na的通项nnna3)12(，求此数列的前n项和nS.5）对于数列等差和等比混合数列分组求和例、已知数列an的前 n 项和 Sn=12nn2，求数列|an|的前n项和 Tn.E、数列单调性最值问题、数列单调性最值问题例 1、数列中，492 nan，当数列的前n项和nS取得最小值时，n .na na例 2、已知nS为等差数列的前n项和，.16,2541aa当n为何值时，nS取得最大 na值；例 4、数列中，12832nnan，求na取最小值时n的值.na例 5、数列中，22nnan，求数列的最大项和最小项.na na海豚教育海豚教育9例 5、设数列 na的前n项和为nS已知1aa，13nnnaS，*nN（）设3nnnbS，求数列 nb的通项公式；（）若1nnaa，*nN，求a的取值范围例 6、已知nS为数列的前n项和，31a，)2(21naSSnnn.na求数列的通项公式；na数列中是否存在正整数k，使得不等式1kkaa对任意不小于k的正整数都成立？na若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由.例 7、非等比数列中，前 n 项和，na21(1)4nnSa（1）求数列的通项公式；na（2）设，是否存在最大的整数 m，使得对任1(3)nnbna(*)nN12nnTbbb意的 n 均有总成立？若存在，求出 m；若不存在，请说明理由。32nmT 海豚教育海豚教育10F、有关数列的实际问题、有关数列的实际问题例 1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?例 2、2002 年底某县的绿化面积占全县总面积的40，从 2003 年开始,计划每年将非绿化面积的8绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的 2被非绿化.设该县的总面积为 1,2002 年底绿化面积为1041a,经过n年后绿化的面积为1na,试用na表示1na；求数列 na的第1n项1na；至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过 60%(参考数据:4771.03lg,3010.02lg)